DIVISEURS D`UN NOMBRE ENTIER

DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER
X - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible :
Exemple :
12223
=
××
18 = ................................................ 30 = ................................................
90 = ................................................ 120 = ................................................
Y - Les diviseurs de 12 et de 18 :
Avec 12 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2,
3 équipes de 4 ou 4 équipes de 3,
1 équipe de 12 ou 12 équipes de 1.
Toutes les possibilités ont été envisagées.
Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12 sont appelés les diviseurs de 12.
Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous :
Deux opérateurs interviennent :
×
2 (opérateur horizontal)
et :
×
3 (opérateur vertical)
Procède de la même façon
pour trouver les diviseurs de 18
(où n’interviennent que les opérateurs 2 et 3) Les diviseurs de 18 sont :
.......................................................................
×
3
×5
×2
Z - Les diviseurs de 30, 90 et 120 :
En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas :
Diviseurs de 30
......................................................
Diviseurs de 120
Diviseurs de 90
........................................................................................................
...........................................................................

LES FRACTIONS
Les calculs avec des fractions évitent d’utiliser des nombres à partie décimale illimitée dont on ne pourrait
écrire que des valeurs approchées.
Exemple : il est préférable d’écrire
7
3
plutôt que 0,428571428…
n L’écriture des fractions peut, parfois, se simplifier :
Le plus grand facteur commun par lequel on peut simplifier peut s’obtenir de la façon suivante : on
décompose le numérateur et le dénominateur en produits de nombres entiers aussi simples que possible.
Exemple : on veut simplifier l’écriture
108
72
3
3
2
2
2
1
3
9
18
36
72
3
3
3
2
2
1
3
9
27
54
108 72 2
108 3
est le plus grand facteur commun possible
72 2
33
2
22
22
22
33
108 3 3
36
33 36
6
3
=
××××
= ××××
×××=
×
==
×
36 est appelé le PGCD de 72 et 108
Procède de même pour simplifier la fraction :
..............................................................................
630
168 =
o - Les fractions peuvent s’ajouter et se retrancher :
Il faut écrire ces fractions avec le même dénominateur. Ce dénominateur commun s’obtient, dans les
cas les plus difficiles, en utilisant les décompositions des dénominateurs en produits de nombres premiers.
Exemple : on veut calculer
42
23
36
17 +
3
3
2
2
1
3
9
18
36
7
3
2
1
7
21
42
252
36
42 2 3 2 3 36
est le plus petit mul
7
7
22
commun à 36 et 42
17 23 17 23 119 138 2
tiple
252 252 25
33
57
36 42 36 7 742
233
62
2
6
les facteurs et sont déjà écrits dans la décomposition de
=×××
=××
×××× =
××
+= + = + =
×
×
Procède de même pour calculer :
............................................................................
32
11
40
19 =−
p - Les fractions peuvent se multiplier et se diviser :
Il faut cependant penser à simplifier avant d’effectuer les produits .
Exemple :
73 73 1 1
(7 3 est le de 7 3 et 12 35)
12 35 12 35 4 5 4 5 20 PGCD 7373××
×= = = = × × ×
× ××× ×
Procède de même pour la division :
............................................................................................
16
27
9
8
27
16
9
8
=×=

PGCD
n - Nombres entiers et nombres rationnels
Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers.
Exemples :
3
7
63
0,63 100 =
3
31
=
sont des nombres rationnels.
π 7 ne sont pas des nombres rationnels.
o - Écriture irréductible d’un nombre rationnel
Un nombre rationnel est écrit sous forme irréductible lorsqu’il ne peut pas s’écrire plus simplement.
On dit alors que les deux termes de la fraction qui le représente sont premiers entre eux.
Exemple :
22
22
60 5 5 5
48 2332224
×××
==
×××× × =
5
4
est irréductible
60
48
a été simplifié par 12
12 est le plus grand diviseur commun de 60 et 48. On dit que 12 est le PGCD de 60 et 48
p - Problème concret
60 m
48 m
12 m
On veut partager exactement un terrain rectangulaire de
60 m sur 48 m en un nombre minimum de carrés
identiques : ces carrés doivent donc être aussi grands que
possible.
Le côté des carrés est un diviseur de 60 et de 48.
Pour qu’il soit le plus grand possible, il faut choisir le
PGCD de 60 et de 48 ; c’est 12.
Chaque carré mesure donc 12 m.
Le nombre total de carrés est :
60 48 54 20 carrés
12 12
×=×=
.
q - PGCD de deux nombres entiers
Recherche du PGCD de 84 et 90.
a) On peut écrire les diviseurs des deux nombres et choisir le plus grand d’entre eux.
Sachant que :
84 1 84 2 48 3 28 4 21 6 14 7 12=× =× =× =× =× =×
90 1 90 2 45 3 30 5 18 6 15 9 10=× = × = × = × = × = ×
Les diviseurs de 84 sont : 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
Les diviseurs de 90 sont : 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
Le plus grand des diviseurs communs est 6 PGCD(84 ;90) = 6
Remarque : ce procédé est long et peu sûr !

b) On peut décomposer 90 et 84 en produits de nombres premiers (Procédé utilisant la fiche d’introduction)
Précisions (ou rappels) :
Un nombre est dit premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même
Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
90 2
45 3
15 3
55
1
84 2
42 2
21 3
77
1
90 3 5 et sont les seuls facteurs communs à 90 et 84
84 2 7
3
3
22
2
=×××⎫
⎬
=×××
⎭3
PGCD(90;84) 326=×=
c) On peut utiliser « l’algorithme d’Euclide ». (Procédé utilisant la division euclidienne)
On commence par la division euclidienne de 90 par 84.
On peut représenter les différentes divisions dans un tableau.
Dès que le reste est égal à 0, le diviseur correspondant est le PGCD cherché.
dividende diviseur reste division
90 84 6 90 84 1 6
=
×+
84 6 0 084 6 14
=
×+
r - Applications
a) Écriture irréductible d’une fraction
Si on simplifie l’écriture d’une fraction par le PGCD des termes de la fraction, on obtient l’écriture
irréductible de la fraction.
Exemple :
84 14 14
90 15 15
6
6
×
==
×
b) Problème de partage
Un fleuriste dispose de 315 roses et de 135 iris.
Il veut réaliser, avec toutes ces fleurs, des bouquets identiques.
Quel est le nombre maximal de bouquets et quelle est la composition de chaque bouquet ?
Puisqu’on doit utiliser toutes les fleurs, le nombre de bouquets est un diviseur de 315 et de 135.
Pour que ce nombre de bouquets soit maximal, il est donc le PGCD de 315 et 135.
Ce PGCD est égal à 45 ; le fleuriste peut donc composer 45 bouquets.
Puisque 315 et que 135 , c’est que chaque bouquet contient 7 roses et 3 iris.
45 7=× 45 3=×
dividende diviseur reste division
315 135 45 315 135 2 45
=
×+
135 45 0 135 45 3 0
=
×+

NOMBRES ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS
X - Complète chacune des phrases suivantes:
17 est un diviseur de 51 car… ………………………………………………………………………………………………………………………….
143 est un multiple de 11 car… ……………………………………………………………………………………………………………………….
donc … …………………………………………..……………………………………………………………………………………….
23 18 414×=
614 17 36 2=×+
donc … ……………………………….…………………………………………………………………………………………….
Y - Effectue les divisions euclidiennes suivantes et écris chaque résultat sous forme d'égalité:
675
131
675 = … ………………………………………………………………………………………………………….
651
93
… ……………………………………………………………………………………………………………………
Z - Calcule les PGCD suivants (la méthode n'est pas imposée):
PGCD(140;84 )= …
…………………………………………………………………………………………………………..………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
PGCD(45;140) = … ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
PGCD(817;513) = … …………………………………………………………………………………………...……………………………………….
… …………………………………………………………………………………………………….…………………………………….
PGCD(20;21) = … ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………….……………………………………………….
[ - Écris chaque fraction sous la forme d'une fraction irréductible:
221
255 =
… ……………………………………………………………………………………………………………………….
513
817 =
… ……………………………………………………………………………………………………………………….
570
684 =
… ……………………………………………………………………………………………………………………….
\ - Un champ rectangulaire mesure 39 m sur 135 m.
Combien faut-il de poteaux, régulièrement espacés et distants de plus de deux mètres, sont nécessaires pour
clôturer ce champ? (la distance entre deux poteaux consécutifs est un nombre entier de mètres).
…
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….