L`identité en mathématiques constructives

Séminaire de philosophie
et mathématiques
DIRK VAN DALEN
L’identité en mathématiques constructives
Séminaire de Philosophie et Mathématiques, 1989, fascicule 2
« L’identité en mathématiques constructives », p. 1-16
<http://www.numdam.org/item?id=SPHM_1989___2_A1_0>
© École normale supérieure – IREM Paris Nord – École centrale des arts et manufactures,
1989, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la série « Séminaire de philosophie et mathématiques » implique
l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute
utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale.
Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/

L'IDENTITE EN MATHEMATIQUES CONSTRUCTIVES
D. VAN DALEN
Il y a deux aspects de la théorie de lidentite un aspect
philosophique et un aspect technique. Les deux aspects sont intimement
liés. C est une des faiblesses de la pratique classique que 1 usage de la
logique classique obscurcit les distinctions raffinées.
Je décrirai simultanément les effets du point de vue classique
et constructif. Remarquons d abord que les doctrines de Frege, concernant
les notions de référence et identité sont parfaitements acceptables pour les
constructivistes. Enfin, il s agit des objets mathématiques qu'on veut
décrire en un langage mathématique, et "sens" et "référence sont aussi
fondamentaux qu en cas de la théorie classique. Je considère les
mathématiques constructives comme une discipline comme tous les autres
-et pas en le sens de Brouwer comme un phénomène sans langage.
Cependant, la théorie constructiviste de dénotation et sens est
plus ésotérique, parce que lintroduction de être construit ajoute un
caractère modal. Par conséquence, les considérations de Kripke sur
Naming and Necessity sont applicables ici.
Les objets mathématiques constructivistes sont des choses
construites, soit par des hommes comme processus mental, soit par des
machines abstraits ou non.
On peut rappeler des détails historiques : pour Kronecker et
Bishop les nombres naturels sont donnés auparavant, pour Brouwer les
nombres naturels sont créés par lhomme lui-même, et en plus l'homme
fait encore des objets abstraits comme "suite de choix" et "espèces"
(ensembles).
Des propriétés des objets mathématiques sont constatées par
des moyens effectifs, en généra! ce sont des constructions. Par exemple :
on obtient lidentite de 7 et 5 + 2 en faisant une construction qui ajoute 5
et 2 et qui compare le résultat avec 7.
- 1 -

En général on ne sait pas auparavant qu'une construction
réussit, en particulier on ne sait pas toujours si l'objet qu'on veut
construire existe ou non. Si on calcule l'inverse d un nombre réel; donné
par une suite de Cauchy ai, a2, a3, a^ la construction es simple : on
construit la suite ai
1,a22,...
en prenant (H - 1 . Sans aucune condition
cela ne conduira pas à une suite de Cauchy. Alors, il n'est pas certain que
a 1 existe.
Résumons encore les modes principaux de construction des
objets mathématiques.
1. Construction des nombres naturels, soit par des actes mentaux, soit
par une méthode objective comme l'itération des barres (comme en
théorie des algorithmes, ou chez récole Russe de Markov ou comme le fait
M. Lorenzen), soit par une machine éventuellement abstraite, comme
machine de Turing).
2. Constructions des objets discrets combinatoires, comme triplets
de nombres naturels, nombres rationels, triangles, graphes finis, etc. Tous
ces objets peuvent être codés dans les nombres naturels, telles que létude
des objets discrets (finis) pouvant être réduits à létude des nombres
naturels.
3. Construction des objets infinis et plus ou moins abstraits.
3a. Les suites de nombres naturels données par une loi. Alors
on donne une loi, c est une prescription finie qui détermine pour chaque n
un nombre an. C est dans le sens d Emile Borel.
Le paradigme, bien entendu est l'exemple des suites récursives. Ils
fournissent les études détaillées des problèmes d indécidabilité.
3b. Les suites de choix des nombres naturels. Ces suites sont données
par une information incomplète c'est-à-dire il n'y a aucune prescription
algorithmique ou mécanique pour générer les nombres an.
- 2 -

3c. Les sous ensembles d'ensemble des nombres naturels
3d. Itérations de 3a. 3b. 3c, en particulier des ojbets de types
finis.
En s éloignant des objets primitifs fondamentaux la relation
d identité devient peu à peu plus compliquée.
Notons que le point de départ pour chaque école philosophique
des mathématiques est la collection des nombres naturels, une collection
d objets discrets pour laquelle on peut décider L identité. Les objets dérives
discrètement des nombres naturels héritent la decidabilité de lideniité
des nombres naturels. Si on veut comparer deux triples (ai, a2, aj) et (b|,
b2. bj), on compare les nombres a*, bj deux à deux.
Il est une conséquence de cela que lidentite pour les nombres
entiers, et rationnels est décidable.
Si on passe des nombres naturels aux fonctions numériques, la
decidabilité n est pas préservée.
En effet, pour des fonctions récursives la decidabilité de
lidentite des fonctions f et g entraîne la résolvabilité du Halting problem
de Turing. Et en cas des
suites de choix la decidabilité est contraire au
caractère continu inhérent à la mode libre de génération.
Pour les ensembles des nombres naturels on rencontre une
situation comparable. Si on pouvait décider 1 identité des ensembles
quelconques A et B, on pourrait aussi résoudre toutes les problèmes de
décisions mathématiques.
La question brûlante est alors, est-ce que la situation avec les
objets généralisées est d une anarchie désespérée. Ou est-ce qu il y a des
propriétés convenables, quoique la situation soit chaotique ?
Considérons les fonctions récursives; elles sont données par des
instructions concrètes, par exemple une machine de Turing. Une telle
instruction est une suite finie de mots dans un langage quelconque.
Traditionnellement on code ces instructions par des nombres naturels,
alors les instructions ont des propriétés semblables à ces nombres
- 3-

naturels. En particulier, quand deux instructions sont données on peut
simplement les comparer. C est-à-dire, la relation d identité pour les
instructions des fonctions récursives et décidable. C est une conclusion très
importante : la matière de base qui constitue les fonctions récursives sont
les nombres naturels. Dans la théorie des fonctions récursives on parle de
nombres de Godel ou indices , au lieu de constructions codés .
Ensuite 1 identité extensionnelle pour les fonctions récursives
est générée par une relation d équivalence sur les nombres naturels :
a ~ b si {a} (nj - ibj (n) pour chaque n . En mots : on identifie toutes
les instructions qui résultent en des fonctions numériquement identiques.
Et on peut considérer les fonctions récursives comme des sous-ensembles
de N - plus précisément, la partition induite par la relation d équivalence
donnée.
Il se présente une généralisation naturelle : bien qu on ne peut
pas espérer que lunivers mathématique consiste d objets générés par une
méthode effective quelconque, les collections d objets mathématiques sont
obtenues comme ensembles quotients (ou image) d'un ensemble
raisonnable.
Ce point mérite une digression : un ensemble nous paraît
fondamental quand les éléments sont reconnaissables individuellement;
par exemple, r ensemble des nombres naturels est de telle nature - ses
éléments sont produits individuellement et on peut décider l'identité pour
deux nombres quelconques. Un nombre naturel comporte toute
linformation dont on a besoin pour le manipuler. Par contre un nombre
réel (comme classe d équivalence des suites de Cauchy) est insuffisant
pour déterminer effectivement sa propre place au milieu du continu. On
pourrait dire les nombres naturels sont génères immédiatement par nous
et les nombres réels sont obtenus par un processus d abstraction des suites
de Cauchy. Mais qu est-ce qu on fait avec les suites infinies ?
Les suites des nombres naturels sont données par nous avec
une certaine intention. C est une pièce d extra information qui confère une
sorte d individualité à la suite. Même, si on ne sait pas quand deux
fonctions récursives sont numériquement identiques, on sait quand les
instructions sont identiques. Et le même s'applique aux suites de choix. Si
nous générons deux suites de choix a et b, nous savons qu'il s'agit de deux
processus individuellement distingués, quoique nous ne savons pas si les
processus de choix produisent des suites de nombres identiques.
- 4 -