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C9 - Les expressions rationnelles
Seconde
TD
9.1 La fonction inverse
A CTIVITÉ 1 (Découverte)
1
.
x
1. Avec votre calculatrice, tracer la courbe représentative notée C f de la fonction f .
On appelle fonction inverse la fonction définie pour tout réel x 6= 0 par f (x) =
2. Est-ce une parabole ? Si non, comment appelle-t-on cette courbe ?
3. Donner la tableau de signes de la fonction inverse.
4. Que se passe-t-il pour x = 0 ?
5. Existe-t-il des antécédents de 0 par la fonction inverse ?
6. Dresser le tableau de variation de la fonction inverse.
7. Justifier la monotonie de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[.
E XERCICE 1
En s’aidant éventuellement de la courbe de la fonction inverse ou de son tableau de variation, compléter :
1
1
1. Si x > 3 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Si x < −3 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
x
p
1
1
..................................
2. Si x < − 2 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Si 0 < x < 4 alors
x
x
1
1
3. Si x > 2 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Si 0 > x > −10 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
x
E XERCICE 2
Dans les cas suivants, comparer
1
1
et en justifiant mais sans faire de calculs.
a
b
1. a = 17 et b = 23.
2. a = −1, 1 et b = −0, 99.
3. a = 913 et b = −846.
4
9
4. a = − et b = − .
4
5
E XERCICE 3
2
On considère la fonction g définie sur R∗ par g (x) = − .
x
1. Écrire un programme de calcul permettant de passer de x à g (x).
2. À l’aide des variations de la fonction inverse, donner le meilleur encadrement de g (x) dans les cas suivants :
a) 0, 1 6 x 6 0, 2
b) x ∈ [−5 ; −2].
E XERCICE 4 (Loi de Boyle Mariotte)
Une certaine quantité de gaz, à température ambiante, a une pression P en Pascals (Pa) et un volume V en cm3 qui
vérifient la relation
P ×V = 1
1. Calculer la pression du gaz lorsque V = 2cm 3 .
2. Calculer son volume lorsque sa pression est de 4 Pa.
3. Exprimer P en fonction de V .
4. Compléter le tableau de valeurs suivants :
V
P
0
0,001
0,01
0,1
0,5
1
2
4
5
10
5. Comment varie la pression quand le volume augmente ?
6.
(a) Représenter P en fonction de V dans un repère orthonormé du plan d’unité 2 cm.
(b) Pouvez-vous placer tous les points correspondants au tableau de valeurs ?
E XERCICE 5
Quels sont tous les nombres réels qui sont égaux à leur inverse ?
N. SANS
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E XERCICE 6
Résoudre les équations ou inéquations suivantes en expliquant votre démarche :
1
1.
= 2 pour tout réel x 6= 0.
x
1
6 3 pour tout réel x > 0.
2.
x
1
3.
> −1 pour tout réel x 6= 0.
x
E XERCICE 7
2
4
On considère les fonctions f et g définies pour tout x non nul par f (x) = et g (x) = − .
x
x
1. (a) Tracer la courbe représentative de f sur la calculatrice ?
Que peut-on conjecturer concernant les variations de f ?
(b) Écrire l’algorithme de calcul de cette fonction.
(c) Soient 0 < a < b.
1
1
et de ?
a
b
1
1
Que peut-on dire alors de 4 × et de 4 × ?
a
b
En déduire le sens de variation de f sur ]0; +∞[.
Que peut-on dire alors de
(d) Faire de même en partant de a < b < 0.
2. Mêmes questions avec la fonction g .
9.2 Expressions rationnelles
A CTIVITÉ 2 (Signe d’un quotient)
Partie A
A
Soit un quotient .
B
1. Sous quelle condition, ce quotient existe-t-il ?
2. Dans le cas où le numérateur est nul, que se passe-t-il pour le quotient ?
A
3. Dans quel cas, le quotient est-il nul ?
B
4. Établir le théorème du quotient nul.
5. Donner la règle des signes d’un quotient.
6. Comment résoudre une inéquation quotient nul ?
Partie B
−x + 1
.
2x − 3
1. Sous quelle condition Q existe-t-il ?
−x + 1
2. Résoudre l’équation
= 0.
2x − 3
−x + 1
3. Résoudre l’inéquation
60
2x − 3
E XERCICE 8
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
2x + 1
2x − 5
1.
5.
=0
>0
x −4
−x − 2
−3x + 4
=2
2.
2x(5x − 2)
−2x − 1
<0
6.
1
3
−3x + 1
3.
=
x + 4 2x − 1
x2 + 1
3
4
2
>0
7.
−
= 2
4.
(x − 1)(x + 2)
x −1 x +1 x −1
Soit le quotient Q =
N. SANS
page 2
8.
x −7
63
2x − 3
9.
2 − 5x
>0
(x + 1)2
10.
1
< x +2
x +2
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E XERCICE 9 (Erreur classique)
En corrigeant la copie d’É milie France, élève de 2de 27 bis, voici ce que j’ai trouvé :
5x
10x
Énoncé : Résoudre dans R l’inéquation
6
.
1−x
2x + 1
Réponse :
1
L’ensemble de définition est R − {−1 ; − }.
2
10x
10x 2 + 5x − 10x − 10x 2
−5x
5x
−
6 0, soit
6 0 et enfin
6 0.
Je passe tout à gauche :
1 − x 2x + 1
(1 − x)(2x + 1)
(1 − x)(2x + 1)
Je fais un tableau de signes :
x
−
1
2
1
−5x
+
+
1−x
−
−
2x + 1
−
0
+
quotient
+
0
−
5
+
0
0
0
−
+
+
+
+
+
−
1
; 1[∪]5 ; +∞[.
2
Corriger la réponse d’Émilie et proposer une solution correcte.
Et je conclus : x ∈] −
E XERCICE 10 (De la résolution non motivée ...)
Après avoir donné l’ensemble de résolution, résoudre les équations ou inéquations suivantes :
3x
1
x 2 − 2x
3.
5.
−4 = 0
< 2x
=0
1.
x
−
1
2x
2+x
1
6x
6.
2. 16 = 4(3x − 1)2
4. 2x(5x − 7) 6 25x 2 − 49
x
9.3 Fonction homographique
A CTIVITÉ 3 (Fonction homographique)
La petite station balnéaire de Port-Soleil est de plus en plus fréquentée. Aussi pour satisfaire les vacanciers, le maire
a-t-il décidé d’agrandir l’aire de jeu. Actuellement, cette aire a la forme d’un carré de 5 mètres de côté. Le responsable
du projet propose d’allonger chacun de ses côtés pour lui donner la forme rectangulaire ci-dessous :
y
extension
5
ancienne
aire
x
5
1. Exprimer l’aire de cette nouvelle aire de jeu en fonction de x et y.
2. Les contraintes budgétaires de la commune font que la surface de la nouvelle aire de jeu devra être de 100 m 2 .
100
− 5.
Démontrer que y =
5+x
Quelle information le maire doit-il donner à l’entrepreneur : x, y ou les deux ?
100
3. On considère la fonction f définie pour x > 0 par f (x) =
− 5.
5+x
(a) La valeur de y est limitée à 5 mètres par le bord de mer. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
(b) Représenter la fonction f avec la calculatrice sur l’intervalle [5; 15].
(c) Quelles semblent être les variations de f sur l’intervalle [5; 15] ?
(d) Parmi les deux valeurs suivantes de x, laquelle donne à la nouvelle aire de jeu la plus grand périmètre :
x1 = 5 m ou x2 = 10 m ?
N. SANS
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E XERCICE 11
Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes, en justifiant votre réponse :
1. Une fonction homographique est toujours définie sur R∗ .
2. Une fonction homographique peut être définie sur R privé de 1 et 3.
2−x
3. La fonction f définie par f (x) =
est une fonction homographique.
10 − x
1
est une fonction homographique.
4. La fonction g définie par g (x) = 1 +
2x + 3
2
1
5. La fonction h définie par h(x) =
+
est une fonction homographique.
2 − 5x 4 − 10x
2
1
6. La fonction i définie par i (x) =
+
est une fonction homographique.
2 − 5x 4 − 6x
2
x +1
est une fonction homographique.
7. La fonction j définie par j (x) =
x +4
E XERCICE 12
Déterminer les ensembles de définition des fonctions homographiques suivantes et les valeurs de x pour lesquelles
elles s’annulent :
3x + 1
2x + 3
• f : x 7−→
• h : x 7−→
2x + 4
3x + 4
x +5
x −1
• g : x 7−→
• i : x 7−→
x +4
3x + 1
E XERCICE 13
On considère les fonctions suivantes :
x −3
x +2
x +3
g : x 7−→
h : x 7−→
x +1
x +1
x −1
On a représenté ces fonctions avec un logiciel tel que la fenêtre graphique soit −4 6 x 6 4 et −4 6 y 6 4.
Associer à chaque fonction sa courbe représentative.
f : x 7−→
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
−4 −3 −2 −1
−1
−2
a)
−3
−4
1
2
3
−4 −3 −2 −1
−1
−2
b)
E XERCICE 14
On s’intéresse à la fonction f telle que f (x) =
−3
−4
1
2
3
−2
c)
−3
−4
x+1
x+2 .
1. Déterminer son ensemble de définition.
1
2. Démontrer que pour tout x 6= −2 on a f (x) = 1 − x+2
.
3. En utilisant une des deux expressions de f , résoudre les équations ou inéquations suivantes :
(b) f (x) = 1
(c) f (x) < 0
(a) f (x) = 0
E XERCICE 15
On s’intéresse à la fonction f telle que f (x) =
x+4
x+1 .
1. Déterminer son ensemble de définition.
3
2. Démontrer que pour tout x 6= −1 on a f (x) = 1 + x+1
.
3. Soient a et b tels que −1 < a < b.
(a) Compléter successivement les encadrements successifs :
... <
a
<
... ...
a +1
...
1
...
a +1
3
...
a +1
3
...
1+
a +1
f (a)
...
N. SANS
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b
b +1
1
b +1
3
b +1
3
1+
b +1
f (b)
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(b) En déduire le sens de variation de f sur ] − 1; +∞[.
4. Déterminer de la même manière le sens de variation de f sur ] − ∞ ; −1[.
E XERCICE 16
On s’intéresse à la fonction f telle que f (x) =
2x−1
x+3 .
1. Déterminer son ensemble de définition.
7
2. Démontrer que pour tout x 6= −3 on a f (x) = 2 − x+3
.
3. Déterminer le sens de variation de f sur ] − 3; +∞[.
E XERCICE 17
Soit f la fonction définie par f (x) =
−2
.
x +3
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Montrer que f est une fonction homographique.
3.
(a) En utilisant des inégalités successives démontrer que pour tous réels u et v appartenant à l’intervalle ] −
−2
−2
3 ; +∞[ tels que u < v on a
<
.
u +3 v +3
(b) Que peut on en déduire pour la fonction f ?
4. Étudier le sens de variation de f sur ] − ∞ ; −3[.
5. Donner le tableau de variation de f .
E XERCICE 18
Soit f la fonction définie par f (x) =
x +4
.
x −2
1. Déterminer l’ensemble de définition de f .
2. Montrer que f est une fonction homographique.
3. On appelle C la courbe représentative de f . Pour quelles valeurs de x la courbe C est - elle au dessus de l’axe des
abscisses ? Justifier soigneusement.
6
.
4. (a) Démontrer que pour tout x 6= 2 on a f (x) = 1 +
x −2
(b) Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 2[ et sur ]2 ; +∞[.
5. Faire une représentation graphique en prenant 1 cm comme unité graphique.
E XERCICE 19 (Un classique)
Soit la fonction f définie sur R − {−2} par : f (x) =
PARTIE A - Des conjectures
4
−1 .
x +2
1. Grapher la courbe C f représentative de la fonction f sur votre calculatrice.
2. Conjecturer l’image de 2 par la fonction f .
3. Conjecturer le (ou les) antécédents de 3 par la fonction f .
4. Établir le tableau de signes de la fonction f .
5. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
1
6. Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite ∆ d’équation y = x − 1.
2
PARTIE B - Démonstrations
−x + 2
1. Montrer que pour tout réel x ∈ R − {−2}, f (x) =
.
x +2
2. Démontrer rigoureusement toutes vos conjectures.
E XERCICE 20 (encore et encore)
2x − 5
.
3−x
1. Déterminer son ensemble de définition.
1
2. Démontrer que pour tout x 6= 3 on a f (x) =
− 2.
3−x
3. Soient a et b tels que 3 < a < b.
On s’intéresse à la fonction f telle que f (x) =
(a) Compléter successivement les encadrements successifs :
N. SANS
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Seconde
TD
...
...
...
<
...
...
a
−a
3−a
1
3−a
1
−2
3−a
f (a)
<
...
...
...
...
...
b
−b
3−b
1
3−b
1
−2
3−b
f (b)
(b) En déduire le sens de variation de f sur ]3; +∞[.
9.3.1 Problèmes
E XERCICE 21
ABC est un triangle, M est un point du segment [AB] et N est le point de [AC ] tel que (M N ) ∥ (BC ).
On donne AB = x, MB = 2 et M N = 4 et on suppose que x > 2.
1. Exprimer la longueur BC en fonction de x.
2. On appelle ℓ(x) la longueur BC .
8
.
(a) Montrer que ℓ(x) = 4 + x−2
(b) Démontrer que la fonction ℓ est décroissante sur ]2; +∞[.
3. Calculer x pour que BC = 5.
4. Peut-on avoir BC = 1000 ?
E XERCICE 22
Lors d’un branchement en parallèle (on dit aussi en dérivation) de deux résistances R1 et R2 , les physiciens savent
qu’une loi permet de remplacer ces deux résistances par une seule résistance R à condition qu’elle vérifie la relation :
1
1
1
+
=
R R1 R2
Dans cet exercice, les résistances sont exprimées en ohms, avec R1 = 2 et R2 = x.
1. Démontrer que R =
2x
x+2 .
2. On considère la fonction r définie sur [0; +∞[ par r (x) =
2x
x+2 .
4
(a) Montrer que r (x) = 2 − x+2
.
(b) Démontrer que r est croissante sur [0; +∞[.
(c) Démontrer que pour tout x positif on a 0 6 r (x) < 2.
(d) Dresser la tableau des variations de r .
3. Comment choisir R2 pour avoir R = 1, 5Ω.
E XERCICE 23 (moyenne harmonique)
Avec de la vitesse ...
1. Un cycliste grimpe une côte à la vitesse moyenne de 12 km.h−1 et il la redescend à 40 km.h−1 .
Quelle est sa vitesse moyenne sur cet aller - retour ?
2. On suppose qu’un même trajet est effectué à l’aller à une vitesse v 1 et au retour à une vitesse v 2 .
2
1
1
Démontrer que la vitesse moyenne v est donnée par la formule : =
+ . Cette vitesse moyenne v est appelée
v v1 v2
moyenne harmonique des nombres v 1 et v 2 .
E XERCICE 24 (pur math)
ax + 1
avec a et d des réels.
x +d
On sait que l’ensemble de définition de la fonction f est R − {−3} et que la représentation graphique de f passe par le
point A de coordonnées (2 ; 5).
B
puis étudier les variations de f .
Déterminer d puis a. Écrire f (x) sous forme A +
x +d
On considère la fonction f : x 7−→
E XERCICE 25 (Économie)
Un article coûte p euros ; il subit une variation de t % et il coûte alors p ′ euros.
Quelle variation (notée t ′ %) faut-il faire subir à p ′ pour retrouver le prix initial ? Comment t ′ varie-t-il en fonction de t ?
N. SANS
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