TD Thermo

Université de Cergy-Pontoise
L3 – Thermodynamique TD série n°4
Ex. 5. Etude thermodynamique de la traction d'une barre
On considère une barre métallique homogène de longueur l, de section constante s, de masse
volumique et de chaleur massique constate c, sur laquelle on exerce une force F dans le sens de
la longueur. On admet que l'état de la barre est alors bien défini par la température T et la force F ;
ainsi, l est une fonction de F et de T.
a) Soit dl l'allongement de la barre correspondant à des variations dF et dT de F et T. La chaleur
reçue par la barre pendant une transformation réversible peut s'écrire :
Q=KF ,T  FAF ,T  T
.
Écrire les expressions des différentielles de l'énergie totale U et de l'entropie S correspondant
aux variations dF et dT de F et T.
En déduire :
KF ,T  = T
∂l
∂T
F
et
∂A
∂F
T
=T
∂2l
∂T2
F
b) On suppose maintenant la traction adiabatique réversible.
Soit le coefficient de dilatation linéaire ,
 = 1
l
∂l
∂T
F
.
- Exprimer le rapport
T/ F
en fonction de , c, , s et T.
- Application numérique : Calculer la variation de température qu'entraîne une traction
adiabatique de 100 N/mm2 d'une barre d'aluminium, à 27°C, pour laquelle := 2,5. 10-5 S.I.,
c = 930 J/(Kg.K) et = 2,7 g/cm3.
c) On chauffe maintenant la barre réversiblement en maintenant sa longueur constante.
Soit le module d'élasticité isotherme ET défini par :
1
ET
=s
l
∂l
∂F
T
.
- Exprimer le rapport
T/ F
en fonction de l, ET et s.
- Application numérique : Pour la barre précédente : ET = 12. 1010 N/m2. Quelle force par unité
de surface faut-il exercer pour élever sa température de 1°C, en maintenant sa longueur
constante ?
Correction :
a) Soit l la longueur de la barre. Le travail élémentaire
W
reçu par la barre pendant une
élongation dl est, en valeur absolue, le travail mécanique de la force
F
dont le point d'application
se déplace de dl :
W= F.d l=F dl
. (0)
Il faut choisir la convention de signe de la thermodynamique pour
W
:
- Pour une compression (dl < 0), il faut
W0
(travail reçue par la barre), donc avec (0) : F < 0.
- Pour une dilatation (dl > 0), il faut
W0
, donc avec (0) : F < 0.
Le premier principe dit :
dU = Q W
. Pour calculer U on peut imaginer un chemin
réversible car U est une fonction d'état, donc :
dU = Qrev F dl =
[
KF
∂l
∂F
T
]
dF 
[
AF
∂l
∂T
F
]
dT
, (1)
car on peut écrire l comme une fonction de F et T :
dl =
∂l
∂F
TdF 
∂l
∂T
FdT
. (2)
D'après le second principe, l'entropie élémentaire est
dS =Qrev
T=K TdF A TdT
. (3)
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D'après le premier et second principe U et S sont des fonctions d'états, c'est-à-dire ici des
fonctions de F et T. Leur dérivée seconde ne dépend donc pas de l'ordre de dérivation (égalité de
Schwartz) . Les équations (1) et (3) donnent les dérivées premières de U et S par rapport aux
variables F et T, car (1) et (3) peuvent être identifiée respectivement à
dU =
∂U
∂F
TdF 
∂U
∂T
FdT
et
dS =
∂S
∂F
TdF 
∂S
∂T
FdT
. (4)
En écrivant les dérivées secondes pour U et S, on obtient deux égalités de Schwart. En les
manipulant un peu il vient :
KF ,T  = T
∂l
∂T
F
et
∂A
∂F
T
=T
∂2l
∂T2
F
. (5)
Attention : Dans les dérivations A et K donc des fonctions de F et T.
b) On suppose une traction (dl > 0 et
W0
) adiabatique réversible. Donc
Qrev =K d F Ad T =0
, d'où l'on déduit :
d T = − K
AdF
. (6)
Pour exprimer le rapport
d T /dF
, il faut donc déterminer K et A.
D'après la définition du coefficient
 = 1
l
∂l
∂T
F
et l'équation (5) :
KF ,T  = T l
. (7)
Par ailleurs, A est relié à la capacité calorifique du la barre1 : par définition de la chaleur spécifique
(capacité massique) c :
A=
Q
dT
F=mc
avec
m= sl
. (8)
Donc d'après (6), (7) et (8) :
d T
T= −  sc dF
. (9)
, et c sont supposés constants, donc (9) s'intègre facilement. Avec Ti la température initiale
et Tf la température finale, on obtient :
T=Tf−Ti=Ti e
−
sc F−1
≃ −0,3K
avec2
F=F2−F1=100 N/m2
. (10)
T
étant petit devant Ti = 290 K, on aurait donc pu faire directement un développement limité au
premier ordre de (10) à partir de l'équation (9) en écrivant :
T
F≃d T dF initial = −  sc Ti
. (11)
c) On chauffe maintenant la barre réversiblement en imposant l = constante, soit dl = 0.
D'après dl = 0 et l'équation (2), on obtient facilement
dF
dT =
−
∂l
∂T
F
∂l
∂F
T
= − s ET
. (12)
car les définitions de ET et (Cf. énoncé) donnent :
∂l
∂F
T=l
s ET
et
∂l
∂T
F=  l
.
et ET étant constants, (12) s'intègre facilement, et
F
s= − ETT= −3N/mm2
,
soit une force, en valeur absolue, de 3 N/mm2 en plus de la pression extérieure (Cf. note 2).
1. La barre est un solide donc sa capacité calorifique est toujours la même quelle que soit la transformation.
2. F1 et F2 sont négatifs par convention choisie (Cf. question a). F1 est l'action de la pression extérieure (pexts) et F2 est la somme de
l'action de la pression extérieure et de la traction qui s'oppose à la pression extérieure, donc |F2| < |F1|. Ainsi, F2 - F1 > 0.
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