TD n`2

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Feuille d’exercices no 2
Bases duales et bases antéduales
1 ê Sur E = R3 , dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs suivants forment une base de E et
calculer leur base duale.
1) e1 = (1, 0, ≠1),
e2 = (≠1, ≠1, 2),
e3 = (≠2, 1, ≠2).
2) e1 = (1, 0, 0),
e2 = (1, 1, 0),
e3 = (0, 1, 1).
3) e1 = (1, 1, 0),
e2 = (0, 1, 1),
e3 = (1, 1, 1).
2 ê Sur E = R3 , dans chacun des cas suivants, montrer que les formes linéaires données forment une base de
E ú et calculer leur base préduale.
1) f1 = (1, 1, ≠1),
2) f1 = (1, 2, 3),
f2 = (1, ≠1, 1),
f2 = (2, 3, 4),
f3 = (1, 1, 1).
f3 = (3, 4, 6).
3) f1 = (0, 1, 1), f2 = (1, 0, 1), f3 = (1, 1, 0).
Q
R
1 1 0 3
c1 2 1 3d
d
3 ê Soit A = c
a0 1 2 1b œ M4 (R).
2 2 1 8
1) Déterminer A≠1 .
Q R
1
c1d
d
2) Justifier que la famille c
a0b,
2
Q R
1
c2d
c d,
a1b
2
Q R
0
c1d
c d,
a2b
1
Q R
3
c3d
c d est une base de R4 et trouver sa base duale.
a1b
8
4 ê Sur E = Rn , on considère les formes linéaires fi (x1 , ..., xn ) = xi + xi+1 , i œ 1, ...n ≠ 1 et fn (x1 , ..., xn ) =
xn + x1 . Déterminer si (f1 , f2 , ..., fn ) est une base de E ú et, le cas échéant, calculer sa base préduale.
5 ê 1) Soit n œ Nú et E = Cn [X]. Pour a œ C, on définit l’application lineéaire Ïa par :
’P œ E, Ïa (P ) = P (a).
Montrer que pour tout a œ C, Ïa œ E ú .
2) Soit (a0 , a1 , ..., an ) œ Cn+1 une famille de complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille (Ïa0 , Ïa1 , ..., Ïan )
est une base de Eú et calculer sa base préduale.
3) Montrer qu’il existe (⁄0 , ..., ⁄n ) œ Cn+1 tel que
’P œ E,
⁄
0
1
P (t)dt = ⁄0 P (a0 ) + ... + ⁄n P (an )
et donner les ⁄i sous forme d’une intégrale.
6 ê Sur E = R3 [X], on considère les formes linéaires fi (P ) =
forme une base de E ú et trouver sa base préduale.
s1
0
ti P (t)dt, i œ 0, 1, 2, 3. Montrer que (f0 , f1 , f2 , f3 )
7 ê Soit f1 , ..., fn des formes linéaires sur k n telles qu’il existe x œ k n non nul tel que f1 (x) = f2 (x) = ... =
fn (x) = 0. Montrer que la famille (f1 , f2 , ..., fn ) est liée.
8 ê Soit B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) la base canonique de V = R4 , soit V ú l’espace dual de V et B ú = (eú1 , eú2 , eú3 , eú4 ) la
base duale de B.
1) Soit P le plan de V engendré par les vecteurs v1 = e1 +2e2 +e3 +e4 et v2 = e2 +e3 +e4 . Pour a1 , a2 , a3 , a4 œ R,
sous quelles conditions la forme linéaire f = a1 eú1 + a2 eú2 + a3 eú3 + a4 eú4 s’annule-t-elle sur P ?
1
2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
2) Déterminer une base (f1 , . . . , fd ) du sous-espace P ‹ = {f œ V ú | f (v) = 0, ’v œ P } de V ú (où d =
dim P ‹ ). Puis, de façon équivalente, donner d équations linéaires, linéairement indépendantes, définissant
P.
3) Considérons maintenant les formes linéaires „ = eú1 + eú2 ≠ eú3 et  = eú1 + eú4 . Déterminer la dimension et une
base du sous-espace E = {v œ V | „(v) = 0 = Â(v)} de V .
9 ê Soit V = Rn [X] l’espace des polynômes de degré Æ n et soit B la base (1, X, . . . , X n ) de V . Soit ˆ
l’endomorphisme de V qui à tout P œ V associe son polynôme dérivé P Õ . On pose ˆ i = ˆ ¶ · · · ¶ ˆ (i facteurs)
pour i œ Nú , et ˆ 0 = idV . On fixe n = 4 (mais on peut faire l’exercice pour n arbitraire).
1) Pour i = 0, . . . , n, on considère la forme linéaire „i : V æ R, P ‘æ
base duale B ú de la base B = (1, X, . . . , X n ) de V .
(ˆ i P )(0)
i!
; montrer que („0 , . . . , „n ) est la
2) Soit ⁄ œ R. Écrire la matrice A⁄ exprimant la famille de vecteurs C⁄ = (1, X ≠ ⁄, (X ≠ ⁄)2 , . . . , (X ≠ ⁄)n )
dans la base B et montrer que C⁄ est une base de V .
3) Soit u⁄ l’endomorphisme de V tel que MatB (u⁄ ) = A⁄ . Si µ œ R, pouvez-vous déterminer sans calcul la
≠1
matrice de uµ ¶ u⁄ puis celle de u≠1
⁄ ? Sinon, calculez A⁄ .
4) Soit C⁄ú la base duale de C⁄ . Écrire la matrice de passage MatBú (C⁄ú ).
Opérations élémentaires
10 ê On considère dans R5 le sous-espace L, resp. M , engendré par les vecteurs
Q R
Q R
Q R
Q R
Q R
1
1
1
3
1
c≠1d
c3d
c1d
c1d
c2d
c d
c d
c d
c d
c d
d
c d
c d
c d
c d
v1 = c
c 1 d , v2 = c1d , v3 = c1d , resp. v4 = c3d , v5 = c1d ,
a≠1b
a3b
a1b
a1b
a2b
1
1
2
3
1
Q R
1
c2d
c d
d
v6 = c
c0d .
a2b
0
En faisant des opérations sur les colonnes de la ou les matrice(s) appropriée(s), donner des bases de L, M ,
L + M et de L fl M .
Q
R
1 2 3
4
5
c0 3 4
5
6 d
d œ M4,5 (R).
11 ê Soit A = c
a2 1 5
4
3 b
3 2 8/3 5 22/3
1) En faisant des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminer rang(A) et des bases de im(A) et Ker(A).
2) Donner une base de F ¶ où F est le sous-espace du dual de R5 engendré par les formes linéaires x ‘æ x1 +2x2 +
3x3 +4x4 +5x5 , x ‘æ 3x2 +4x3 +5x4 +6x5 , x ‘æ 2x1 +x2 +5x3 +4x4 +3x5 , et x ‘æ 3x1 +2x2 + 38 x3 +5x4 + 22
3 x5 .
12 ê Reprendre la question 1 de l’exercice précédent avec
Q
1 1 2 3
c1 2 3 4
c
A=c
c2 3 3 5
a1 0 ≠1 0
1 0 1 2
Deviner la question suivante et la résoudre !
la matrice
R
4
5d
d
7d
d œ M5 (R).
1b
3
13 ê En faisant des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminer, en fonction du paramètre t œ R, une
base de l’image et du noyau de la matrice
Q
R
1
≠2
3
3
c 2
≠1
3
2 d
d œ M4 (R).
At = c
a 2
2
0
≠2 b
2≠t
2≠t
t≠1
t≠2
2
2M371 – Algèbre linéaire 2
Feuille d’exercices no 1
Déterminants
14 ê Calculer les
-x
-b
-x
-a
déterminants suivants :
a b x--a ≠ b ≠ c
- a+b
2a
2a -x x a- 2b
- , -a2 + b2
b
≠
c
≠
a
2b
,
- 3
b a x-- 2c
- a + b3
2c
c ≠ a ≠ bx x b- 2
-a + b ab a2 + b2 -a b2 ab- b + c bc b2 + c2 - , - b2 ab a2 - .
-c + a ca c2 + a2 -ab a2 b2 -
15 ê -Soit n œ N, calculer les
de taille n- suivants :
- déterminants
- 1 · · · · · · · · · 1-0 1 · · · · · · 1-a b
- ..
.. ..
-.
.
0
1
·
·
·
1
1
0
.
-b . . .
- ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1) - .
.
. . -- 2) -- .
.
. . -- 3) -- . .
1
..
- ..
-.
-.
..
..
..
..
..
- ..
- ..
.
. 1-.
. 1--b · · ·
.
-1 1 · · ·
-1 · · · · · ·
1 01 03
···
..
.
..
.
b
b+c
b2 + c2
b3 + c3
c + a -c2 + a2 -- ,
c3 + a3 -
b -.. . -b -a-
4
B D
16 ê On définit une matrice A par blocs A =
où B, C, A sont des matrices carrées de formats
0 C
respectifs p, q, p + q. Montrer que det(A) = det(B) ◊ det(C)
17 ê Soit n œ N, et (x0 , ..., xn≠1 ) œ Cn . Calculer le déterminant suivant, dit déterminant de Vandermonde :
- 1
1
···
1 -- x0
x1
· · · xn≠1 -- 2
2
- x0
x
· · · x2n≠1 -1
Van(x0 , ..., xn≠1 ) = - ..
..
.. ..
- .
.
.
. -- n≠1
n≠1
n≠1 -x
x1
· · · xn≠1
0
2n
18 ê
1 Soit2(a1 , ..., an , b1 , ..., bn ) œ C vérifiant ai + bj ”= 0, ’i, j. Calculer le déterminant de Cauchy Cn =
1
det ai +b
.
j
1Æi,jÆn
19 ê Soit n œ N et (a0 , a1 , ..., an≠1 ) œ Cn . Calculer det(A ≠ xIn ) pour tout x œ C, où
Q
R
0 ··· ··· 0
a0
c
d
..
c1 . . .
.
a1 d
c
d
c
.. d
A = c0 . . . . . . ...
d
.
c
d
c. .
d
.
.
..
.. 0
.. b
a ..
0 ···
0 1 an≠1
20 ê 1) Soient ai,j , 1 Æ i, j Æ n n2 fonctions dérivables sur R à valeurs dans C. Soit d la fonction définie par
d(x) = det(ai,j (x))1Æi,jÆn . Montrer que d est dérivable sur R et calculer dÕ .
-x + 1 1 · · ·
1 -.. ..
..
- 1
.
.
. -2) Calculer dn (x) = - .
..
..
- ..
.
.
1 -- 1
···
1 x + 1-
3