TD n`2

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2015/2016
Feuille d’exercices no2
Bases duales et bases antéduales
1êSur E=R3, dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs suivants forment une base de Eet
calculer leur base duale.
1) e1=(1,0,≠1),e
2=(≠1,≠1,2),e 3=(≠2,1,≠2).
2) e1=(1,0,0),e
2=(1,1,0),e 3=(0,1,1).
3) e1=(1,1,0),e
2=(0,1,1),e 3=(1,1,1).
2êSur E=R3, dans chacun des cas suivants, montrer que les formes linéaires données forment une base de
Eúet calculer leur base préduale.
1) f1=(1,1,≠1),f
2=(1,≠1,1),f 3=(1,1,1).
2) f1=(1,2,3),f
2=(2,3,4),f 3=(3,4,6).
3) f1=(0,1,1),f
2=(1,0,1),f 3=(1,1,0).
3êSoit A=Q
c
c
a
1103
1213
0121
2218
R
d
d
b
œM4(R).
1) Déterminer A≠1.
2) Justifier que la famille Q
c
c
a
1
1
0
2
R
d
d
b
,Q
c
c
a
1
2
1
2
R
d
d
b
,Q
c
c
a
0
1
2
1
R
d
d
b
,Q
c
c
a
3
3
1
8
R
d
d
b
est une base de R4et trouver sa base duale.
4êSur E=Rn, on considère les formes linéaires fi(x1,...,x
n)=xi+xi+1,i œ1,...n≠1et fn(x1,...,x n)=
xn+x1.Déterminersi(f1,f
2,...,f n)est une base de Eúet, le cas échéant, calculer sa base préduale.
5ê1) Soit nœNúet E=Cn[X]. Pour aœC, on définit l’application lineéaire Ïapar :
’PœE,Ïa(P)=P(a).
Montrer que pour tout aœC,ÏaœEú.
2) Soit (a0,a
1,...,a n)œCn+1 une famille de complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille (Ïa0,Ï a1,...,Ï an)
est une base de Eúet calculer sa base préduale.
3) Montrer qu’il existe (⁄0,...,⁄
n)œCn+1 tel que
’PœE,⁄1
0
P(t)dt =⁄0P(a0)+... +⁄nP(an)
et donner les ⁄isous forme d’une intégrale.
6êSur E=R3[X], on considère les formes linéaires fi(P)=s1
0tiP(t)dt, i œ0,1,2,3. Montrer que (f0,f
1,f 2,f 3)
forme une base de Eúet trouver sa base préduale.
7êSoit f1,...,f
ndes formes linéaires sur kntelles qu’il existe xœknnon nul tel que f1(x)=f2(x)=... =
fn(x)=0. Montrer que la famille (f1,f
2,...,f n)est liée.
8êSoit B=(e1,e
2,e 3,e 4)la base canonique de V=R4, soit Vúl’espace dual de Vet Bú=(eú
1,e
ú
2,e
ú
3,e
ú
4)la
base duale de B.
1) Soit Ple plan de Vengendré par les vecteurs v1=e1+2e2+e3+e4et v2=e2+e3+e4. Pour a1,a
2,a 3,a 4œR,
sous quelles conditions la forme linéaire f=a1eú
1+a2eú 2+a3eú 3+a4eú 4s’annule-t-elle sur P?
1

2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
2) Déterminer une base (f1,...,f
d)du sous-espace P‹={fœVú|f(v)=0,’vœP}de Vú(où d=
dim P‹). Puis, de façon équivalente, donner déquations linéaires, linéairement indépendantes, définissant
P.
3) Considérons maintenant les formes linéaires „=eú
1+eú 2≠eú 3et Â=eú 1+eú 4. Déterminer la dimension et une
base du sous-espace E={vœV|„(v)=0=Â(v)}de V.
9êSoit V=Rn[X]l’espace des polynômes de degré Ænet soit Bla base (1,X,...,Xn)de V. Soit ˆ
l’endomorphisme de Vqui à tout PœVassocie son polynôme dérivé PÕ. On pose ˆi=ˆ¶···¶ˆ(ifacteurs)
pour iœNú,etˆ0=id
V.Onfixen=4(mais on peut faire l’exercice pour narbitraire).
1) Pour i=0,...,n, on considère la forme linéaire „i:VæR,P‘æ (ˆiP)(0)
i!; montrer que („0,...,„
n)est la
base duale Búde la base B=(1,X,...,Xn)de V.
2) Soit ⁄œR. Écrire la matrice A⁄exprimant la famille de vecteurs C⁄=(1,X ≠⁄,(X≠⁄)2,...,(X≠⁄)n)
dans la base Bet montrer que C⁄est une base de V.
3) Soit u⁄l’endomorphisme de Vtel que MatB(u⁄)=A⁄.SiµœR, pouvez-vous déterminer sans calcul la
matrice de uµ¶u⁄puis celle de u≠1
⁄? Sinon, calculez A≠1 ⁄.
4) Soit Cú
⁄la base duale de C⁄. Écrire la matrice de passage MatBú(Cú ⁄).
Opérations élémentaires
10 êOn considère dans R5le sous-espace L,resp.M, engendré par les vecteurs
v1=Q
c
c
c
c
a
1
≠1
1
≠1
1
R
d
d
d
d
b
,v
2=Q
c
c
c
c
a
1
3
1
3
1
R
d
d
d
d
b
,v
3=Q
c
c
c
c
a
1
1
1
1
2
R
d
d
d
d
b
,resp. v4=Q
c
c
c
c
a
3
1
3
1
3
R
d
d
d
d
b
,v
5=Q
c
c
c
c
a
1
2
1
2
1
R
d
d
d
d
b
,v
6=Q
c
c
c
c
a
1
2
0
2
0
R
d
d
d
d
b
.
En faisant des opérations sur les colonnes de la ou les matrice(s) appropriée(s), donner des bases de L,M,
L+Met de LflM.
11 êSoit A=Q
c
c
a
12 3 4 5
03 4 5 6
21 5 4 3
328/3 5 22/3
R
d
d
b
œM4,5(R).
1) En faisant des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminer rang(A)et des bases de im(A)et Ker(A).
2) Donner une base de F¶où Fest le sous-espace du dual de R5engendré par les formes linéaires x‘æ x1+2x2+
3x3+4x4+5x5,x‘æ 3x2+4x3+5x4+6x5,x‘æ 2x1+x2+5x3+4x4+3x5,etx‘æ 3x1+2x2+8
3x3+5x4+22 3x5.
12 êReprendre la question 1 de l’exercice précédent avec la matrice
A=Q
c
c
c
c
a
11 2 34
12 3 45
23 3 57
10≠101
10 1 23
R
d
d
d
d
b
œM5(R).
Deviner la question suivante et la résoudre !
13 êEn faisant des opérations élémentaires sur les colonnes, déterminer, en fonction du paramètre tœR,une
base de l’image et du noyau de la matrice
At=Q
c
c
a
1≠23 3
2≠13 2
220≠2
2≠t2≠tt≠1t≠2
R
d
d
b
œM4(R).
2

2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no1
Déterminants
14 êCalculer les déterminants suivants :
-
-
-
-
-
-
-
-
xabx
bxxa
xbax
axxb
-
-
-
-
-
-
-
-
,-
-
-
-
-
-
a≠b≠c2a2a
2bb≠c≠a2b
2c2cc≠a≠b
-
-
-
-
-
-
,-
-
-
-
-
-
a+bb+cc+a
a2+b2b2+c2c2+a2
a3+b3b3+c3c3+a3-
-
-
-
-
-
,
-
-
-
-
-
-
a+baba
2+b2
b+cbcb
2+c2
c+acac
2+a2-
-
-
-
-
-
,-
-
-
-
-
-
a2b2ab
b2ab a2
ab a2b2-
-
-
-
-
-
.
15 êSoit nœN, calculer les déterminants de taille nsuivants :
1)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1··· ··· ··· 1
.
.
.01··· 1
.
.
.1.......
.
.
.
.
..
.
.......1
11··· 10
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
01··· ··· 1
10....
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.......1
1··· ··· 10
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3) -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ab··· b
b.......
.
.
.
.
.......b
b··· ba
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
16 êOn définit une matrice Apar blocs A=3BD
0C4où B,C,A sont des matrices carrées de formats
respectifs p, q, p +q. Montrer que det(A)=det(B)◊det(C)
17 êSoit nœN,et(x0,...,x
n≠1)œCn. Calculer le déterminant suivant, dit déterminant de Vandermonde :
Van(x0,...,x
n≠1)=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
11··· 1
x0x1··· xn≠1
x2
0x2 1··· x2 n≠1
.
.
..
.
.....
.
.
xn≠1
0xn≠1 1··· xn≠1 n≠1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
18 êSoit (a1,...,a
n,b 1,...,b n)œC2nvérifiant ai+bj”=0,’i, j. Calculer le déterminant de Cauchy Cn=
det 11
ai+bj21Æi,jÆn.
19 êSoit nœNet (a0,a
1,...,a n≠1)œCn. Calculer det(A≠xIn)pour tout xœC, où
A=
Q
c
c
c
c
c
c
c
a
0··· ··· 0a0
1....
.
.a1
0.......
.
..
.
.
.
.
.......0.
.
.
0··· 01an≠1
R
d
d
d
d
d
d
d
b
20 ê1) Soient ai,j ,1Æi, j Ænn
2fonctions dérivables sur Rà valeurs dans C. Soit dla fonction définie par
d(x)=det(ai,j (x))1Æi,jÆn. Montrer que dest dérivable sur Ret calculer dÕ.
2) Calculer dn(x)=-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x+1 1 ··· 1
1.......
.
.
.
.
.......1
1··· 1x+1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3