Exercice 2

Exercice 2 : Critères de divisibilité
Indiquez si 2, 3, 4, 5, 9 et 10 sont, oui ou non, des
diviseurs des nombres donnés.
2 3 4 5 9 10
7 440
7 848
7 455
Exercice 1 : Vocabulaire
1) Recopiez et complétez chaque phrase avec un des
mots suivants : diviseur, multiple, divisible.
a. 12 est un .... de 6. b. 3 est un .... de 18.
c. 230 est .... par 10.
2) Répondez aux questions suivantes en justifiant.
a. 4 est-il un diviseur de 28 ? c. 4 divise-t-il 18 ?
b.32 est-il un multiple de 6? d.35 est-il divisible par 5?
Exercice 6 : PGCD (1)
On veut déterminer le PGCD de 42 et 90.
1) a. Déterminez tous les diviseurs de 42.
b. Déterminez tous les diviseurs de 90.
c. Écrivez les diviseurs communs à 42 et 90.
d. Déduisez-en PGCD (42 ; 90) et PGCD (90 ; 42).
2) Déterminez les diviseurs communs à 75 et 180 puis
le PGCD de ces deux nombres.
3) Déterminez les diviseurs communs à 14 et 42 puis le
PGCD de ces deux nombres.
Exercice 4 : Diviseurs communs (1)
On veut trouver les diviseurs communs à 40 et 125.
a. Écrivez tous les produits de deux entiers naturels
dont le résultat est 40.
b. Quels sont les diviseurs de 40 ?
c. Écrivez tous les produits de deux entiers naturels
dont le résultat est 125.
d. Quels sont les diviseurs de 125 ?
e. Quels sont les diviseurs communs à 40 et 125 ?
Exercice 3 : Autres diviseurs
Indiquez si 6, 8, 12, 15, 20 et 32 sont, oui ou non, des
diviseurs des nombres donnés.
6 8 12 15 20 32
4 632
25 200
54 208
Exercice 5 : Diviseurs communs (2)
a. Diviseurs communs à 72 et 136.
Déterminez tous les diviseurs de 72.
Déterminez tous les diviseurs de 136.
Déduisez-en les diviseurs communs à 72 et 136.
b. Trouvez les diviseurs communs à 45 et 49.
Exercice 17 : Méthode des divisions successives
1) Calculez le PGCD de 1 659 et 392 à l'aide de la
méthode des divisions successives.
2) Avec l'algorithme d'Euclide, calculez le PGCD de
2 640 et 34 545.
3) Avec l'algorithme d'Euclide, calculez :
PGCD (784 ; 136).
Exercice 13 : Méthode des soustractions successives
1) Calculez le PGCD de 147 et 63 à l'aide de la
méthode des soustractions successives.
2) Avec la méthode précédente, calculez le PGCD de
231 et 561.
3) Avec la méthode précédente, calculez le PGCD de
616 et 168.
Exercice 7 : Nombres premiers entre eux
1)a. Déterminez les diviseurs communs à 36 et 55 puis
le PGCD de ces deux nombres.
b. 36 et 55 sont-ils premiers entre eux ?
2)19 et 56 sont-ils premiers entre eux ? Justifiez.
3)105 et 182 sont-ils premiers entre eux ? Justifiez.
Exercice 9 : Nombres non premiers entre eux
On veut justifier que les entiers donnés ne sont pas
premiers entre eux sans calculer leur PGCD.
1) a. Donnez un diviseur commun évident à 135 et 120.
b.135 et 120 sont-ils premiers entre eux ? Justifiez.
2) 46 et 124 sont-ils premiers entre eux ? Justifiez.
3) 114 et 63 sont-ils premiers entre eux ? Justifiez.
Exercice 8 :
a. Démontrez que 481 et 625 sont premiers entre eux.
b. Démontrez que 360 et 741 ne sont pas premiers
entre eux.
Exercice 11 : Énigmes
1) Trouvez tous les nombres de trois chiffres divisibles
à la fois par 3 et par 5 et dont le chiffre des centaines
est 7.
2) Expliquez pourquoi le produit de deux entiers
consécutifs est toujours pair.
Exercice 10 : Séminaire
Lors d'un séminaire, 324 personnes doivent se répartir
dans divers ateliers. Tous les ateliers doivent avoir le
même effectif, compris entre 30 et 60 personnes.
Quelles sont les différentes possibilités ?
Exercice 16 : À la recherche du reste
a. Dans la division euclidienne de 2 654 par 12, le
quotient est 221. Sans effectuer la division, déterminez
le reste.
b. Dans une division euclidienne, le diviseur est 14, le
quotient est 18 et le reste est 5. Quel est le dividende ?
Exercice 15 : Posée, en ligne
Donnez le quotient et le reste de la division euclidienne
de : a. 63 par 4 ; c. 3 245 par 135 ;
b. 218 par 12 ; d. 32 par 50.
Dans chaque cas, écrivez l'égalité a = bq  r, où q et r
sont des entiers naturels et r  b.
Exercice 12 : Liste des diviseurs communs et PGCD
Dans chaque cas, écrivez la liste des diviseurs
communs aux deux nombres et donnez leur PGCD.
a. 24 et 36 b. 20 et 63 c. 72 et 1 d. 434 et 98
e. 42 et 168 f. 124 et 0
Exercice 18 : En utilisant la méthode des divisions
successives, déterminez le PGCD des deux nombres :
a. 182 et 42 c. 1 053 et 325
b. 534 et 235 d.1 980 et 2 340
Exercice 14 : En utilisant la méthode des soustractions
successives, déterminez le PGCD des deux nombres :
a. 76 et 21 c. 182 et 78
b. 120 et 48 d. 117 et 153

Exercice 25 : Bonbons
Olivia avait un paquet de 320 bonbons et un paquet de
280 chewing-gums qu'elle a partagés équitablement
avec un groupe de personnes.
Il lui reste alors 5 bonbons et 10 chewing-gums.
a. On souhaite retrouver le nombre de personnes de ce
groupe. Le nombre recherché est un diviseur de deux
nombres, lesquels ?
b. Calculez maintenant le nombre maximal de
personnes du groupe. Combien de bonbons et de
chewing-gums chaque personne aura-t-elle ?
Exercice 22 : Méthode au choix
Pour chaque question, utilisez la méthode qui vous
paraît la plus appropriée.
a. Calculez le PGCD de 615 et 75.
b. Calculez le PGCD de 32 et 48.
c. Calculez le PGCD de 36 et 72
Pouvait-on prévoir le résultat ? Pourquoi ?
d. Sans effectuer de calcul, indique le PGCD de :
13 et 39 ; et de 1 100 et 100.
Exercice 19 : Comparaison
a. Calculez le PGCD de 1 078 et 322 à l'aide de la
méthode des divisions successives.
b. En utilisant la méthode des soustractions
successives, combien d'opérations aurait-il fallu
effectuer ?
Exercice 24 : Sacs de billes
Jérémy a 90 billes rouges et 150 billes noires et il
souhaite les répartir toutes en paquets. Tous les paquets
doivent contenir le même nombre de billes rouges et le
même nombre de billes noires. On veut trouver les
différentes possibilités pour le nombre de paquets.
a. Peut-il y avoir trente paquets ? Neuf paquets ?
b. Donnez la liste des diviseurs de 90 et de 150.
c. Quelles sont les différentes possibilités pour le
nombre de paquets ?
Exercice 27 : Extrait du Brevet
Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet
et de 78 roses.
a. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets
identiques en utilisant toutes les fleurs.
Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
b. Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Exercice 26 : Terrasse
a. Calculez le PGCD de 480 et 560.
b. Un artisan souhaite recouvrir une terrasse
rectangulaire de 4,8 m de large et de 5,6 m de long à
l'aide de dalles carrées identiques sans faire de
découpe. Quelle mesure maximale du côté de chaque
dalle doit-il choisir ?
c. Combien de dalles doit-il acheter ?
Exercice 32 : Démonstration (2)
Démontrez que la différence de deux entiers naturels
ayant le même reste dans la division euclidienne par n
est un multiple de n.
Exercice 29 : Volumes
a. Calculez le PGCD de 60, 72 et 84.
b. On veut remplir trois cuves d'eau de contenances
60 L, 72 L et 84 L à l'aide d'un récipient.
Quelle doit être la plus grande contenance possible de
ce récipient de façon à remplir exactement les trois
cuves ? Justifiez la réponse.
c. Combien faudra-t-il verser de fois ce récipient dans
chacune des cuves pour les remplir à ras bord ?
Exercice 28 : Clôture
Aurélien possède un terrain rectangulaire de
dimensions 78 sur 102 mètres qu'il souhaite clôturer.
Afin de poser un grillage, il doit planter des poteaux
régulièrement espacés et pour simplifier le travail, il
veut que la distance entre chaque poteau soit un
nombre entier de mètres. De plus, il lui faut un poteau à
chaque coin.
a. Deux poteaux peuvent-ils être espacés de cinq
mètres ? De trois mètres ?
b. Aurélien veut planter le moins de poteaux possibles.
Que pouvez-vous dire alors de la distance entre deux
poteaux ?
c. Dans ce cas, combien doit-il planter de poteaux ?
Exercice 23 : Nombres premiers entre eux
En utilisant la méthode de ton choix, montrez que 273
et 163 sont premiers entre eux.
Exercice 30 : Démonstration (1)
On veut démontrer que la somme de deux entiers
naturels impairs consécutifs est un multiple de 4.
a. Quelle est l'écriture littérale d'un entier naturel
impair ?
b. Combien faut-il ajouter à un entier naturel impair
pour obtenir l'entier impair qui le suit ?
c. Donnez les écritures littérales de deux entiers
naturels impairs consécutifs.
d. Montrez que leur somme peut s'écrire 4m où m est
un entier naturel puis conclus.
Exercice 20 : Comparaison
a. Calculez le PGCD de 138 et 63 à l'aide de la
méthode des divisions successives.
b. En utilisant la méthode des soustractions
successives, combien d'opérations aurait-il fallu
effectuer ?
Exercice 21 : Au choix
Déterminez le PGCD des nombres en utilisant la
méthode qui semble la plus appropriée.
a. 682 et 352 c. 140 et 84
b. 248 et 124 d. 1 470 et 2 310
Exercice 31 : Carrelage
Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur se
trouvant au-dessus de la baignoire avec un nombre
entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le
côté est un nombre entier de centimètres, le plus grand
possible.
Déterminez la longueur, en centimètres, du côté d'un
carreau de faïence sachant que le mur mesure 210 cm
de hauteur et 135 cm de largeur. Combien faudra-t-il
alors de carreaux ?

Exercice 33 : Extrait du Brevet
Un pâtissier dispose de 411 framboises et de
685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il
désire répartir ces fruits en les utilisant tous et obtenir
le maximum de tartelettes identiques.
Calculez le nombre de tartelettes et indiquez leur
composition.
Exercice 38 : Facteurs égaux
Recopiez et complétez les égalités. (Dans chaque cas,
la fraction de droite doit être irréductible.)
a.
2×....
.... ×24
=
2
7
c.
8×.... ×11
.... ×5×....
=
....
9
b.
2×....
.... ×5
=
10
3
d.
2² ×3×5²
2×3³ ×5²
=
....
....
Exercice 36 : Irréductible ?
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ?
Justifiez la réponse.
a.
4
6
b.
3
19
c.
15
30
d.
1
82
e.
2
3
f.
42
39
Exercice 39 : Extrait du Brevet
a. Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ?
Justifiez.
b. La fraction
756
441
est-elle irréductible ?
Si non, l’écrire sous forme irréductible en justifiant.
c. Calculez la somme
Q=756
441 19 42
et donnez le
résultat sous forme irréductible.
Exercice 40 : Avec le PGCD
a. Déterminez le PGCD de 274 et 547 puis rendez la
fraction
274
547
irréductible.
b. Déterminez le PGCD de 1 204 et 258 puis rendez la
fraction
1 204
258
irréductible.
Exercice 41 : Avec la meilleure méthode
Rendez les fractions suivantes irréductibles.
a.
120
90
b.
129
86
c.
225
375
d.
2 278
2 814
Exercice 43 : Extrait du Brevet
On pose :
M=20 755
9 488 −3 8.
a. Calculez le plus grand diviseur commun D de 20 755
et 9 488.
b. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre M sous la
forme d'une fraction irréductible.
Le nombre M est-il décimal ? Est-il rationnel ?
Justifiez.
Exercice 35 : Curiosité
a est un chiffre, on veut démontrer que le nombre
a00 a
est divisible par 143. (Pour a = 4, le nombre est
4 004.)
a. Vérifiez cette affirmation avec a = 1 puis avec a = 2.
b. Complétez :
a00 a
= .... × 10...  .... × 1.
c. Démontrez maintenant l'affirmation dans le cas
général. Exercice 37 : On divise
a. Quels diviseurs commun ont 385 et 165 ?
Simplifiez au maximum
385
165 .
b. Procédez de la même façon pour simplifier :
42
56
et
153
189
.
Exercice 42 :
On donne les fractions suivantes :
256
243
;
1 020
1 989
;
382
426
;
313
255 .
a. Quelles sont les fractions irréductibles ? Justifiez.
b. Écrivez les autres fractions sous forme irréductible à
l'aide d'une seule simplification.
Exercice 34 : Exposition
Un photographe doit réaliser une exposition de ses
œuvres et présenter sur des panneaux des paysages et
des portraits. Tous les panneaux doivent contenir autant
de photos de chaque sorte.
Il veut exposer 224 paysages et 288 portraits.
a. Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux
en utilisant toutes ses photos ? Justifie.
b. Combien mettra-t-il alors de paysages et de portraits
sur chaque panneau ?
Exercice 44 : Extrait du Brevet
a. Pour chaque nombre : 1 035 ; 774 ; 322, indiquez s'il
est divisible par 2, par 5, par 9.
b. Les fractions
774
1 035
et
322
774
sont-elles
irréductibles? Pourquoi ?
c. Calculez le PGCD de 322 et 1 035. La fraction
322
1 035
est-elle irréductible ?
Exercice 46 : Les dimensions intérieures d'une caisse
en forme de parallélépipède rectangle sont 24 cm, 54
cm et 30 cm. Fred veut la remplir avec des cubes tous
identiques dont l'arête (en centimètres) est un nombre
entier.
1) Quelles sont les valeurs possibles pour l'arête d'un
cube ?
2) Quelle est la valeur maximale de l'arête d'un cube ?
3) Combien de cubes, les plus grands possibles pourra-
t-il ranger dans cette caisse ?
Exercice 45 : Vrai ou Faux ?
1) Le PGCD de deux entiers différents de 1 est
strictement inférieur à chacun de ces deux nombres.
2) Plus un nombre entier est grand, plus il a de
diviseur.
3) Deux nombres pairs peuvent être premiers entre
eux.
4) Le PGCD d’un nombre pair et d’un nombre impair
est 1.
5) Si
a
b
est irréductible, alors
b
a
l’est également.
6) Si 3 divise a et 3 divise b, alors 3 est le PGCD de a
et de b.