La conjecture de Mordell

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
L UCIEN S ZPIRO
La conjecture de Mordell
Séminaire N. Bourbaki, 1983-1984, exp. no 619, p. 83-103
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Séminaire BOURBAKI
36e
année, 1983/84, n°
619
Novembre 1983
LA CONJECTURE DE MORDELL
[d’après
G.
Faltings]
par Lucien SZPIRO
0. PLAN DE
L’EXPOSE
1. Introduction : les
2. Le
problème
équations diophantiennes
de Shafarevitch
2.1. L’ensemble
2.2. Les deux méthodes pour borner
2.2.1. Hauteurs, degré
3.
4.
5.
un
ensemble
Jll
2.2.2. Représentation du groupe fondamental ou du groupe de Galois
Passage aux variétés abéliennes
Le problème de Tate
4.1. Énoncé de la conjecture de Tate
4.2. Réduction de la conjecture de Tate à un énoncé de finitude
La stratégie appliquée par Faltings
5.1. Le théorème de Faltings
5.2. La construction de Kodaira-Parshin
5.3. Comment obtenir des théorèmes de finitude
6. Tableau des résultats
7. Et maintenant ?
Bibliographie
1. INTRODUCTION : LES
On
où les
DIOPHANTIENNES
appelle équations diophantiennes
sont des
Fi
tionnels aux
ÉQUATIONS
ou
polynômes
Soit
ces
K
systèmes
les variables
par extension à coefficients dans
solutions rationnelles -
bres - de
en
les
ou
par extension
finis
d’équations :
(X~,...,Xn) ,
à coefficients
ra-
corps de nombres. On s’intéresse
solutions dans un corps de nom-
un
aux
équations.
corps de nombres contenant tous les coefficients des
et soit
plongement de K dans le corps des nombres complexes. Il est naturel
de considérer la variété fermée V dans
définie par les
l’espace affine
a :
K - OE
un
Fi,
un
A~
83
Fi .
(Si
les
homogènes on regardera plutôt la sous-variété fermée de
Fi.) Le premier cas intéressant est celui où la variété V est
finie par les
tible de dimension 1 sur (E et
Soit
V
C
=
entier
courbe
une
appelé
ture projective de C
un
comme
sera
C
bre de trous de
dans
essentiellement le seul
cas
irréduc-
étudié dans cet
exposé.
algébrique
sur le corps des complexes ~ . On associe à
C
défini
de
la
suivante
:
Soit
C
la
fermegenre,
façon
et C la normalisée (désingularisée) de C. On sait
son
g ,
que C
variété différentielle est
0)
dé-
sont
Fi
surface de Riemann compacte sans bord. Le nomLes solutions des équations
g .
une
est le genre
z:2g) .
K
correspondent bijectivement à l’ensemble des points ra(Fi
tionnels de C sur K , noté C(K) .
Prenons par exemple une seule équation F(X,Y,Z) homogène de degré n à coefficients entiers. F définit une courbe plane C dans P2 . Supposons que C
n’ait pour singularités, sur (E , que des points doubles à tangentes distinctes
et
soit r le nombre de ces points doubles. Alors le genre de C est égal à :
=
un
corps
homogène si (a,b,c) sont des rationnels tels que F(a,b,c) = 0 et
E ~ , F (~,a,~,b,~,c) - 0 aussi. On ne s’intéressera donc qu’aux solutions entières (a,b,c) sans facteur commun. L’ensemble de telles solutions est en bijection avec C(Q) .
L’importance de cet exemple vient de ce qu’on peut montrer que toute courbe
lisse et projective sur K a un modèle dans P2 dont les singularités sont celles
décrites ci-dessus. L’importance du genre vient de ce qu’il permet de définir trois
cas ( g
0, g 1
g ~ 2 ) où l’ensemble des solutions est de différente na-
Comme
si
F
est
À
=
=
,
ture.
THÉORÈME
1.- Solt
connexe,
projective
de nombres et
K un
sur
K
et de genre
C
une
courbe lisse,
géométriquement
de nombneô
g. Alors poun tout
K’
on a
C(K’ ) ~ ~ , C K,
C(K’) ut vide ou ut un espace principal
de type
(théorème de Mordell [Mo] ) .
(conjecturé pan Mordell [Mo],
c) SÀ g ~ 2 , C(K’) e6t
a) SÀ g
b) si g
=
0
=
1
,
homogène
sous un
groupe
démontré par
[F2]).
par A. Weil dans
abélienne définie sur un corps de nombres K ; alors
de type fini (théorème de Mordell-Weil).
La
partie b)
a
été
généralisée
Notons tout de suite que, sauf dans des
solutions pour
espace
projectif
g ~ 1
,
C(Q)
est
en
thèse : soit
A(K)
est
particuliers,
exemple si C
bijection avec les points
cas
Par
n’est pa6
sa
un
la
est
A
une
variété
groupe commutatif
description des
plongée dans un
de coordonnées homo-
(xo,...,xn) , xi 6 Z , pgcd(xi) = 1 qui sont dans C . Un résultat effectif dirait "quelque chose" sur le
suplxil (et donc sur le nombre de points de
2
Ce
n’est
C(K) quand g ~ ).
pas le cas du théorème de Faltings.
A part les résultats de Mordell et Weil cités plus haut, et avant les travaux
de Faltings, on avait les résultats suivants de Siegel sur les points entiers :
gènes
DÉFINITION.X
e6t
K un corps de nombres, S un ensemble fini
K. Un point entier de
Soit
courbe affine
une
de
point
un
.6 uppoJtt dans
On
K
et
pan rapport à S
coordonnées ont du dénominateurs à
dont
K
de places de
K
S .
peut prendre pour exemple
K
=
Q ,
=~,
S
entier est
X
une
AK
courbe plane dans
solution entière de cette
d’équation F(X,Y) = 0 ,
point
équation.
La définition ne dépend pas du système de coordonnées affines choisies. En effet si
1 - Spec 0 ( 0 anneau des entiers de K ) est le modèle régulier minimal de la
compactification X de X , et si D est la fermeture schématique de X - X , un
point entier de X sur K par rapport à S assez grand n’est autre chose qu’une section
du morphisme
un
une
=
THÉORÈME [Si].X
une
K
un
g. Alors lu
genne
deux
dans les
Ce théorème
points
F
Soit
corps de
nombres,
K
dont la
counbe affine et
cas
entiers de
X
S
un
ensemble fini
de
pan rapport à
de
K,
X est de
compactification lisse
K
places
S
en
nombre
suivants :
donne pas, lui non plus, de borne effective pour la hauteur des
entiers. Cependant les travaux de Baker sur les équations dites de Thue
ne
polynôme homogène qui
trois racines
distinctes, donnent une borne effective
pudiquement cette borne sous silence.
Disons enfin un mot des problèmes analogues où K est remplacé par un corps
de fonctions K d’une courbe C sur un corps k , qui ne provient absolument pas
de k (supposé algébriquement clos).
a) si g 0 ,
(théorème de Tsen).
b) g 1 C(K) est vide ou un groupe de type fini (Néron-Severi).
c) g ~ 2 , C(K) est fini ( k = (E Manin [Ma] caract k p > 0 Samuel [Sa]).
Notons que Grauert a donné une autre démonstration du théorème de Manin dans [Gr],
c’est cette démonstration qui a été adaptée par Samuel à la caractéristique positive. Une démonstration de ce dernier cas, plus dans la
ligne de cet exposé, est foura
pour les solutions entières. Nous passerons
=
=
,
=
nie dans [S].
2. LE
PROBLEME
DE SHAFAREVITCH
2.1. L’ensemble
(pour base) un schéma régulier (ici ce sera souvent un ouvert d’un
anneau d’entiers algébriques ou un ouvert d’une courbe projective et lisse sur un
corps k ). Soit F (pour fibre) une description de variété algébrique et de ses
dégénérescences éventuelles (par exemple F courbe lisse et projective de genre
variété abélienne de dimension g munie
g , à dégénérescence semi-stable ou F
d’une polarisation de degré n ). On appelle ensemble de Shafarevitch défini par
B et F et on note dii-(B,F) l’ensemble des classes de B isomorphismes de schémas
Soit
B
=
=
dont les fibres sont décrites par
1.1.-
Exemple
arithmétique
algébriques, S un ensemble fini de places de
Spec 0 - S et n un entier positif. Une variation sur un théorème clasHermite permet d’affirmer que 111(B ,n points) est fini. Nous reviendrons
Soit 0
() B
sique de
=
,
en
2.2
sur
Exemple
de
Morphismes finis,
cas
d’entiers
un anneau
cet énoncé.
1.2.-
Soit
C
points
de
finis de courbes (caract 0 )
une courbe projective et lisse sur un corps
k , S un ensemble fini
C et n un entier. On sait démontrer (essentiellement en utilisant
Morphismes
le théorème d’unicité de
Exemple
F.
Riemann)
,n
que
points)
est fini.
1.3.- Le groupe de Tate-Shafarevitch
Soit K un corps de nombres et A
semble des classes de K isomorphismes
une
variété abélienne
sur
K . Alors l’en-
d’espaces principaux homogènes sous A qui
deviennent isomorphes à A sur K pour chaque complétion de K est un groupe
qu’on appelle le groupe de Tate-Shafarevitch. Il est compatible avec les notations
habituelles de noter ce groupe .w.(K, formes de A , K iso à A pour tout ÎC) .
C’est une conjecture, non démontrée à l’heure actuelle, que -11L(K , K iso à A)
est un groupe fini.
Exemple
1.4.- Sur
nos
est vide sont intéressants. Par
un
théorème de Minkowski
d’un corps de nombres de
égal à deux.
Exemple.
Soit
un
qui se lit habituellement sous la
degré au moins deux est en valeur
1.5.- A. Grothendieck
B
un
schéma abélien
rigide. (On
préférées Spec 0 - S et C - S , les
exemple # III(Spec ZL , n points) =1 si n
deux bases
a
où
S
est
forme : le discriminant
absolue
supérieur
ou
montré dans [Gro2] le théorème suivant :
ouvert d’une courbe
polarisé,
cas
z 2
alors si
algébrique
on
sur (E
trouvera une autre preuve de ce
et
P E B
et soit
A -f-> B
P ,
morphisme f est
fait dans [D2].) D’autre part G. Faltings
fixe la fibre de
le
montré dans [F2] que l’ensemble de tels A est
diquons plus bas la démonstration de P. Griffiths
a
Exemple
1.6.- La
conjecture
une
famille limitée
(nous
in-
en
[Gri]).
de Shafarevitch [Sh1]
Shafarevitch dans
son adresse au congrès international des mathématiciens de
problème suivant :
Soa K un corps de nombnu, S un ensemble fini
de places de K, g un
cntlen supérieur ou égal à deux ; montnen que
ded classes de K isomorde
courbes
lisses
et
projectives
de genre g sur K ayant bonne
phismes
Stockholm a posé
en
dehors de
Si 0
S
est
le
est
l’anneau des entiers de
K
Shafarevitch peut s’énoncer : montrer que
# 11L(B, courbes lisses et
proj de genre g)
et
B
=
Spec 0 -
S
le
problème
de
oo .
Rappelons qu’une courbe C , lisse et projective de genre g ~ 1 sur K ,
possède un modèle minimal unique régulier sur 0 . C’est-à-dire qu’il existe un
schéma régulier X et un morphisme projectif X -~ Spec 0 dont la fibre
générique est C et tel qu’il n’y ait pas de P’ de self-intersection (-1) dans les
fibres (Abhyankar [Ab] ou Lipman [Li] pour modèle régulier, Shafarevitch [Sh2]
pour minimalité). On dit que C a bonne réduction en P
E Spec 0 si
X() eôt
On peut bien entendu faire la même
S,
Il
courbes lisses
proj.
genre
2.2. Les deux méthodes pour borner
2.2.1.
Hauteurs, degré
géométrique
2.2.1.1. Ca6
les
géométriques se
a) famille limitée,
cas
C
courbe
divise
en
un
g)
conjecture dans
le cadre
géométrique :
oo .
ensemble de Shafarevitch
sur
le corps
k . La
technique employée
dans
deux :
b) rigidité.
a) Pour les familles de variétés abéliennes ou de courbes
X f C on réussit en terme
de S et g, à borner d = - degré sur C de l’algèbre de Lie de la variété abélienne
ou de la jacobienne de la courbe ( S
est lieu de mauvaise réduction qu’on a
supposé semi-stable). Par exemple si f : ?~ -~ C est une famille de courbes de
genre
g ~ 2 dont la classe de Kodaira-Spencer n’est pas nulle : 12d 8g (g - 1)(qoù q
-S (c~. [S]). Si le corps de base est (E Arakelov
genre de C et s
a
une borne plus fine
[A1]]
=
1 +~-)
=
où
go est la dimension de la partie fixe de la jacobienne. Pour les familles de
variétés abéliennes Griffiths dans [Gri] nous a montré : d S
Cette
8ng(q - 1
dernière inégalité sur (E , est aussi démontrée quand S
= 0 , pour les familles de
variétés abéliennes dans
Une borne moins explicite est donnée dans [F2].
+~) .
’
Une famille
X E
Les
r
111 (C - S, ... ) correspond à un morphisme de
ces morphismes sont des sous-variétés de
Le fait d’avoir borné d permet - plus ou moins facilement existe un faisceau ample L sur C x
M (ou C A ) dont
graphes
Mg (ou.
(ou C x
1’.1 g
de montrer qu’il
C
donc
a
Dans le
variété de Chow
l’ensemble des
"paramétrise"
b)
une
des
X E
de type fini
W ,
111(C - S,...) .
de courbes
x
le
x
borné. On
dans
C
de
degré
.
Ag
r
sur
le corps de base
sur
Ag ) . ,
)..
est
k
,
.qui
’
(ou
revient
qui
presqu’au
Kodaira-Spencer non nulle) on montre que f : X -~ C semi-stable,
S fixé est rigide ([A1], [S]). Pour cela on remarque avec Arakelov [A1] que les
déformations infinitésimales de f sont paramétrées par
Si on est en
Arakelov
montré
est
caractéristique zéro,
ayant
que
numériquement positif
(i.e. presque ample), il conclut par le "vanishing theorem" de Kodaira-Ramanujam.
En caractéristique positive, on montre dans [S] que les mêmes énoncés sont valables.
Il a fallu faire plus attention car le "vanishing de Kodaira" n’est pas vrai en caractéristique positive (cf. [Mu], [R3], [S]).
On vérifie alors que 111(C - S, courbes de genre g, semi-stables) est fini car
dans chaque composante connexe de W on a un seul élément de 1I1 . On n’a aucune
cas
non
constantes
ce
même à classe de
information
le nombre de
sur
ces
composantes
.
connexes.
caractéristique zéro on déduit par 2.11 exemple 1.2 et le théorème de
oo.
Grothendieck du § 3 (réduction semi-stable) que # 111(C - S, courbes de genre g)
En caractéristique positive 2.1 exemple 1.2 n’est pas vrai et, en fait, on ne
peut retirer l’hypothèse de semi-stabilité comme on le voit par un contre-exemple
En
dans [S].
2 . 2 .1. 2 . CM
arithmétique :
K corps de
nombres,
0
son anneau
d’entiers.
a) Hautcun naZ v e.
Soit
P
un
homogènes de P
H(P) = suplx.l
1 .
H(P)
point
de
l’espace projectif
Pn . Soient xo,...,xn des coordonnées
et sans facteur commun. On pose
que l’on suppose dans S
Il est évident que l’ensemble des
i
soit borné est fini.
Si
on
est sur un corps de nombres
K ,
P
un
P
points
point
de
tels que
de coordonnées
est l’ensemble des
places
H(P)
complexe).
(resp.
K , e
(resp.
du choix des coordonnées par la formule du produit :
N(f) ,
L’ensemble des points de Pn(K) tel que H(P) soit borné est fini.
on
pose
de
1
03C3~03A6
=
1
2 ) si
a
où @
est réelle
=
qu’on a le même énoncé
réinterprétant par exemple
Il est clair
/S )x.)~ .
on
En
introduit des hauteurs
de finitude si
plus "sophistiquées".
on
remplace
(xo,...,xn),
archimédiennes
ne
dépend
f E K .
suplxil
par
pas
b) Hauteur arakélovienne ( fW2 ] , [A 1 ])
On veut
dans
gré
Soit
D
une
notion de "hauteur"
qui
l’analogue géométrique. Nous
K un corps de nombres, 0
en
pour
chaque place archimédienne
d°(L)
dépend
hermitiens,
bles
ne
On
a une
où
ri =
pas de
modulo
s
propriétés proches
de celles du de-
donnons ici le yoga.
son anneau
valeur absolue du discriminant. Soit
=
des
a
L
un
d’entiers,
=
n
faisceau inversible
sur
0
muni
d’une forme hermitienne
a
(formule du produit).
isométries,
forment
un
Les classes de faisceaux inversi-
groupe noté
suite exacte
nombre de
places réelles,
r2
=
nombre de
places complexes, OX unités de 0.
On voit facilement que d° :
--~ 1R est additif.
On introduit une "caractéristique d’Euler-Poincaré"
L - Rn
il§ L ~ K~ , K~
x(L) = - log vol IRn/L
où
R (resp.
par
si a réelle (resp. a complexe),
et où le volume est mesuré par les métriques euclidiennes associées à
, > .
2nvol (]RnjL)
On introduit une caractéristique modifiée x’(L) = se
=
log
justifie par
On
a
aussi
le lemme 3 ci-dessous. Par
une
Par exemple
Lt
est
on a :
x’(0) =
r2
notion de sections
H° (Û) _ (0) U u(0) ; n(0)
=
muni de la métrique telle que ~1~
On interprète géométriquement
où
exemple
2r103C0r2
les racines de l’unité dans
qui
log n - 2 log
0 .
(0
D .
est
1
03C3 = Vo.)
x’ (L) de
la
façon suivante :
obtenu à
partir de L en multipliant les métriques par t-1 .
qu’on se rapproche de la théorie du degré sur les courbes algébriques citons quatre lemmes dont les trois premiers sont de démonstration immédiate
(le quatrième étant une reformulation du lemme de Minkovski sur les points d’un réPour montrer
seau
dans
Lemme 0
un
convexe
symétrique).
(Riemann-Roch ! ) .- x’(L) = deg
Lemme 1.- SÀ
Lemme 2.2014 Si
o
compact
dO(L)
do(L) =
faisceau métrisé
0
0
H° (L) HO(L) 1
0
L
+
X’ (~) .
0 .
L ~ 0
(comme faisceaux métrisés)
(Minkowski) .- Si deg (L) >_ -x’(0)
Lemme 3
0 .
On peut retrouver facilement les théorèmes élémentaires de théorie des nombres
(discriminant plus grand que un, théorème des unités, finitude de Cl(0) et l’exemple 1.1 du § 2...) à partir de ces quatre lemmes.
Soit X une variété algébrique sur 0 :: X --~ ~ . Supposons que X soit projective, i.e. munie d’une immersion fermée
.
Soit P E X(K) un point rationnel, il lui correspond une section EG+ X du morsoit muni de métriques hermitiennes
phisme f . E ~ Spec 0 . Supposons que
aux places à l’infini. Alors
est un faisceau inversible métrisé sur 0
comme plus haut. Il a donc un degré : définissons :
h(P) .
.
=
PROPOSITION.- L’ensemble des points
P
de
X(K)
h(P)
que
est borné ut
un
ensemble fini.
Pour vérifier cette
proposition
métriques hermitiennes choisies
une métrique de Fubini-Study et
2.2.2.
Représentation
2.2.2.1. C~
du
géométrique.
car
on
ou
ni
Soit
notons d’abord que l’énoncé ne
X,p
est
constate avec
plaisir
finis
pas des
sur
que
du groupe de Galois
C une courbe, S un ensemble fini de
connaît le groupe fondamental ni (C - S)On peut donc à partir de
tions avoir des informations sur les ensembles &(C-S , ...) .
Exemple 2.1.- Morphismes
dépend
compacte. On prend alors
ses
points. On
représenta-
(caract. zéro)
n,(C- S) de cardinal n
correspond biunivoquement à C’ C étale sur C - S , galoisien de d~n . On peut,
en prenant la clôture galoisienne, remplacer un élément de
1l1(C - S , n points) par
n! . On en conclut que 1l1(C - S , n points) est
un revêtement galoisien d’ordre
de cardinal n! est un ensemble
des
fini car l’ensemble
quotients de
fini (exemple 1.2 de 2.1).
Par le théorème d’unicité de Riemann
un
quotient
de
-
Notons que la borne obtenue par Griffiths dans [Gri] utilise aussi cette tech-
nique.
2.2.2.2. Cah
qui joue
arithmétique :
c’est le groupe de Galois de la clôture
algébrique K/K
le rôle du groupe fondamental.
Esquisse de démonstration de l’exemple 1.11 du § 2
Outre que cet exemple est d’un emploi constant dans cet exposé, la démonstration a l’avantage d’utiliser les deux techniques pour borner un ensemble 111 . Il
s’agit ici de JiL(Spec 0 - S , n points) .
Exemple
2.2.-
a) Hermite
a
montré que l’ensemble des surcorps
K’
de
K
de discriminant D donné
est fini. Dans le
langage de 2.2.1.2 b), on met sur le faisceau inversible 0’ des
métriques Il IIQ qui lui donnent un degré -x’ (0’ ) , (-x’
log D’ - r’2log
de la façon suivante (on suppose pour simplifier qu’il n’y a que des places com-
(0’) = 1 2
=
Par le lemme
où
1
K’
sur
car
est la
lai
(en
K
E 0
x
tel que
métrique usuelle. Un tel
sur (~ ) ; en effet
élément
x
est un élément
primitif
de
fait
0’ . On
E
x
3, il existe
n) 2
alors
a
1 > 1
et
a,(x)
ne
peut être égal à
aucun
J ~1 .
a.(x)
,
J
.
On
donc montré que pour
de hauteur bornée.
un
Il reste à montrer que pour
n
b)
a
discriminant donné il existe
un
élément primitif
deg K’/K fixé et S Support
fixé, le
discriminant est borné. On peut supposer (quitte à remplacer n par n! )
que
K’/K est galoisienne. On utilise alors la seconde méthode : analyser le groupe de
Galois. Ceci est fait dans Serre [Se1] à l’aide des
groupes de ramification supérieure. On se ramène à une situation locale : K - L galoisien de
groupe G, complet
pour une valuation discrète, de degré n, d’indice de ramification absolu e . Soit
~a l’idéal de la valuation de L . On note G. le sous-groupe de G qui opère trivialement
Soit
-
’
D
le discriminant de
Gi
(1)
si
3. PASSAGE AUX
Si
C
K . On
a
sous-groupe
i >
~
’
e/ p-1 .
VARIÉTÉS ABÉLIENNES
est une courbe lisse et
variété abélienne
[on envoie
sur
’
est un
=
L
~( 0 # G~ 1 -1)
-
-
=
L
sur
vL (D) =
=
un
projective sur , sa jacobienne J(C)
principalement polarisée dont le tore complexe sous-jacent
lacet
y
dans la forme linéaire
sur
est la
est :
les différentielles définie par
l’application y
(w
La jacobienne paramétrise les diviseurs de
degré zéro sur C à équivalence rationnelle près. Cette dernière définition se
généralise en caractéristique positive :
J(C) = Pico(C) . Pour une famille de courbes projectives dont l’espace de paramètres
est par exemple un anneau d’entiers
algébriques ou une courbe projective et lisse
--~
~...,
sur un
corps,
on a encore une
sante neutre du
sur
J(X)
B :
en un
Lemme.- SoU
jacobienne
relative :
schéma de Picard relatif
-~
B . On dit
de
P
point
notion de
C
qu’un
si la fibre
B
courbe
J(X)
R1f*(Ox) .
schéma
Pic°(X/B) qui est la compoJ(X) est un schéma en groupes
=
groupes de ce type a bonne réduction
est une variété abélienne.
en
J(X)/P
projective, lisse,
géométriquement connexe sur un
K . Soit B un schéma de
1 dont le
de fonctions est K et P un
B.
de
C
a
bonne
réduction
en
point
P, J (C) a bonne réduction en P.
On voit ainsi qu’en prenant une courbe sur un corps de nombres C/K on a construit une variété abélienne A principalement polarisée J(C)/K vérifiant les
une
trois conditions suivantes :
1) La dimension de A est fixée (égale au genre g de C ).
2) A est une variété abélienne définie sur K .
3) L’ensemble de bonne réduction de A contient celui de C .
En fait le théorème de Torelli permet de reconstruire
courbe à
partir
de
sa
analyse moderne de ce théorème se trouve dans Oort [0]. Nous en donplus efficace pour notre problème. Nous avons d’abord à introduire
Une
jacobienne.
nons
une
la forme la
les modules :
lisses, connexes de genre g sur un
corps k , munies d’une base sur Z/nZ des points de division par n (n ~ 3)
est une variété algébrique lisse de didans sa jacobienne (rigidification).
M
g,n
mension 3g - 3 sur k qui possède une courbe universelle.
est l’espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées,
A
de dimension g sur un corps k munies d’une base sur ’ll/n7l des points de divisur
est une variété algébrique de
sion par n (n ~ 3) .
A
g,n
universelle.
variété
abélienne
une
k qui possède
principalement polarisée
-
M g,n
est
l’espace
de modules des courbes
-
dimension 2
°
THÉORÈME (Torelli).-
Pouh
de~
n ~ 3
périodes
une
La
counbe associe sa
"conjecture
çon suivante :
Soit K un
du entiers positifs.
mension
hors de
jacobienne,
ut
un
morphisme quasi-fini.
de Shafarevitch pour les variétés abéliennes" s’énonce de la faS
de
un
ensemble fini
K,
g et n
K de dl-
degré n et ayant banne réduction
k isomorphismes.
de
modulo
de
des variétés abéliennes sur
Montrer que
g, mUMe6 d’ une
S e6t un ensemble fini
de
On peut résumer cette conjecture par :
0 - S , var. ab. dim g , pol. de d~n)
oo .
en
de
Rappelons qu’une variété abélienne A sur K possède un modèle de Néron uni[N], X -~ Spec 0 , qui est un schéma en groupes commutatif et lisse, et qui
caractérisé par la propriété universelle suivante : l’application canonique
que
est
bijection pour tout schéma R lisse sur
A/K a bonne réduction en dehors
est une
On dit que
bonne réduction
Grâce à
dehors de
en
l’exemple
xons
n ~ 3 .
nels,
est de
L’extension
K’
S , si
son
abélienne
sa
DÉFINITION.-
a
théorème de Torelli
voit que "Shafarevitch
implique "Shafarevitch pour les courbes". En effet fide K, où les points de division par n sont rationau
on
et n’est ramifiée qu’en
degré plus petit que
fait quand on introduit les points de division par n é
En
modèle de Néron
S .
1.11 du § 2 et
pour les variétés abéliennes"
0 .
de
Su M .
3 dans une variété
mauvaise réduction "n’est pas si mauvaise" : elle est "semi-stable".
Soit V
corps résiduel
un anneau
k. Soit A
de
(neôp.
discrète de corps de fractions K et
C ) un schéma en groupes à
connexes
courbe) sur
une variété
Spec V . Supposons que AK
CK )
abélienne
une counbe projective, lisse,
géométriquement connexe) ; on dit que
A
C ) a réduction semi-stable si la fibre
spéciale Ak
Ck ) est
une
d’ une variété abélienne pan un gnoupe de type
ut
une C0UBbe néduéte dont lu
sont du
ordinaires, et qui
ne contienne pa6 de
contracte dans C ) . Il revient au même de dire que
une
la monodromie e6t
THEOREME (A.
Grothendieck [G2]).- Soit V
de
K
n >
unipotente.
et
3 , premier à la
de valuation discrète de corps
une variété abélienne sur K. Alors si
pour un entier
de
caractéristique résiduelle, les points
pan n
AK
AK
K, le modèle de Néron de
A. Grothendieck
a
montré le
réduction semi-stable (i.e. après
de
Serre,
sous
un anneau
Tate et
cette forme
RemaJc.que.-
Nous
AK
a
réduction semi-
premier qu’une variété abélienne a "potentiellement"
un changement de base fini). Les efforts
conjugués
Raynaud permettent d’énoncer
simple.
le théorème de réduction semi-stable
invoqué plus haut le plongement d’une courbe dans sa jacobienne.
stratégie pour démontrer le théorème de Mordell-Faltings, résumée
conjecture suivante (S. Lang) :
avons
On peut rêver d’une
dans la
Sait
dans
A
A. Soit
une
C
variété abélienne
une
counbe da,n6
-6 WL
A ;
Q:
et
L
un
Zl module libre
de type
U
conjecture a été montrée directement dans le cas rang(L) = 0 par M.
Raynaud [R2]1 (points de torsion). Dans ce même article Raynaud montre que le théorème
de Mordell-Faltings (encore à l’état de conjecture lors de la
parution de [R2]) imCette
plique l’énoncé
PROBLÈME
4. LE
4.1.
Énoncé
On
ci-dessus.
DE TATE
de la
conjecture
au § précédent l’importance des variétés abéliennes
a vu
de division. Nous introduisons dans
paragraphe le
d’iceux.
C’est
en
fait
le
Hi
partir
l-adique de la
ture de Tate dit qu’on espère retrouver beaucoup sur
on
ce
et de leurs
points
"module de Tate" construit à
variété abélienne et la
la variété abélienne
conjecA , quand
"connaît"
DÉFINITION.nombne
Soit
pneméeA.
sur
n
A
variété abélienne
sur un corps
on note
de
et
module
de
Tate
A,
appelle
du noyaux de
multiplication pan ln dan6
une
On
n
nA
Ker A
=
Si
est un
A ,
>
est le groupe de Galois de la clôture
G
algébrique K
de
un
la limite
TTl(A)
AK
lnA ) .
on a
l
et
K
Si
K,
K,
sur
(A)
Zl [G]-module.
conjecture de Tate pour les homomorphismes de variétés abéliennes est un
cas particulier de sa conjecture sur les cycles algébriques qui "remplace" en cohomologie l-adique la conjecture de Hodge.
La
de Tate.- Soit
Conjecture
de K
groupe de
sur
K et
tm
K
sur
nombre
un
corps de type
A
K,
et
B
G
son corps premier,
deux variétés abéliennes
de
la
pneméen
le
K ).
canonique :
e6t
Pe
un
le
conjecture est à l’heure actuelle démontrée :
caractéristique positive, par Zarhin [Z] (S. Mori pour p 2 ).
a)
b) Si K est de caractéristique zéro, par Faltings [F1], [F2], [F3].
On trouvera dans l’exposé de Deligne ([D]) dans ce séminaire la démonstration
de b) (notamment quand K est un corps de nombres). Nous expliquons ci-dessous la
réduction, due à Tate et Zarhin [T], [Z], de cette conjecture à un énoncé de finitude qui est un cas particulier de "la conjecture de Shafarevitch pour les variétés
Cette
Si
K
est de
=
abéliennes".
elliptiques, la semi-simplicité est démontrée dans Serre [Se2]. Dans ce même livre, Serre donne la démonstration de la conjecture de Shafarevitch pour les courbes elliptiques. L’idée est de Shafarevitch
lui-même et utilise le théorème de Siegel cité au § 1.
Il faut noter que pour les courbes
4.2. Réduction de la
On
se
ramène
conjecture de
rapidement (par
Tate à
un
énoncé de finitude
passage
au
produit
A x B
et au
graphe
d’un homo-
à montrer :
morphisme)
Soit
L
A. Weil
qui
faisceau
un
(e6.
est non
par
dégénérée
de
On
ample sur A (une polarisation) ; on sait lui associer depuis
exemple D. Mumford [Mu]) une forme bilinéaire antisymétrique, dite
et soit
a un
u
An -==+
ample. Soit
W
de
l’image
(Tate, Zarhin).-
sous-G-module
un
isotrope
maximal
dans
W
SÀ
de
une
An
sont
K
tel que
E
Soit
Vnt
Kn
est
commutatif
diagramme
PROPOSITION 1
L
car
tel
no
Ano .
qu’il y
prend
On
Il est
ait
une
infinité de An
à
K-isomorphes
Àn o Vn o
facile de vérifier que
et
Un =
Ano :
lim un
=
u
dans
satisfait à la condition de
l’énoncé.
PROPOSITION 2
chaque
(Zarhin).- Supposons l’hypothèse de
isotrope maximal de
sous-G-module
1 ) Poun
;tel q ue
2)
U2
W
=
et
u
~~ (A) ~ ~~
de
QJ =
e6t
un
G
la
proposition
1
pour
03A6l .
Tl(A) ~ 03A6l , il
existe
u
da.YL6
W .
module
Il est clair
qu’on déduit la proposition 2 de la proposition 1 en construisant
sous-groupe isotrope maximal ad hoc pour W . Indiquons cette construction :
Soit L ample sur A et M
= ® piL , N = ® piL , pi : AS A les projections. Soient a , b , c , d dans
~~ tels que a2 + b2 + C2 + d2 -1 . Soit
un
~
=
On vérifie que
et on pose
ItI
=
-1 .On considère
I
comme
élément de
étant défini par la forme commutateur associée à
N
A‘‘ . On
sur
a
-
-
-
~V~
W2
et
Wi1
W2
+
sont
orthogonaux
Il existe donc par la
L’idéal à droite
tent
ce
u
Il
engendré
dernier
car ce
qu’on
If1,
pour
est un sous-G-module
isotrope
proposition 1,
par les
et
(A) ~
U1,... ,us E
dans
ui
EndK(A)
semi-simple.
anneau est
If1.
maximal pour
est
Q
tel que
engendré
On voit facilement que
par
u
idempo-
vérifie
veut.
reste donc à
analyser l’hypothèse de la proposition 2. On voit facilement que si la polarisation de A est de degré d , les An sont aussi munies
d’une polarisation de degré d (car W est isotrope maximal). Les An étant
toutes isogènes à A par une isogénie de degré une puissance de l et étant définies sur K elles aussi, on voit que l’hypothèse de la proposition est un cas
particulier de "la conjecture de Shafarevitch pour les variétés abéliennes".
nous
STRATÉGIE APPLIQUÉE
5. LA
5.1. Le théorème de
PAR FALTINGS
[F2]
Faltings
Faltings démontre
dans
son
article la
"conjecture
de Shafarevitch pour les
va-
riétés abéliennes".
Soit
A --~ Spec
AK
0
munit - suivant
triques
un
L’avantage
de
K’
et
modèle de Néron
une
une
degré
h
d
d
sur
Montrer que si
ce
degré
que
mé-
façon
définit la hauteun modulaire de
quand
h(AK) =
AK
est
semi-stable
comporte quatre parties :
on
n .
b). On
corps de nombres et
de K . Faltings
K .
borne le
degré
nombre fini de variétés abéliennes
risation de
0
=A
inversible 03C9Asuivante
:
à l’infini de la
de 2 . 2 .1. 2
tient à
extension finie de
La démonstration
1)
chaque place
au sens
sur un
g
l’anneau des entiers
sur
idée arakélovienne - le fibré
hermitiennes pour
donc
a
wA
variété abélienne de dimension
une
son
C’est
sans
A
d
de
sur
doute la
sens
ci-dessus)
de dimension
partie
la
n’a
qu’un
g
polamoins éclairante (quoique atrésumé, mais rigoureux, dans
CJJA (au
K
on
munies d’une
tendue) du papier cité. On en trouvera un traitement
[D] ; on pourra aussi profiter de la lecture de [Zi].
2) Montrer que le degré dn de
pour les variétés abéliennes An introduites
dans le § 4, proposition 1, est borné (ce qui implique la conjecture de Tate). On
j’ai bien écrit "borné" et non "constant".
3) Montrer qu’alors l’ensemble des classes d’isogénie
notera que
mauvaise réduction fixée est
le crible de la
4)
critique.
chaque
Montrer que dans
ensemble fini. C’est
un
classe
d’isogénie
le
de variétés abéliennes à
résultat
un
d de
degré
qui lui,
c~A
est
a
passé
borné.
J’ai, dans cet exposé, montré que ces quatre points impliquent les conjectures
de Tate, et Shafarevitch.
La nouveauté "stratégique" de Faltings se trouve dans le fait que 2) ~ 3) qui
est de toute beauté. Sinon le modèle géométrique pré-existant s’applique entièrement.
La technique pour "borner d " dans 2) et 4) utilise essentiellement, pour mesurer
la variation de d (ou de la hauteur modulaire) par isogénie, l’article [R1] de
Raynaud et les "conjectures de Weil" pour les variétés abéliennes [W2].
On trouvera dans l’exposé de Deligne [D] la démonstration de ces quatre points.
5.2. La construction de Kodaira-Parshin
Cette construction
[K], [P]
permet de déduire
la
de Mordell de celle de
conjecture
Shafarevitch pour les courbes.
Nous utilisons les notations de 2.1.6. Soit
courbe
application
où
0’
ayant bonne réduction
P ~-~
K
sur
à
est l’anneau d’entiers d’un
de
l’image réciproque
2g’ - 2 = ZZg (4g _ 3)
Construction de
.
C
inversible
dans
définie
sur
courbe
Ci
et
K ,
S’est
est défini par
g’
J
en
une
associant à
courbe
Ci
un
par
point Q le faisceau
"pull-back" de la multi-
J
est lisse de genre
K .
a
0’ ,
U ’r)
~’~
On définit ainsi
Ci
extension finie de
corps K’
dans
sa jacobienne
par deux dans
La courbe
(
Cp ,
Cp
On envoie
plication
S = E U
K un corps de nombres et C une
dehors de E . Nous allons construire une
en
L’image réciproque
bonne réduction
sur
g~
2Zg(2g -
tel que 2g~ - 2
2) . Ci
D de P est un diviseur de degré
=
est
22g .
aussi
La
Spec 0-S .
22g ,
étale en dehors
Quitte à faire une extension finie K~ de K de degré
de S , on peut supposer que
L82 pour un faisceau inversible L sur Ci
(défini sur K~ ). On prend alors pour Cp - Ci le revêtement de Ci ramifié de
degré deux en D, étale sur Ci - D caractérisé par le fait que
a*L .
°
Cp -~ C
La courbe
bonne réduction
dehors de
l’image réciproque de
(exemple 1.1 § 2) ; on prend alors K’ le
plus petit corps contenant la réunion des K~ .
En fait une variante, due à D. Mumford, permet d’être plus économique sur le
corps de base K’ (mais pas sur le genre) :
On construit Ci comme plus haut et on considère la courbe singulière C’ où
l’on a contracté (pincé) D - (O,P) en un seul point P’ .
On plonge alors par (0,P)
0 , C’ - P’ dans sa jacobienne J’ et on obtient une courbe C" par le diagramme cartésien suivant :
S . L’ensemble des corps
aura
en
est fini
K~
-~
On
alors pour
prend
la normalisée de la fermeture
Cp
On voit facilement que
C (K)
~
projective de C" .
III (Spec 0’ -S’ , g’) est à fibres finies.
En
effet :
a)
b)
--~
C
n’y
a
Cp
Il
au
genre
n’est ramif ié
qu’un
qu’en
nombre fini de
P .
morphismes
entre deux courbes
algébriques
de
moins deux.
5.3. Comment obtenir les théorèmes de finitude
On peut
construit
et
un
un
réinterpréter
de module des variétés abéliennes
ê’ -+ C
notant
qu’on
a
fini
toute courbe lisse
2 .
en
revêtement étale
morphisme
(espace
la construction de Kodaira-Parshin
étant
pour tout corps
C
de genre
étale,
K
C(K)
avec
structure de niveau
g sur un corps de caractéristique
fini équivaut à C(K) fini.
par le théorème de
Faltings, C(K)
n >_
ne
A ,(K,S)
3 ) pour
divisant pas
étant fini
est donc fini.
Deligne a fait la remarque suivante : soit X un quotient compact d’un espace
Siegel par un groupe discret sans torsion. Par le théorème de Margoulis, le
groupe en question est arithmétique et il existe donc un morphisme fini d’un revêtement étale X de X dans un
Ainsi #X(K)
pour tout corps de nombres.
A
Par exemple l’ensemble des variétés abéliennes avec structure de niveau n ~ 3
de dimension donnée sur un corps de nombres K , ayant de la multiplication par une
algèbre de quaternions totalement réelle, est fini à K isomorphismes près.
de
.
6. TABLEAU DES
RÉSULTATS
Nous donnons
forme de tableau les résultats obtenus à
sous
indiqué aussi ce qu’on sait sur
réduction partout (S == 0) .
En fait on a la généralisation suivante des résultats
remarquée indépendamment par Faltings lui-même, Deligne et
ou
Spec 0 - S .
THÉORÈME
2
Nous
(Faltings)
Q , de corps de
gnoupe de
a) Si A et
a-1) la
a-2) on a
avons
.-
Soit
de K
un schéma
B
régulier, intègre
algébrique
dont .ea, clôture
K
jour
les familles
de
C - S
sur
ayant bonne
a
été
type
notée K. Soit
sur
Faltings qui
Parshin-Zarhin.
et de
et
G
le
K.
sur
B sont des variétés abéliennes sur
de
un
ce
G
dans TTl(A) ~ 03A6l
K,
ut
pour tout l,
isomorphisme canonique pour tout l :
b) L’ensemble des classes de K isomorphismes de K-variétés abéliennes de dimeng ayant bonne réduction sur B et un ensemble
On notera que dans b) il n’y a plus de degré de polarisation fixé. On s’en
passe à l’aide du lemme suivant dont Deligne m’a donné une démonstration.
Lemme
(Zarhin).- Soit
il
A
une
variété abélienne
sur un
k. Sur
A4
x
K
corps de
(A*) 4
une
Dans
nombres
ce
B
=
tableau, sur la ligne variété abélienne,
Spec 0 - S ... , une notation comme
dans la colonne
signifie : l’ensemble de Shafarevitch des variétés abéliennes sur B ,
polarisation de degré n . (Voir tableau au verso.)
g , munies d’une
de dimension
~ ~.
g ë ~ ~ ~ ~ ~
s ~ ~. ~
~Q~X~~
&~~~&?Q
i~2014
~
&~~~
~" b ~
3n~-’!-~(~~
°
(~0 (~o 8
100
r~
~
~~
> ~
~3
’
o
~ ~ ~
~
7. ET MAINTENANT ?
Faltings de
hauteur des points
la
La démonstration de
effective pour la
pas la hauteur modulaire
La seule
piste
que
Arakelov dans [A2]
X ~
arithmétique
d
a
où la bonne
Spec 0
Alors il existe
de
S
degré
de
n
donne pas
pour l’effectivité est la suivante :
introduit une théorie des intersections sur
la conjecture suivante :
Conjecture des petits points.- Soit
.6U1t K de gewce g ~ 2,
extension de
ne
une
borne
connaît
j’aie
de la self-intersection de la section
ble.
de Mordell
rationnels d’une courbe parce qu’on ne
représentant d’une classe d’isogénie.
un
pour
conjecture
mesure
point
surface
est
l’opposé
corps de nombres, C une courbe lisse
ayant bonne réduction en dehors d’un
un
ex.
point
rationnel
que la section
K
une
-E2. J’aimerais proposer
correspondante :
K
un
de la hauteur d’un
E
P
de
C
ensem-
corps K’
alt .2a pro-
sur un
correspondante
pnlété
où
f
e6t
une
fonction
effectivement calculable.
A l’aide de la construction de Kodaira-Parshin et du théorème de l’index
sur
arithmétiques (Faltings [F3] et Hriljac [H]), je peux montrer que cette
conjecture implique la "conjecture de Mordell effective". J’ai montré dans [S] que
la classe de Kodaira-Spencer dans le cas géométrique, permet de construire un petit
point P , dont la section correspondante E de X ~ C , satisfait la relation
les surfaces
suivante :
où
s
=
Rajouté
1)
M.
-S
et
=
q
genre de
C .
le 15 octobre 1984
Raynaud
les travaux de
montré, depuis
a
Faltings
ici
rapportés, qu’on peut
une classe d’isogénie
borner effectivement la variation de la hauteur modulaire dans
2)
A.N.
traduit
Parshin,
en
utilisant
un
termes d’intersections
article de D. Mumford
(Am.
J.
of Math., 1965)
montré que la démonstration de
borne
donne
une
"effective"
le
nombre
de points rationnels d’une courbe
Faltings
pour
sur un corps de nombres.
3)
ve
the
en
Il est à noter que S. Zucker
pour le
degré
A.M.S., 1983,
de
d’Arakelov,
a obtenu,
dans le
de Lie relative
l’algèbre
43, n° 279).
vol.
a
géométrique,
(cf. aussi : Loring
cas
une
W.
borne effecti-
Tu,
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Ecole Normale Supérieure
45 rue d’Ulm
F-75230 PARIS CEDEX 05
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