TD I1

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Induction électromagnétique Exercice 1 : Freinage électromagnétique On étudie le freinage électromagnétique d’une spire conductrice rectangulaire 𝑀𝑁𝑃𝑄 mobile, de côtés 𝑎 et 𝑏 , de masse 𝑚 négligeable, de résistance 𝑅 et d’inductance propre négligeable. Cette spire est en translation selon l’axe (𝑂𝑥). Elle traverse une zone de longueur 𝑑 𝑑 > 𝑏 dans laquelle règne un champ magnétique uniforme de la forme : 𝐵 = 𝐵𝑢! On admet que le champ est nul en dehors de cette zone. On néglige aussi toute force autre que magnétique. 𝑋(𝑡) représente l’abscisse du côté 𝑀𝑁 et 𝑣 (𝑡) désigne la vitesse du cadre. La spire entre dans le champ avec une vitesse 𝑣! . A quelle condition en ressort-­‐elle ? Si cette condition est vérifiée, déterminer la diminution de vitesse ∆𝑣. Exercice 2 : Rail de Laplace vertical On considère un dispositif de rail de Laplace vertical, dans lequel une barre métallique 𝑃𝑄, de masse 𝑚, peut glisser sans frottement le long de deux rails verticaux distants de 𝑎. Ces rails sont reliés à un générateur de tension, délivrant une force électromotrice continue 𝑈! . La résistance totale du circuit est notée 𝑅 et elle est indépendante de la position de la barre 𝑃𝑄. On suppose enfin que l’inductance propre du circuit est négligeable. Dans l’espace où peut se déplacer la barre règne un champ magnétique stationnaire et uniforme : 𝐵 = 𝐵𝑒! A l’instant initial, la barre est lâchée sans vitesse initiale. 1) Ecrire l’équation électrique du dispositif. 2) Ecrire l’équation mécanique du dispositif. 3) Résoudre le système d’équations couplées ainsi déterminé. En déduire les expressions de la vitesse 𝑣 (𝑡) de la barre et de l’intensité 𝑖 (𝑡) du courant électrique circulant dans le dispositif et les représenter. 4) Quelle condition doit satisfaire la résistance 𝑅 du circuit pour que la barre tombe ? 5) Déterminer la vitesse limite prise par la barre. 6) Application Numérique : 𝑚 = 0,5 g ; 𝑈! = 1,5 V ; 𝐵 = 0,5 T ; 𝑅 = 8 Ω ; 𝑎 = 5 cm 
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