Par identi…cation on obtient :
(6a= 1
3b+ 2a= 1 () 8
>
>
>
<
>
>
>
:
a=1
6
b=2
9
=)y1=1
6x2+2
9xex
1-c) La solution générale de (F)est
y=y0+y1=C1ex+C2e2x+1
6x2+2
9xex; C1; C22R:
2) Soit zune solution de (E)sur ]0;+1[:
2-a) On pose y(x) = z(ex);8x2R.yest deux fois dérivable car composée des fonctions
z et x 7! ex;la fonction zest deux fois dérivable, solution d’une équation di¤érentielle du
second ordre et x7! exest C1(R):
Expressions de y0(x)et y00 (x)en fonction de z0(ex); z00 (ex)et ex:On a
y(x) = z(ex) =)y0(x) = exz0(ex)et y00 (x) = (y0(x))0(exz0(ex))0=exz0(ex) + e2xz00 (ex)
2-b) Montrons que yest solution de (F):
On a
y00 (x) + y0(x)2y(x) = e2xz00 (ex)+2exz0(ex)2z(ex);
où zest solution de (E):On pose t=ex,x= ln t: Alors
e2xz00 (ex)+2exz0(ex)2z(ex) = (x+ 1) ex() y00 (x) + y0(x)2y(x) = (x+ 1) ex:
2-c) En déduire la solution générale de zde (E):Posons t=ex:
t=ex,x= ln t: On a
z(t) = z(ex) = y(x) = y(ln t) = C1t+C2
t2+1
6t: (ln t)2+2
9t: ln t; C1; C22R:
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