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C9 - Les expressions rationnelles TD Seconde
9.1 La fonction inverse
ACTIVITÉ 1(Découverte)
On appelle fonction inverse la fonction définie pour tout réel x6=0 par f(x)=1
x.
1. Avec votre calculatrice, tracer la courbe représentative notée Cfde la fonction f.
2. Est-ce une parabole ? Si non, comment appelle-t-on cette courbe ?
3. Donner la tableau de signes de la fonction inverse.
4. Que se passe-t-il pour x=0 ?
5. Existe-t-il des antécédents de 0 par la fonction inverse ?
6. Dresser le tableau de variation de la fonction inverse.
7. Justifier la monotonie de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[.
EXERCICE 1
En s’aidant éventuellement de la courbe de la fonction inverse ou de son tableau de variation, compléter :
1. Si x>3 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
x...................
2. Si x<−p2 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
x.................
3. Si x>2 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
x...................
4. Si x<−3alors .................. 1
x..................
5. Si 0 <x<4 alors 1
x..................................
6. Si 0 >x>−10alors ................................ 1
x
EXERCICE 2
Dans les cas suivants, comparer 1
aet 1 ben justifiant mais sans faire de calculs.
1. a=17 et b=23.
2. a=−1,1 et b= −0,99.
3. a=913 et b=−846.
4. a=−9
4et b=−4 5.
EXERCICE 3
On considère la fonction gdéfinie sur R∗par g(x)=−2
x.
1. Écrire un programme de calcul permettant de passer de xàg(x).
2. À l’aide des variations de la fonction inverse, donner le meilleur encadrement de g(x) dans les cas suivants :
a) 0,1 6x60,2 b) x∈[−5 ; −2].
EXERCICE 4(Loi de Boyle Mariotte)
Une certaine quantité de gaz, à température ambiante, a une pression Pen Pascals (Pa) et un volume Ven cm3qui
vérifient la relation
P×V=1
1. Calculer la pression du gaz lorsque V=2cm3.
2. Calculer son volume lorsque sa pression est de 4 Pa.
3. Exprimer Pen fonction de V.
4. Compléter le tableau de valeurs suivants :
V 0 0,001 0,01 0,1 0,5 1 2 4 5 10
P
5. Comment varie la pression quand le volume augmente ?
6. (a) Représenter Pen fonction de Vdans un repère orthonormé du plan d’unité 2 cm.
(b) Pouvez-vous placer tous les points correspondants au tableau de valeurs ?
EXERCICE 5
Quels sont tous les nombres réels qui sont égaux à leur inverse ?
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C9 - Les expressions rationnelles TD Seconde
EXERCICE 6
Résoudre les équations ou inéquations suivantes en expliquant votre démarche :
1. 1
x=2 pour tout réel x6=0.
2. 1
x63 pour tout réel x>0.
3. 1
x>−1 pour tout réel x6=0.
EXERCICE 7
On considère les fonctions fet gdéfinies pour tout xnon nul par f(x)=4
xet g(x)=−2 x.
1. (a) Tracer la courbe représentative de fsur la calculatrice ?
Que peut-on conjecturer concernant les variations de f?
(b) Écrire l’algorithme de calcul de cette fonction.
(c) Soient 0 <a<b.
Que peut-on dire alors de 1
aet de 1 b?
Que peut-on dire alors de 4 ×1
aet de 4×1 b?
En déduire le sens de variation de fsur ]0; +∞[.
(d) Faire de même en partant de a<b<0.
2. Mêmes questions avec la fonction g.
9.2 Expressions rationnelles
ACTIVITÉ 2(Signe d’un quotient)
Partie A
Soit un quotient A
B.
1. Sous quelle condition, ce quotient existe-t-il ?
2. Dans le cas où le numérateur est nul, que se passe-t-il pour le quotient?
3. Dans quel cas, le quotient A
Best-il nul ?
4. Établir le théorème du quotient nul.
5. Donner la règle des signes d’un quotient.
6. Comment résoudre une inéquation quotient nul ?
Partie B
Soit le quotient Q=−x+1
2x−3.
1. Sous quelle condition Qexiste-t-il ?
2. Résoudre l’équation −x+1
2x−3=0.
3. Résoudre l’inéquation −x+1
2x−360
EXERCICE 8
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1. 2x+1
x−4=0
2. −3x+4
−2x−1=2
3. 1
x+4=3 2x−1
4. 2
x−1−3 x+1=4 x2−1
5. 2x−5
−x−2>0
6. 2x(5x−2)
−3x+1<0
7. x2+1
(x−1)(x+2) >0
8. x−7
2x−363
9. 2−5x
(x+1)2>0
10. 1
x+2<x+2
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EXERCICE 9(Erreur classique)
En corrigeant la copie d’É milie France, élève de 2de 27 bis, voici ce que j’ai trouvé :
Énoncé : Résoudre dans Rl’inéquation 5x
1−x610x 2x+1.
Réponse :
L’ensemble de définition est R−{−1 ; −1
2}.
Je passe tout à gauche : 5x
1−x−10x 2x+160, soit 10x2+5x−10x−10x2 (1−x)(2x+1) 60 et enfin −5x (1−x)(2x+1) 60.
Je fais un tableau de signes :
x−1
21 5
−5x+ + + 0−
1−x− − 0+ +
2x+1−0+ + +
quotient +0−0+−
Et je conclus : x∈]−1
2; 1[∪]5 ; +∞[.
Corriger la réponse d’Émilie et proposer une solution correcte.
EXERCICE 10 (De la résolution non motivée ...)
Après avoir donné l’ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes :
1. x2−2x
2+x=0
2. 16 =4(3x−1)2
3. 3x
x−1−4=0
4. 2x(5x−7) 625x2−49
5. 1
2x<2x
6. 1
x6x
9.3 Fonction homographique
ACTIVITÉ 3(Fonction homographique)
La petite station balnéaire de Port-Soleil est de plus en plus fréquentée. Aussi pour satisfaire les vacanciers, le maire
a-t-il décidé d’agrandir l’aire de jeu. Actuellement, cette aire a la forme d’un carré de 5 mètres de côté. Le responsable
du projet propose d’allonger chacun de ses côtés pour lui donner la forme rectangulaire ci-dessous :
ancienne
aire
5
5
y
x
extension
1. Exprimer l’aire de cette nouvelle aire de jeu en fonction de xet y.
2. Les contraintes budgétaires de la commune font que la surface de la nouvelle aire de jeu devra être de 100 m2.
Démontrer que y=100
5+x−5.
Quelle information le maire doit-il donner à l’entrepreneur : x,you les deux ?
3. On considère la fonction fdéfinie pour x>0 par f(x)=100
5+x−5.
(a) La valeur de yest limitée à 5 mètres par le bord de mer. Quelles sont les valeurs possibles pour x?
(b) Représenter la fonction favec la calculatrice sur l’intervalle [5; 15].
(c) Quelles semblent être les variations de fsur l’intervalle [5; 15] ?
(d) Parmi les deux valeurs suivantes de x, laquelle donne à la nouvelle aire de jeu la plus grand périmètre :
x1=5 m ou x2=10 m ?
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EXERCICE 11
Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes, en justifiant votre réponse :
1. Une fonction homographique est toujours définie sur R∗.
2. Une fonction homographique peut être définie sur Rprivé de 1 et 3.
3. La fonction fdéfinie par f(x)=2−x
10−xest une fonction homographique.
4. La fonction gdéfinie par g(x)=1+1
2x+3est une fonction homographique.
5. La fonction hdéfinie par h(x)=2
2−5x+1 4−10xest une fonction homographique.
6. La fonction idéfinie par i(x)=2
2−5x+1 4−6xest une fonction homographique.
7. La fonction jdéfinie par j(x)=x2+1
x+4est une fonction homographique.
EXERCICE 12
Déterminer les ensembles de définition des fonctions homographiques suivantes et les valeurs de xpour lesquelles
elles s’annulent :
•f:x7−→ 3x+1
2x+4
•g:x7−→ x+5
x+4
•h:x7−→ 2x+3
3x+4
•i:x7−→ x−1
3x+1
EXERCICE 13
On considère les fonctions suivantes :
f:x7−→ x−3
x+1g:x7−→ x+2 x+1h:x7−→ x+3 x−1
On a représenté ces fonctions avec un logiciel tel que la fenêtre graphique soit −46x64 et −46y64.
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
a)
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3−1−2−3−4
b)
1
2
3
−1
−2
−3
−4
123−1−2−3−4
c)
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3−1−2−3−4
EXERCICE 14
On s’intéresse à la fonction ftelle que f(x)=x+1
x+2.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Démontrer que pour tout x6=−2 on a f(x)=1−1
x+2.
3. En utilisant une des deux expressions de f, résoudre les équations ou inéquations suivantes :
(a) f(x)=0(b) f(x)=1 (c) f(x)<0
EXERCICE 15
On s’intéresse à la fonction ftelle que f(x)=x+4
x+1.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Démontrer que pour tout x6=−1 on a f(x)=1+3
x+1.
3. Soient aet btels que −1<a<b.
(a) Compléter successivement les encadrements successifs :
... <a<b
... ... a+1 ... b+1
1
a+1... 1 b+1
3
a+1... 3 b+1
1+3
a+1... 1+3 b+1
f(a) ... f(b)
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(b) En déduire le sens de variation de fsur ]−1; +∞[.
4. Déterminer de la même manière le sens de variation de fsur ]−∞;−1[.
EXERCICE 16
On s’intéresse à la fonction ftelle que f(x)=2x−1
x+3.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Démontrer que pour tout x6=−3 on a f(x)=2−7
x+3.
3. Déterminer le sens de variation de fsur ]−3; +∞[.
EXERCICE 17
Soit fla fonction définie par f(x)=−2
x+3.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Montrer que fest une fonction homographique.
3. (a) En utilisant des inégalités successives démontrer que pour tous réels uet vappartenant à l’intervalle ] −
3 ; +∞[ tels que u<von a −2
u+3<−2 v+3.
(b) Que peut on en déduire pour la fonction f?
4. Étudier le sens de variation de fsur ]−∞ ;−3[.
5. Donner le tableau de variation de f.
EXERCICE 18
Soit fla fonction définie par f(x)=x+4
x−2.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Montrer que fest une fonction homographique.
3. On appelle Cla courbe représentative de f. Pour quelles valeurs de xla courbe Cest - elle au dessus de l’axe des
abscisses ? Justifier soigneusement.
4. (a) Démontrer que pour tout x6=2 on a f(x)=1+6
x−2.
(b) Démontrer que la fonction fest strictement décroissante sur ]−∞ ; 2[ et sur ]2 ; +∞[.
5. Faire une représentation graphique en prenant 1 cm comme unité graphique.
EXERCICE 19 (Un classique)
Soit la fonction fdéfinie sur R−{−2} par : f(x)=4
x+2−1 .
PARTIE A - Des conjectures
1. Grapher la courbe Cfreprésentative de la fonction fsur votre calculatrice.
2. Conjecturer l’image de 2 par la fonction f.
3. Conjecturer le (ou les) antécédents de 3 par la fonction f.
4. Établir le tableau de signes de la fonction f.
5. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
6. Étudier la position relative de la courbe Cfet de la droite ∆d’équation y=1
2x−1.
PARTIE B - Démonstrations
1. Montrer que pour tout réel x∈R−{−2}, f(x)=−x+2
x+2.
2. Démontrer rigoureusement toutes vos conjectures.
EXERCICE 20 (encore et encore)
On s’intéresse à la fonction ftelle que f(x)=2x−5
3−x.
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Démontrer que pour tout x6=3 on a f(x)=1
3−x−2.
3. Soient aet btels que 3 <a<b.
(a) Compléter successivement les encadrements successifs :
N. SANS page 5 Lycée Jean Giono Turin