Méca 3 : ENERGIE EN MECANIQUE.

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Méca3 1
Méca 3 : E NERGIE EN MECANIQUE .
Ici, on aborde la dynamique du point matériel d’un point de vue énergétique, c'est-à-dire en y lisant des transferts
d’énergie entre le milieu extérieur et le point en mouvement.
On introduit pour cela les notions de puissance et de travail fournis par une force au système, d’énergie cinétique
d’un point matériel, d’énergie potentielle et d’énergie mécanique du système.
La réalisation de bilans d’énergie permettra de relier ces différents types d’énergie dans des théorèmes.
Cette approche énergétique met disposition des méthodes de résolution beaucoup plus élégantes que le PFD.
I. D EFINITIONS .
1. Puissance d’une force .
2. Travail d’une force .
a. Travail élémentaire reçu de la part d’une force.
b. Travail reçu de la part d’une force sur une évolution finie.
II. E NERGIE CINETIQUE D ’ UN POINT MATERIEL .
1. Définition.
2. Théorèmes de l’énergie cinétique .
3. Théorème de l’énergie cinétique et équations du mouvement .
III. E
NERGIE POTENTIELLE D ’ UN SYSTEME .
1. Champ de forces conservatives.
a. Définitions.
b. Travail d’une force conservative et variation d’énergie potentielle.
c. Surfaces équipotentielles.
2. Energies potentielles usuelles.
a. Energie potentielle de pesanteur.
b. Energie potentielle élastique.
c. Energie potentielle gravitationnelle.
3. Equilibre et stabilité de l’équilibre d’un point matériel en mouvement à un degré de
liberté dans un champ de forces conservatives.
a. Condition d’équilibre.
b. Stabilité de l’équilibre.
c. Petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable.
d. Exemple.
IV. E NERGIE MECANIQUE D ’ UN SYSTEME .
1. Définition.
2. Théorème de l’énergie mécanique pour un point matériel.
3. Exemples.
a. Pendule simple.
b. Pendule élastique vertical.
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Questions de cours
1. Définir le travail élémentaire
W
δ
reçu par un point matériel de la part d’une force
F
, puis le travail
W
reçu
par ce point de la part de
F
entre deux positions
1
M
et
2
M
le long de la courbe
Γ
.
2. Exemples :
a. Exprimer le travail fourni par une force uniforme
F
entre deux points
1
M
et
2
M
en fonction de
F
et
1 2
M M
. Conclusion ?
b. On considère un point matériel
(
)
M m
qui se déplace sur un support horizontal entre deux points
1
M
et
2
M
.
c. Exprimer le travail fourni par la force de frottement solide
T
R
au cours de ce déplacement en fonction du
coefficient de frottement dynamique
d
f
, de la masse
m
du point matériel, de l’intensité
g
du champ de
pesanteur, et de la longueur
12
L
du trajet suivi entre
1
M
et
2
M
. Conclusion ?
d. On considère un point matériel
M
lié à un ressort
(
)
0
,
k
ℓ
qui se déplace sur un support horizontal entre
deux points
(
)
1 1
M x
et
(
)
2 2
M x
. Exprimer le travail fourni à
M
par la tension du ressort au cours de ce
déplacement. Conclusion ?
3.
Définir l’énergie cinétique d’un point matériel puis énoncer avec précision en référentiel galiléen le
théorème de la puissance cinétique et le théorème de l'énergie cinétique entre deux états.
a.
Exemple 1 : on considère un point matériel
M
qui glisse sur un plan incliné d’un angle
α
entre deux
points
A
et
B
, d’altitudes respectives
A
z
et
B A
z z
>
. On note
A
v
la vitesse de
M
en
A
et
B
v
celle de
M
en
B
.
i.
Exprimer la vitesse
B
v
en fonction de
A
v
, de l’intensité
g
de la pesanteur, de l’angle
α
, du
coefficient de frottement dynamique
d
f
et des altitudes
A
z
et
B
z
.
ii.
Si le point matériel possède la vitesse v
0
en
A
, quelle altitude maximale
max
z
atteindra-t-il sur le
plan incliné ?
b.
Exemple 2 :
i.
Par le théorème de la puissance cinétique, établir l’équation du mouvement d’un pendule simple.
ii.
Que devient cette équation différentielle aux petits angles d’oscillation ? Débuter la résolution.
4.
Qu’est-ce qu’une force conservative ? Comment le vérifier ? Quelles en sont les propriétés ?
a.
Exemple 1 : Vérifier que le poids est une force conservative.
i.
En déduire l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur dans le cas où l’axe
Oz
est vertical
ascendant.
ii.
Comment est modifié ce résultat si l’axe
Oz
est vertical descendant ?
iii.
Exprimer le travail du poids entre deux points
(
)
1 1
M z
et
(
)
2 2
M z
en fonction de
1 2
, ,
m z z
, et de
l’intensité
g
de la pesanteur si l’axe
Oz
est vertical ascendant.
b.
Exemple 2 : Vérifier que la force d’interaction gravitationnelle entre deux points matériels
(
)
M m
et
(
)
' '
M m
distants de
r
est une force conservative.
i. En déduire l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle entre ces deux points
ii. On considère un point matériel
(
)
M m
, qui se déplace entre deux positions
1
M
et
2
M
distantes de
(
)
' '
M m
respectivement de
1
r
et
2
r
. Exprimer le travail fourni au point
(
)
M m
par la force
d’interaction gravitationnelle entre les deux positions
1
M
et
2
M
.

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Méca3 3
c. Exemple 3 : On considère un point matériel
M
, lié à un ressort de raideur
k
et de longueur à vide
0
ℓ
. On
suppose que le mouvement se fait suivant un axe
Ox
quelconque (pas forcément horizontal).
i. Exprimer le travail élémentaire fourni par la tension du ressort au point matériel
M
en fonction de
k
, de la variable
0
X
= −
ℓ ℓ
, où
ℓ
représente la longueur du ressort et de
dX
. La force de rappel
élastique est-elle une force conservative ?
ii. En déduire l’expression de l’énergie potentielle élastique en fonction de
k
et
X
puis en fonction de
k
,
ℓ
et
0
ℓ
.
iii. Exprimer enfin le travail fourni au point
M
par la tension du ressort entre deux positions
1
M
et
2
M
,
correspondant à des longueurs respectives du ressort
1
ℓ
et
2
ℓ
, en fonction de
k
,
0
ℓ
,
1
ℓ
et
2
ℓ
.
5. Dans les cas de problèmes à un seul degré de liberté, comment trouver les positions d'équilibre d’un système
et leur stabilité connaissant son énergie potentielle ? Justifier en traitant les questions suivantes :
On considère un point matériel
M
en mouvement à un degré de liberté (noté
x
ici), soumis uniquement à
des forces conservatives de résultante
(
)
C
F x
dérivant de l’énergie potentielle
(
)
P
E x
.
a. Exprimer les différentes composantes de la force
(
)
C
F x
puis traduire la condition d’équilibre.
b. Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 de
(
)
P
E x
au voisinage de
e
x
correspondant à une
position d’équilibre. Introduire la constante
2
2
e
P
x x
E
kx
=
∂
=
∂
.
c. En déduire une expression approchée (à l’ordre 1) de la force appliquée au point
M
en fonction de
,
k x
et
e
x
si
M
se trouve à proximité de la position d’équilibre.
d.
Envisager enfin un déplacement du point M à partir de la position d’équilibre
(
)
0
e
x x
− >
et discuter la
stabilité de la position d’équilibre en fonction du signe de 2
2
e
P
x x
E
kx
=
∂
=
∂
.
e.
Exemple : On considère un pendule simple constitué par un point matériel
(
)
M m
suspendu à
l’extrémité d’un fil inextensible de longueur
ℓ
. Quels sont les degrés de liberté ?
i.
Exprimer puis tracer l’allure de l’énergie potentielle
(
)
P
E
θ
du système.
ii.
Déterminer analytiquement les différentes positions d’équilibre, en étudier la stabilité. Le vérifier sur
le graphe.
6.
Petites oscillations autour d’une position d’équilibre stable.
a.
Effectuer un développement de Taylor à l’ordre 2 de
(
)
P
E x
au voisinage de
e
x
correspondant à une
position d’équilibre
stable . Introduire la constante 2
2
0
e
P
x x
E
kx=
∂
= >
∂
  .
b.
En déduire une expression approchée (à l’ordre 1) de la force appliquée au point
M
en fonction de
,
k x
et
e
x
si
M
se trouve à proximité de la position d’équilibre.
c.
En déduire finalement l’équation différentielle du mouvement de
M
au voisinage d’une position
d’équilibre stable. Conclure sur la nature du mouvement.
7.
Définir l’énergie mécanique d’un point matériel puis énoncer avec précision en référentiel galiléen le
théorème de la puissance mécanique et le théorème de l'énergie mécanique entre deux états.
Exemple
:On considère un pendule simple constitué par un point matériel
(
)
M m
suspendu à l’extrémité
d’un fil inextensible de longueur
ℓ
.
a.
Exprimer l’énergie potentielle
(
)
P
E M
du système, son énergie cinétique
(
)
C
E M
puis son énergie
mécanique
(
)
M
E M
.
b. Que dire de l’énergie mécanique de ce système ?
c.
En déduire l’intégrale première du mouvement du pendule simple puis son équation différentielle.
d. A partir du graphe
(
)
P
E
θ
, discuter selon la valeur de l’énergie mécanique communiquée initialement au
point matériel
(
)
M m
la nature (éventuellement les bornes) du mouvement.
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Méca3 4
Objectifs
Savoirs :
Savoir énoncer en référentiel galiléen :
Le théorème de la puissance cinétique (resp. de l'énergie cinétique entre deux états) ;
Le théorème de la puissance mécanique (resp. de l'énergie mécanique entre deux états) ;
Connaître la définition et les propriétés des forces conservatives.
Connaître et savoir retrouver les énergies potentielles de pesanteur, gravitationnelle et élastique.
Connaître l'intérêt et le cadre de validité du modèle de l'oscillateur harmonique, si on travaille sur un
mouvement au voisinage d'une position d'équilibre.
Savoirs faire :
Savoir calculer le travail et la puissance fournis par une force à un point matériel en mouvement.
Savoir déterminer si une force est conservative ou non et dans le cas où elle le serait savoir calculer
l'énergie potentielle dont elle dérive.
Savoir utiliser le théorème de l’énergie cinétique ou celui de l’énergie mécanique pour déterminer une
position ou une vitesse dans un état limite.
Dans les cas de problèmes à un seul degré de liberté :
Savoir déterminer analytiquement les positions d'équilibre et leur stabilité à partir de l'énergie potentielle
(Connaître la démonstration correspondante) ;
Savoir utiliser la conservation de l'énergie mécanique (dans le cas d'un système soumis uniquement à des
forces conservatives)
pour déterminer l'intégrale première du mouvement puis son équation différentielle
pour déterminer des limites de trajectoire.
Savoir utiliser la représentation graphique de l'énergie potentielle :
Pour repérer les positions d'équilibre (stables ou instables) ;
Pour déterminer le caractère borné ou non du mouvement ;
Pour évaluer les parts d'énergies cinétique et potentielle en tout point du mouvement.
Et EVIDEMMENT !
Etre capable de refaire tous les exemples du cours (ultra-classiques) ainsi que tous les exercices
corrigés en classe.