Les théorèmes de Weierstrass pour les anneaux de

Séminaire Lelong.
Analyse
J EAN -P IERRE R AMIS
Les théorèmes de Weierstrass pour les anneaux de séries formelles
et de séries convergentes sur un espace vectoriel normé
Séminaire Lelong. Analyse, tome 7 (1966-1967), exp. no 2, p. 1-16
<http://www.numdam.org/item?id=SL_1966-1967__7__A2_0>
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2-01
Séminaire LELONG
(Analyse)
année, 1966/67,
7e
1er mars
n° 2
1967
LES THÉORÈMES DE WEIERSTRASS
POUR LES ANNEAUX DE SÉRIES FORMELLES ET DE SÉRIES CONVERGENTES
SUR UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ
par Jean-Pierre RAMIS
Soit
K
un
désignera
par
caractéristique nulle, topologique, sépare.
corps commutatif de
(e.
v.
t. K)
la
catégorie
des espaces vectoriels
topologiques
On
sur
K .
Polyn8mes
I.
1.
et séries formelles
Généralités.
Rappelons d’abord quelques résultats :
(a) Applications
polynomiales
Définition. - Une application
est dite
polynomiale homogène
symétrique
Autrement
Dans
ces
f
En
de
dit,
f
dans
se
conditions, f
PROPOSITION 1. - Pour
dans F s
de
F
f
(cf. [l]
(non
degré
ou
[2j). -
nécessairement
n, s’il existe
telle que
Soient
continue)
une
de
E
application
... ,
dans
F
n-linéaire
x) .
factorise :
est
une
unique
et
se
calcule par :
application polynomiale homogène
les conditions suivantes sont
équivalentes :
(de degré n )
de
E
(i)
(ii)
f
est
f
(it)
continue ;9
est continue
est
(ii’) f
0 .
en
f
continue 9
est continue
(0,
en
... ,
0) .
Quelques notations. - L’ensemble des applications polynomiales homogènes continues
de degré n de E dans F sera noté (E, F)y il est canoniquement muni (en
C(E , F) )
tant que sous-espace de
F)
rons
E
de
n
Soit
dans
d’une structure d’e.
F . L’ensemble des
=-=
F
(b) Polynômes
Ee0b(e. v.
Ln(E
noté
sera
9
K . Nous pose-
sur
applications polynomiales homogènes
de
degré
F) .
et séries formelles à "variable" dans
un
e.
v.
t.
K. -
sur
(ici F=K).
K)
t.
t.
v.
Définitions.
0
1° Nous
appellerons
ensemble des séries formelles à "variable" dans
munit de manière évidente cet ensemble d’une structure
on
2° On définit de même l’ensemble des
le munit d’une structure de
on
F
Soit
(ces
E
Ob(e.
v.
t.
K) ,
ensembles étant munis de leur structure naturelle
noterons
nous
K .
de
les définitions ci-dessus
’~~
sur
polynômes 9
sous-algèbre
Notation. - Soit
d’algèbre
E,
f
se
généralisent ?
d’espace
I f y
=
vectoriel
avec
on
définit
sur
K ).
f
n~O ~
Définition. - Soit
f
de
(noté o)(f) )y
E~(E , K) .
(c)
au
Formule de
point
applications
des
le
x..
f
une
série formelle
plus petit entier
e
E y
du
polynôme
n-linéaires continues de
applications
n-linéaires de
E
f
nulle ;
par
de
En
dans
f(n)(x0)
K[E] .
dans
F .
nous
f
tel que
p
Taylor. - Désignons
non
ne
de
soit pas Isolement nul
la dérivée
n-ième
( algébri-
E (E ~ F) l’ensemble des
soit L
(E y F) l’ensemble
Soit
Fy
appellerons ordre
Moyennant l’injection
canonique (de
peut être considère
tation
est de
X"
(x ~
degré p ) ?
==
donne la
qui
cier
un
comme un
x) ~
décomposition
qui montre
ce
... ~
f
est
catégorie (e.
e
K) .
Introduisons la
alors la formule de
E (E , K) y
fait dans
y
et
(si
Taylor
En
composantes homogènes.
en ses
en
a
K) ) ,
t.
v.
élément de
fois. On
n
de
que
la
no-
f
effet,
lui
qu’on peut
asso-
E~E ~ K) .
élément de
(d) Catégorie des algèbres de séries
gie). - Substitution d’une série formelle
formelles
K
sur
(K
muni de
sa
topolo-
F ~ G e0b(e. v. t. K)) :
On définit d’abord la substitution d’une application polynomiale homogène dans une
autre, soit f e F[E] , homogène de degré p , soit g e G(F) , homogène de degré
dans
une
autre
q ~
g o f :
sont
polynomiale homogène
est évidemment
E --~ G
continues,
g
o
f
l’est aussi. Nous
substitution d’une série formelle d’ordre
une
série formelle de
Soit 03C6
G(F) ,
F[[E]] , 03C9(03C6)
E
1 ,
on
a une
de restriction. - Soit
alors
supérieur
le résultat est
On vérifie facilement que l’on
Morphismes
sommes
un
degré
de
ou
en mesure
égal
élément de
à
1
d’ordre %
1
continue,
de
F[E]
y
et elle
dans
G~E~ .
définit le morphisme
catégorie.
F
un
sous-espace
peut donc être considérée
permet de définir le morphisme
elle
g
de définir la
(topologique)
de
jection canonique
est linéaire
et
f
pq , si
comme un
élément de
de restriction
E 9 l~in-
qui est surjectif
Propriétés
2.
(a)
F
soit
F
si
est facteur direct.
de
PROPOSITION 2. - L’
anneau
le sous-espace de
E
2 ,
est muni de la
topologie
de
f
à
et de
g
que
Démonstration. -- Soit
on
deux
induite),
(diaprés
identiquement nulles
est intègre (en tant
engendre
i (f )
F ,,
intègre.
est
par
x
F y
de dimension
i *M* (f polynomiales
) i*(gq) homogènes,
1
sont
non
F )y ce sont des éléments de K[F]
K[X] ou K[X ~ Yl ). On a donc
le choix de
sous-anneau
de
f
w(f) = 0 ,
tel que
peut supposer
séries (de K[X] = K[K] )~
f=
soit
1-X
et
f
s’écrit :
1 - g ,
on
1+X+X
ou
les restrictions
et
soient
i*(gq)
et
x (
et
f =
g ,
substitue
g
qui
avec
dans les
+ ... c e qui montre que
f
plus engendré
en
est inversible.
Remarque s Quand
tant
qu’idéal
E
est de dimension
par les éléments de
n’est
infinie,
K) ,
y
comme
c’est le
cas
en
dimension fi-
(2)
On
a
également
la
topologie
est plus fine que la topologie
Remarquons que la topologie
d’espace métrique ( d ’ après les inclusions ci-dessus)y donc séparée ~ c’ est-à-dire
n
0 ). La "bonne" topologie semble être la topologie ( 1) .
nB0
"
II. Séries
K
valué
est,
non
dans toute cette
partie,
discret. Nous
ferons pas
ne
plété de K auquel on prolonge
tégorie des espaces normés sur
1. Généralités
caractéristique nulle,
complétion, soit K le com-
corps commutatif de
d’hypothèse
de
la valeur absolue de
K . Nous
noterons ~
la
ca-
f
est
-
K .
(cf. [2]).
Définitions. - Si
convergente
un
convergentes
et admet
a un
R
rayon de convergence
R
non
nul,
on
dit que
pour rayon de convergence. On définit de la même manière
le rayon de convergence strict
R
(c’est
celui
de
(cf. [2])
La boule ouverte de
B(0 , R)
E ,
est dite boule de convergence
La série
complet),
dont la valeur
B(0 , R)
U
que d’un ouvert
de
E
de là définir la notion
(la
K
K
dans
(qui
est
f(x) .
est notée
y
dans
B(0 , R)
de
application
une
Remarquons que l’on peut à partir
B(0 , R)
y
9
x E
en
f,
B(O, R) C B( 0 , R) .
stri cte
définit
f
convergente
est dite boule de convergence de
y
d’application analyti-
définition est donnée pour
R
ou Ç
dans
[2~~.
Notation. - L’ensemble des séries
de
induite par celle de
K-algèbre
de
K[[E]]
noté
sera
K~E~ .
les inclusions triviales :
On
a
On
peut
existe
qu’il
montrer
des germes de fonctions
LEMME 1. - Soient
f
par substitution de
f
isomorphisme canonique entre
un
analytiques
(b) Propriétés de K£E~ . ~
gentes F{E} de F[[E]] (E, F
évidemment
g
(
série majorante de
une
--~ 0
avec
r~0~,
il
K~E~
et l’anneau
E .
comme
précédemment
les séries
conver-
~ NK) .
g
g o f
o
est
convergente
par substitution
f ,y
elle
a un
g
o
f
obtenue
(g
def ~ dans
rayon de convergence
est donc de même de
en
soit
1 ;
E
g,y alors
dans
E
On définit
F{E} ,
E
0
en
Démonstration. -g ~ o ~Ifl ( obtenue
bien
muni de la structure
convergentes
)g
o
et
est
non
nul
est
g o f
convergente.
PROPOSITION 1.
(i) K(E’}
(ii) K~E~
est
est
(iii) K[[E]]
pour la
un
un
d’intégrité ;
anneau
anneau
local d’idéal maximal défini par
topologie
respectivement les complétés
par la topologie (1).
sont
et
induite
Démonstration.
(i)
(ii)
se
déduit de l’inclusion
résulte du lemme 1
(cf.
2, proposition
3).
de
K{E} et
(iii)
plété
déduit de l’inclusion
se
K[[E]]
et du fait que
est le
com-
de
Restriction à
un
sous-espace.
PROPOSITION 2. - Soit
momorphisme
i~
alors
rect,
induit
est
f
puisque
,
un
sous-espace de
E ;
soit
l’ho-
i
restriction,
dernier
ce
Î
de
F
soit
Ee
un
homomorphisme
homomorphisme
est
De
est facteur di-
F
plus, si
surjectif.
convergente, ~fi
donc cette
K(E~ ~ K~F~ .
convergente, or )
dernière série est convergente, et il
est
est
en
majorante
de
est de même pour
i (f ~ .
(c)
p-ième
Séries dérivées. - Soit
en
x0
E
K) ,
de
K[E] , homogène
degré
E est un élément
auquel on peut
cet élément est polynomial homogène de degré n
f
E
de
n ;
sa
associer
-
p
ou
dérivée
un
élément
nul, et
con-
tinu.
Soit
f
E
on
définit la dérivée
PROPOSITION 3. - Soit f
f’
E
K{E} ,
soit
p-ième
R
admet le même rayon de convergence strict
Démonstration.
son
de
f
par
rayon de convergence strict. Alors
R .
et le résultat.
On montrerait de même
III. Les théorèmes de Weierstrass
Remarques préliminaires.
1.
c ’ est évidemment
un
sous-espace fermé de
Considérons l’e.
v.
t.
K
sur
défini par
Tout sous-espace de dimension
E . En
soit
nule pas
on
effet, soit
a E F ; il
admet
E
une
dans
F C E
de
dimension 1 ,
existe
une
forme linéaire
f
peut être
E0/Ann E*0 .
1
un
continue
En
Il
possède
soit
E~
sur
tel que
sa
classe
qui
ne
s’ an-
E..
par passage
E
qui
s’ annule pas
F
sont
Ann
sur
et
propriété
la
E.. ) ;
à
entier).
tout
supplémentaire topologique
forme linéaire continue
a.. (sinon a.. appartiendrait
en
obtient
E =
’
suivante :
dans
En (qui
9
ne
quotient,
au
en
a .
Con-
sidérons les applications :
elles sont
continues,
Soit
CK
phisme p*
E..
p :
miale
Ann
la classe des
s
homogène
Ceci
qui montre
K-e,
v.
K
que
t.
E
tels que
Ann
homéomorphes
E’
=
0 y
on
et
a im
isomor-
~ K[[E0]] (ai E E0/Ann E*0 ), déduit de la projection
E[E0]) (il est facile de vérifier que toute application polyno-
K[[E]]
~ E
E.. ).
ce
de
=
degré
permet
n , continue de
de restreindre notre
K , s’annule sur
étude aux objets de
(~ .
E..
dans
les
points
de
L’étude que
mettre
sible
(a)
allons faire
notation
Anneau des
valable pour trois
sera
évidence l’analogie entre
en
une
nous
ces
Les trois
commune.
trois cas,
particuliers ;
adopterons
pour
autant que pos-
sont les suivants :i
cas
les
A =
polynômes :i
nous
cas
hypothèses
K
sur
sont celles du dé-
but ;
(b)
(c)
Anneau des séries
les de la
A
où
A p
=
(cas (b)
est
A[[T]]
déduite de
LEMME 1. - Soit
AN
v.
se
de
on
peut
t.
K) ),
E
telle
Ka~ ~
F
Enfin,
E
si
f
est
l’algèbre
cel-
des séries formelles d’éléments
topologique ; on a, sur AC~T~~
nous l’appellerons topologie de la
G~..
que
on
( cas (a)) A[T],
Une
F
a un
plus préciser,
est injectif.
de
9
anneau
un
=
(c))
et
coefficients. Nous noterons
(e.
A =
II.
partie
Nous noterons
de
K[[E]] , mêmes hypothèses sur K ;
convergentes : A K~E~ , les hypothèses sur K sont
Anneau des séries formelles :
décomposition
l’anneau des
de
soit de dimension
convergente,
cas
(a)
les séries
topologie produit
convergence
=
F 0 E’
sur
simple des
A.
(somme
de
1, étant choisie ainsi qu’une ba-
homomorphisme canonique
dans les
la
polynômes
E
l’ espace
9
de
K-algèbres
est
bijectif,
dans le
cas
surjectivité,
La
et
x
soit
plus,y
f
Pour que
cas (a)
et
~~~ ,
démontre
se
remarquant
en
x ~----~ t
que
sont continues.
~-~ x’
On a, de
dans les
un
soit
critère de convergence pour
K[[~E]] :1
série de
une
f(ï y r’)
il faut et il suffit que la série double
convergente~
convergente.
Démonstration. - On pose
jf)(r)
est obtenue
en
Passons maintenant à la démonstration proprement dite. Soit
E
f(ï ~ r’) ,
termes de
r
r’ ;
T +
=
regroupant
les
d’où le résultat.
2. Les théorèmes de Weierstrass.
(a). -
THEOREME 1
(i)
On
Soit
peut trouver
1 )~
B
B(t)
à coefficients dans
K[E’j
(ii) S’il en est ainsi
de ËL~H ~ tels que
(b). -
(déduite
(ii) S’il
et R de
plus,
(e.
de
degré.
son
t. K) ,
v.
y
polynôme
le
n ; le coefficient de
t
est
AeK[E] il existe des polynômes Q et R
avec
degR(t) n (R(t) e (K[E’])[T]) . De plus,
y
Q
THÉORÈME 1
Soit
trouver
peut
conditions~
De
n
(K[E’])[T] y
degré
soit de
y
sont déterminés de manière
THÉORÈME 1
On
(somme
pour tout
y
(i)
i (B)
nul,y soit
K.
alors dans
R
non
telle que, si l’on identifie
dimF=
et
de
décomposition,
une
avec
Q
polynôme
un
e G~ .
p
en
de
B
F-2014>E)
l’ordre de
est
ainsi,
R
(c). -
conditions.
ces
non
E=F@E’
de
à
B
F
ne
-
y
nulle.
telle que la restriction
soit pas nulle
(soit,
dans
ces
i’(B) ).
pour toute série
telles que
et
par
série de
décomposition~
une
i :
une
unique
A=BQ+R y avec
il existe des séries
Re(K[[E’]])[TJ
sont déterminés de manière unique par
Même énoncé que pour le théorème 1
ces
(b) ,
en
degré
conditions.
de
remplaçant
Q
p .
ne
Démonstration du théorème 1
(a).
Démonstration du théorème 1
(b).
(i) B = 03A3 B ,
un
s’annule pas,
(ii)
Nous
ce
avons vu
considérerons que
on
chosit
sous-espace
F
sur
lequel
au
moins l’un des
B
qui est toujours possible puisque
(lemme 1)
nous
sommes
que
dans
K[[E]]
ce
s’identifie à
(K[[E’]])[[T]] ;
dernier ensemble.
Nous allons d’abord montrer l’existence de la "division" :
nous
vérifiant
On obtient ainsi par récurrence trois
Considérons la suite
(A A
(pour
cette suite est convergente
fit de montrer que,
(il
évident
passant à
En
séparée)
quel
On
la
limite,
on
(tP - T)Q
L’existence étant
obtient
+
c ,
avec
+
A1 =
(tP - T)Q
converge,
qui est
ce
A
+
R
+
(la topologie
A’
est
R .
+
démontrons maintenant l’unicité. Supposons que l’on
montrée,
montrons que
ait
~~T ~~ ,
Q E
tP
...
tm
donc
a
A =
et
+
c
simple des
le coefficient de
M ,
(K[[E’]])[[T]] ,
coefficients) ; il suf-
d’éléments de
+
...
la convergence
que soit
est de la forme
complet).
est
+
+
est
Q
égal à
un
t, R
provenant de TQ,
d’ordre > p
terme
en
(ceux
dans
ainsi ramené à
R ~ 0 ,
Passons maintenant
au
de
T
(ii)
séries
est
identique à
1
est de
ce
cas
sont).
des séries
degré
jorations
et
R
(It 1 =
entraîne bien
t,
par suite
les coefficients de
0 )
Q ~
tP
est
Q
Q
sont
On raisonne alors par récurrence. On est
bien unicité.
convergentes.
(c).
(b) Ci).
Il faut montrer que, lorsque les séries
Q
en
p
qui montre que
Q = 0 , et il y a
Démonstration du théorème 1
(i)
y
(ce qui
n >, ~
~
sont
convergentes. Pour cela,
T 9
i~x’ ~‘
=
r) .
A
et
nous
B
sont
convergentes,
allons faire
un
les
calcul de
ma-
T(T , r’)
vérifient
sont
ces
convergentes. Nous supposerons donc,
conditions
(qui
dans la
suite,
que
T
entraînent que toutes les séries écrites sont
et
r’
conver-
gentes).
(tous
c’est-à-dire
rieurs
ou
égaux
(les inégalités
à
ceux
de
l’autre).
De
les coefficients de l’une sont infé-
même,
étant vérifiées par les coefficients
On obtient par récurrence trois suites
n
correspondants).
~~n~ , ~~n~ ,
vérifiant
r’ ~ p
Dans
suite obtenir
te
On
r~
majoration
r’
en
de la forme
(T e (~K[[E’]]))[[T]]) ~ et par
( 1~ constant) , il exisT(T , r’ ~
facteur
tel que
-
suite,
les trois séries
sont
convergentes pour
tion,
les deux séries
sont
mettre
déduit que
en
Par
> 0
une
peut
on
convergentes dans
et, d’après
le lemme
2,
T ~
rI .
Pour des raisons évidentes de
les mêmes conditions. On
Q
et
R
sont
majora-
a
convergentes.
Définitions.
(a)
On appellera
polynôme distingué
de
(K~E’ ~~ ~T ~ ,
un
polynôme
unitaire de cet
anneau.
(b)
On
appellera polyn8me distingué de
les coefficients
(c)
On
non
non
un
polynôme
unitaire dont
dominants sont dans
appellera polynôme distingué de
les coefficients
(K~~E’ ~~~ ~T ~ ,
dominants sont dans
(K~E t 3 ~ ~T ~ ~
un
polyn8me
unitaire dont
COROLLAIRE du théorème 1
(théorème
(a)
nul.
Soit
non
de
préparation
de
Weierstrass).
(i) Comme dans le théorème 1 (a).
(ii) S’il en est ainsi, B s’écrit de manière unique, B = HP ,
(inversible) et P distingué de degré n .
(b) Soit
(i) Comme
(ii) S’il
(b).
dans le théorème 1
est
sible dans
(c)
nulle.
non
en
et
Même énoncé que
s’écrit de manière unique,
B
ainsi,y
P
(b~,
H E K
avec
distingué
en
de
degré
remplaçant
P
par
faisant
A =
H
inver-
(K[[E’]])[T] .
dans
K[[EJJ
B=HP , avec
~~E~ , et K[[E’]]
par
Démonstration.
(a)
est évident.
(b)
et
(c)
résultent du théorème 1,
en
tP .
Remarques.
1°
ce
étant facteur direct de
E’
qui permet de définir
soient alors
K~E’~ ,
par passage
fait de
P
type
fini
2° Si
pose
F .
B.K[[E]]
sans
au
les
et
la
projection
p :i
E ~~ E’
est
continue,
homomorphismes d’algèbres :
B.K~E~
quotient
K[[E]VB.K[[E]]
’E ,
on
les idéaux
obtient des
engendrés
par
B
dans
K[[E]]
et
homomorphismes d’algèbres :
d’après le théorème 1, il est de
de même,
engendré par les images dans le quotient de 1 9 ... ,
est un K{E’}-module de type fini engendré par les images de
K =
un
C , la démonstration classique
difficulté, on se ramené à écrire
des théorèmes de Weierstrass
se
la formule de
cercle de
Cauchy
pour
un
trans-
2-16
BIBLIOGRAPHIE
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1965/66 à la Faculté des Sciences de Paris.
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