Mathématiques Bac Blanc TS du mercredi 10 février 2010 (4 heures)

Mathématiques Bac Blanc TS du mercredi 10 février 2010 (4 heures)
Sujet pour les spécialistes physique ou SVT
Les calculatrices sont autorisées (mais aucun formulaire personnel).
La qualité de la rédaction, la clarté de la copie et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 3 points
1. Soit u la suite définie par :
01
1
0 et 2
nn
uu u
pour tout entier naturel n.
a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N
par
1
nn
wn
c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, un = wn.
2. Soit v la suite de terme général vn défini par
ln 1
nn
vn
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a. Montrer que v1+v2 +v3 =−ln4.
b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :
12
........
nn
S v v v   
Exprimer Sn en fonction de n.
Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2 5 points.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
,,O u v
d’unité graphique 1 cm.
Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.
1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives
zA = −11+ 4i, zB = −3−4i et zC = 5+ 4i.
2. Calculer le module et un argument du quotient
AB
CB
zz
zz
et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle
4
.
Montrer que l’affixe de E vérifie
3 (8 2 4)
E
zi   
.
Placer le point E.
4. Soit D l’image du point E par l’homothétie H de centre B et de rapport
2
2
.
Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Placer le point D.
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Soit  la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droite 
et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
Montrer que B, I et J sont alignés.

Exercice 3 7 points.
Partie A : Restitution Organisée de Connaissances
On admet connu le résultat suivant :
ln
lim 0
x
x
x
ainsi que les propriétés algébriques de la fonction ln.
Démontrer que :
0
lim ln 0
xxx
Partie B
On considère la fonction f définie par
( ) 2 ²ln 3 ²f x x x x
pour x > 0 et f (0) = 0.
1. a. Déterminer
0
lim 2 ² ln 3 ²
xx x x
. Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
b. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
2. a. Déterminer la limite de f en + 
b. Montrer que pour x > 0 ,
( ) 4 (ln 1)f x x x
c. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; + [
3. On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère, et on désigne par T la tangente à C au point A
d’abscisse 1.
a. Déterminer une équation de T.
b. L’objet de cette question est d’étudier la position relative de C et T et pour cela d’étudier le signe de la fonction h
définie sur ]0 ;+[ par
( ) 2 ² ln 3 ² 4 1h x x x x x   
(i) Calculer
'( )hx
et
"( )hx
(ii) Étudier les variations de h’ et en déduire le signe de
'( )hx
(iii) Étudier les variations de h puis conclure.
Exercice 4 5 points
1. Résoudre l’équation différentielle : 2y’+ y = 0 (E) dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable
sur
2. On considère l’équation différentielle :
2
2 ' ( 1) ( ')
x
y y e x E
a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par :
2
( ) ( ² )
x
f x e mx px
soit solution
de (E’).
b)Soit g une fonction définie et dérivable sur .
Montrer que g est solution de l’équation (E’) si et seulement si , g–f est solution de l’équation(E).
c) Résoudre l’équation (E’).
On définit sur  la fonction h par :
2
1
( ) ( ² 2 )
4
x
h x e x x
3. Déterminer les limites en – et en + de la fonction h.
4. a. Calculer h’(x) et vérifier que
2
1
'( ) ² 2 4
8
x
h x e x x
b. Dresser le tableau de variations de la fonction h sur .

Mathématiques Bac Blanc TS du mercredi 10 février 2010 (4 heures)
Sujet pour les spécialistes mathématique
Les calculatrices sont autorisées (mais aucun formulaire personnel).
La qualité de la rédaction, la clarté de la copie et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 3 points
1. Soit u la suite définie par :
01
1
0 et 2
nn
uu u
pour tout entier naturel n.
a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N
par
1
nn
wn
c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, un = wn.
2. Soit v la suite de terme général vn défini par
ln 1
nn
vn
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
a. Montrer que v1+v2 +v3 =−ln4.
b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :
12
........
nn
S v v v   
Exprimer Sn en fonction de n.
Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2: 5 points.
Les trois questions sont indépendantes
1) On note (E) l’équation 3x + 2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation (E).
b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
c. Préciser les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la fois x 0 et y 0.
2) s a pour écriture complexe :
' 3 2(1 )z iz i  
a. Démontrer que s est une similitude de rapport 3.
b. Démontrer que le point I d’affixe 1 + i est invariant par s.
c. Quelle est l’affixe du point A’, image par s de A d’affixe 2 ?
d. Démontrer que les points A, A’ et I sont alignés.
3) Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
On note S l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD (x, y) = y – x.
a. Calculer PGCD (363, 484).
b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ?
c. Soit n un entier naturel non nul, le couple (n, n + 1) appartient-il à S. Justifier votre réponse.
d. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que :
( ) et ( 1)( )x k y x y k y x    
.
En déduire que, pour tout couple (x, y) solution de S, on a : PPCM (x, y) = k(k + 1)(y –x).

Exercice 1.
1) a)
1 2 3
0 1 2
1 1 1 1 1 2 1 1 3
;;
1 3 2
2 2 2 3 2 4
22
2 2 3
u u u
u u u
b)
0 0 1 1 2 2 3 3
1 2 3
0 ; ; ;
2 3 4
w u w u w u w u       
c)
On veut démontrer par récurrence la propriété : pour tout entier n, un = wn.
Initialisation : d’après question précédente w0 = u0 donc la propriété est vraie au
rang 0
Hérédité : pour k entier quelconque, on admet que la propriété est vraie c’est à
dire que uk = wk.
D’après la définition de la suite (un) on a a)
11
1 1 1 1 1
11
puisque
22
1 1 1
2( 1) 2
21
k k k k
kk
k k k k k
u u u w
uw
kk
u u u u w
kk k k
k
Donc la propriété est vraie au rang k + 1.
Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, un = wn.
2) a)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
ln ln ln ln ln ln4
2 3 4 2 3 4 4
v v v          
b)
12 12
...... ln ln ...... ln
2 3 1
nn n
S v v v n
1 2 3 1
ln .... ln ln( 1)
2 3 4 1 1
lim ( 1) lim ln donc lim
n
n
n X n
n
Sn
nn
n et X S
Exercice 2 spé.
1) a) le couple (5, 7) est solution de (E).
b) Soit (x, y) un couple solution de (E) alors 3x + 2y = 29, or d’après la question
précédente 3× 5 + 2 × 7 = 29.
On en déduit que 3x + 2y = 3× 5 + 2 × 7 donc 3( x – 5) = 2(7 – y)
3 divise 3(x – 5) donc 3 divise 2( 7 – y) or 3 et 2 sont premiers entre eux donc
d’après le théorème de Gauss 3 divise ( 7 – y). On en déduit qu’il existe
k
tel
que 7 – y = 3 k soit y = – 3k + 7.
3(x – 5) = 2 × 3k donc x – 5 = 2k d’où x = 2k + 5.
Réciproquement vérifions que x = 5 + 2k et y = – 3k + 7,
k
, sont bien solution
de (E).
3(2k + 5) + 2(– 3k + 7) = 6k + 15 – 6k + 14 = 29
L’ensemble des solutions de (E) est
5 2 ; 7 3k k k  
.
c) (x, y) solution de (E) tel que x 0 et y 0 5 + 2k 0 et 7 – 3k 0 avec
k d’après la question précédente.
5
5 2 0 22, 1 , 0,1, 2}
7
7 3 0 3
k
kk k k
kk
Les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la fois x 0 et y 0 sont :
{ (1, 13) ; (3 ; 10) ; (5 ; 7) ; (7 ; 4) ; (9 ;1)}
2) a) s a pour écriture complexe :
' 3 2(1 )z iz i  
donc s a une écriture complexe
de la forme
'z az b
d’où s est une similitude de rapport
3i
= 3.
b) le point I d’affixe 1 + i est invariant par s si I’ = s(I) a pour affixe 1 + i.
3 (1 ) 2(1 ) 3 (1 ) 2(1 ) 3 3 2 2 1i i i i i i i i i            
Donc I est invariant par s.
c) Affixe de A’ = s(A) :
' 3 2 2(1 ) 2 4z i i i      

d)
a pour affixe 1 , ' a pour affixe 3 3 ,on en déduit que ' 3AI i A I i A I AI    
,
donc les points A, A’ et I sont alignés.
3) a) Algorithme d’Euclide : 484 = 363 × 1 + 121 ; 363 = 121 × 3 + 0 donc le
dernier reste non nul est 121, c’est le PGCD (363, 484).
b) 484 – 363 = 121 = PGCD (363, 484) et 363 < 484 donc le couple (363, 484)
appartient à S.
c) n < n + 1, d’autre part n + 1 = n × 1 + 1 1 × (n + 1) – n × 1 = 1, d’après le
théorème de Bezout on en en déduit que n et n + 1 sont premiers entre eux donc
leur PGCD est égal à 1.
On a donc n < n + 1 et n + 1 – n = 1 = PGCD (n, n +1) donc le couple (n, n +1)
appartient à S.
d) Supposons que x = k(y – x) et y = (k + 1)(y – x) avec k entier naturel non nul.
Alors y – x divise x et y – x divise y donc y – x divise le PGCD (x, y) que l’on
notera δ.
k et k + 1 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Bezout, il existe des
entiers u et v tels que uk + v(k + 1) = 1 d’où uk(y – x) + v(k + 1)(y – x) = y – x
mais k(y – x) = x et (k + 1)(y – x ) = y d’où l’égalité s’écrit : ux + vy = y – x donc δ
divise y – x .
On en déduit que δ = y – x d’autre part x < y donc le couple (x , y) appartient à S.
Réciproque : Soit (x, y) un couple appartenant à S.
Alors PGCD(x, y) = y – x donc il existe un entier k non nul tel que x = k(y – x ) et
un entier k’ non nul tel que y = k’(y – x) avec k et k’ premiers entre eux
y – x = k’(y – x) - k(y – x ) = (y – x )(k’ – k) donc k’ – k = 1 soit k’ = k + 1 et donc
x = k(y – x ) et y = (k + 1)(y – x).
On a donc démontré que (x, y) appartient à S si et seulement si, il existe un entier
naturel k non nul tel que :
( ) et ( 1)( )x k y x y k y x    
.
On sait que pour tout entier a et b : PPCM(a, b) ×PGCD(a, b) = ab.
Pour tout couple (x, y) de S on a donc :
PPCM(x, y) × (y – x) = k(y – x) × (k + 1)(y – x) PPCM(x, y) = k(k + 1)(y – x)
car x ≠ y.