Étude non commutative de feuilletages

La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Étude non commutative de feuilletages
Marta Macho-Stadler
UPV/EHU
Institut Henri Poincaré, 29 mai 2010
Marta Macho-Stadler
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Índice
1
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
2
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
3
C*-algèbres: topologie non commutative
4
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
5
K-théorie: le retour à la topologie
6
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Marta Macho-Stadler
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
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Índice
1
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
2
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
3
C*-algèbres: topologie non commutative
4
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
5
K-théorie: le retour à la topologie
6
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le monde non commutatif
Schèma de fonctionnement
En mathématique non commutative:
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le monde non commutatif
Schèma de fonctionnement
En mathématique non commutative:
(i) étant donné un objet singulier G, on commence par obtenir
une desingularisation Ge décrivant G dans le sens à étudier
(mesurable, topologique, différentiable, ...). Souvent, Ge sera
un groupoı̈de et le quotient de l’espace des unités Ge par
l’action du groupoı̈de sera G;
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Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le monde non commutatif
Schèma de fonctionnement
En mathématique non commutative:
(i) étant donné un objet singulier G, on commence par obtenir
une desingularisation Ge décrivant G dans le sens à étudier
(mesurable, topologique, différentiable, ...). Souvent, Ge sera
un groupoı̈de et le quotient de l’espace des unités Ge par
l’action du groupoı̈de sera G;
(ii) Ge devrait avoir une bonne structure, pour définir une algèbre
e dont les propriétés reflètent celles de G;
de fonctions C ∗ (G)
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le monde non commutatif
Schèma de fonctionnement
En mathématique non commutative:
(i) étant donné un objet singulier G, on commence par obtenir
une desingularisation Ge décrivant G dans le sens à étudier
(mesurable, topologique, différentiable, ...). Souvent, Ge sera
un groupoı̈de et le quotient de l’espace des unités Ge par
l’action du groupoı̈de sera G;
(ii) Ge devrait avoir une bonne structure, pour définir une algèbre
e dont les propriétés reflètent celles de G;
de fonctions C ∗ (G)
e
(iii) on analyse alors l’anneau non commutatif C ∗ (G).
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C*-algèbres: topologie non commutative
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K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Un exemple d’espace singulier
L’action d’un groupe
Soit Γ un groupe topologique qui agit à droite sur l’espace
topologique X , α : X × Γ → X :
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Un exemple d’espace singulier
L’action d’un groupe
Soit Γ un groupe topologique qui agit à droite sur l’espace
topologique X , α : X × Γ → X :
(i) le quotient G = X /Γ est souvent un objet singulier. Sa
desingularisation naturelle est le groupoı̈de produit Ge = X × Γ
(d’espace d’unités X , applications α(x, γ) = xγ, β(x, γ) = x
et produit (x, γ 0 )(xγ 0 , γ) = (x, γ 0 γ)): le quotient de X par
l’action du groupoı̈de est G = X /Γ;
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Un exemple d’espace singulier
L’action d’un groupe
Soit Γ un groupe topologique qui agit à droite sur l’espace
topologique X , α : X × Γ → X :
(i) le quotient G = X /Γ est souvent un objet singulier. Sa
desingularisation naturelle est le groupoı̈de produit Ge = X × Γ
(d’espace d’unités X , applications α(x, γ) = xγ, β(x, γ) = x
et produit (x, γ 0 )(xγ 0 , γ) = (x, γ 0 γ)): le quotient de X par
l’action du groupoı̈de est G = X /Γ;
e = C0 (X ) ×α Γ est un
(ii) la C*-algèbre produit croisé C ∗ (G)
espace facile de calculer;
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Un exemple d’espace singulier
L’action d’un groupe
Soit Γ un groupe topologique qui agit à droite sur l’espace
topologique X , α : X × Γ → X :
(i) le quotient G = X /Γ est souvent un objet singulier. Sa
desingularisation naturelle est le groupoı̈de produit Ge = X × Γ
(d’espace d’unités X , applications α(x, γ) = xγ, β(x, γ) = x
et produit (x, γ 0 )(xγ 0 , γ) = (x, γ 0 γ)): le quotient de X par
l’action du groupoı̈de est G = X /Γ;
e = C0 (X ) ×α Γ est un
(ii) la C*-algèbre produit croisé C ∗ (G)
espace facile de calculer;
(iii) C0 (X ) ×α Γ représentera topologiquement X /Γ (en
K-théorie).
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Índice
1
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2
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3
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4
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5
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Un groupoı̈de topologique (de Lie) est
(i) un couple d’espaces localement compacts (variétés
différentiabes) (M = G 0 , G ), où M ⊂ G est l’espace des
unités (séparé) et G est l’espace total,
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Un groupoı̈de topologique (de Lie) est
(i) un couple d’espaces localement compacts (variétés
différentiabes) (M = G 0 , G ), où M ⊂ G est l’espace des
unités (séparé) et G est l’espace total,
(ii) deux applications surjectives et ouvertes (submersions), les
projections, α, β : G −→ M, l’origine et le but resp., où si
x ∈ M, α(x) = β(x) = x,
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Un groupoı̈de topologique (de Lie) est
(i) un couple d’espaces localement compacts (variétés
différentiabes) (M = G 0 , G ), où M ⊂ G est l’espace des
unités (séparé) et G est l’espace total,
(ii) deux applications surjectives et ouvertes (submersions), les
projections, α, β : G −→ M, l’origine et le but resp., où si
x ∈ M, α(x) = β(x) = x,
(iii) un homéomorphisme (difféomorphisme) i : G −→ G ,
l’inversion, vérifiant i = i −1 ,
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Un groupoı̈de topologique (de Lie) est
(i) un couple d’espaces localement compacts (variétés
différentiabes) (M = G 0 , G ), où M ⊂ G est l’espace des
unités (séparé) et G est l’espace total,
(ii) deux applications surjectives et ouvertes (submersions), les
projections, α, β : G −→ M, l’origine et le but resp., où si
x ∈ M, α(x) = β(x) = x,
(iii) un homéomorphisme (difféomorphisme) i : G −→ G ,
l’inversion, vérifiant i = i −1 ,
(iv) une loi de composition partielle continue (différentiable),
. : G 2 −→ G , la multiplication, où l’ensemble des couples
composables est G 2 = {(γ2 , γ1 ) ∈ G × G : α(γ2 ) = β(γ1 )},
que l’on note par γ2 .γ1 ,
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Groupoı̈des topologiques (de Lie)
et vérifiant:
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Groupoı̈des topologiques (de Lie)
et vérifiant:
(i) Associativité: si γ1 , γ2 , γ3 ∈ G sont telles que ((γ2 , γ1 ) ∈ G 2
et (γ3 , γ2 .γ1 ) ∈ G 2 ) ou ((γ3 , γ2 ) ∈ G 2 et (γ3 .γ2 , γ1 ) ∈ G 2 ),
alors on a les identités: γ3 .(γ2 .γ1 ) = (γ3 .γ2 ).γ1 ;
(ii) Unités: pour tout γ ∈ G , on a (γ, α(γ)) ∈ G 2 et
(β(γ), γ) ∈ G 2 , et alors γ.α(γ) = γ = β(γ).γ;
(iii) Inversion: pour chaque γ ∈ G , on a (γ, i(γ)) ∈ G 2 ,
(i(γ), γ) ∈ G 2 , et on a les identités: γ.i(γ) = β(γ),
i(γ).γ = α(γ).
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Groupoı̈des topologiques (de Lie)
et vérifiant:
(i) Associativité: si γ1 , γ2 , γ3 ∈ G sont telles que ((γ2 , γ1 ) ∈ G 2
et (γ3 , γ2 .γ1 ) ∈ G 2 ) ou ((γ3 , γ2 ) ∈ G 2 et (γ3 .γ2 , γ1 ) ∈ G 2 ),
alors on a les identités: γ3 .(γ2 .γ1 ) = (γ3 .γ2 ).γ1 ;
(ii) Unités: pour tout γ ∈ G , on a (γ, α(γ)) ∈ G 2 et
(β(γ), γ) ∈ G 2 , et alors γ.α(γ) = γ = β(γ).γ;
(iii) Inversion: pour chaque γ ∈ G , on a (γ, i(γ)) ∈ G 2 ,
(i(γ), γ) ∈ G 2 , et on a les identités: γ.i(γ) = β(γ),
i(γ).γ = α(γ).
On l’exprime par G
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α-
- M.
β
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Exemples de groupoı̈des topologiques (de Lie)
Un groupe
Si M est un point, le groupoı̈de est un groupe.
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Exemples de groupoı̈des topologiques (de Lie)
Un groupe
Si M est un point, le groupoı̈de est un groupe.
Le groupoı̈de d’homotopie d’une variété M
Soit P(M) l’ensemble des chemins sur M avec la topologie
compacte-ouverte (si (K , U) = {γ ∈ P(M) : γ(K ) ⊂ U},
σ = {(K , U) : K compact ⊂ [0, 1], U ouvert dans M} est une
sousbase).
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Exemples de groupoı̈des topologiques (de Lie)
Un groupe
Si M est un point, le groupoı̈de est un groupe.
Le groupoı̈de d’homotopie d’une variété M
Soit P(M) l’ensemble des chemins sur M avec la topologie
compacte-ouverte (si (K , U) = {γ ∈ P(M) : γ(K ) ⊂ U},
σ = {(K , U) : K compact ⊂ [0, 1], U ouvert dans M} est une
sousbase).
Sur P(M) on définit la relation d’équivalence ouverte: γ ∼ γ 0 si γ
est homotope à γ 0 avec extrémités fixes.
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Le groupoı̈de d’homotopie d’une variété M
Le quotient Π1 (M) = P(M)/ ∼, est un groupoı̈de localement
compact, d’espace d’unités M (classes des chemins constants),
α(γ) = γ(0), β(γ) = γ(1) et la multiplicaction et l’inversion
usuelles de chemins.
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Le groupoı̈de d’homotopie d’une variété M
Le quotient Π1 (M) = P(M)/ ∼, est un groupoı̈de localement
compact, d’espace d’unités M (classes des chemins constants),
α(γ) = γ(0), β(γ) = γ(1) et la multiplicaction et l’inversion
usuelles de chemins.
(α, β) : Π1 (M) −→ M × M est un revêtement: on a donc sur
Π1 (M) une structure de variété différentiable, compatible avec la
topologie quotient, qui fait de Π1 (M) un groupoı̈de de Lie, le
groupoı̈de fondamental de M. Pour x ∈ M, α : β −1 (x) −→ M est le
revêtement universel de M et
π1 (M, x) = {γ ∈ Π1 (M) : α(γ) = x = β(γ)}.
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Homomorphismes de groupoı̈des
Étant donnés deux groupoı̈des topologiques (de Lie) G1
G2
α1
- M1 et
β1
α2
- M2 , un homomorphisme de groupoı̈des de G1 dans G2 est
β2
une application continue (différentiable) f : G1 −→ G2 , telle que:
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Homomorphismes de groupoı̈des
Étant donnés deux groupoı̈des topologiques (de Lie) G1
G2
α1
- M1 et
β1
α2
- M2 , un homomorphisme de groupoı̈des de G1 dans G2 est
β2
une application continue (différentiable) f : G1 −→ G2 , telle que:
(i) si (γ2 , γ1 ) ∈ G12 , alors (f (γ2 ), f (γ1 )) ∈ G22 , et
(ii) dans ce cas, on a l’identité f (γ2 .γ1 ) = f (γ2 ).f (γ1 ).
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Homomorphismes de groupoı̈des
Étant donnés deux groupoı̈des topologiques (de Lie) G1
G2
α1
- M1 et
β1
α2
- M2 , un homomorphisme de groupoı̈des de G1 dans G2 est
β2
une application continue (différentiable) f : G1 −→ G2 , telle que:
(i) si (γ2 , γ1 ) ∈ G12 , alors (f (γ2 ), f (γ1 )) ∈ G22 , et
(ii) dans ce cas, on a l’identité f (γ2 .γ1 ) = f (γ2 ).f (γ1 ).
On a ainsi la catégorie des groupoı̈des topologiques (de Lie) et
homomorphismes entre eux.
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Mais,... il y a peu d’isomorphismes entre groupoı̈des
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Mais,... il y a peu d’isomorphismes entre groupoı̈des
Pour cette raison on introduit une autre notion d’équivalence (qui
passe bien aux C*-algèbres et en K-théorie): une équivalence de
Morita entre deux groupoı̈des de Lie G1 et G2 est la donnée de:
(i) une variété Zf non séparée, localement compacte et
différentiable, avec deux submersions r : Zf −→ M1 et
s : Zf −→ M2 ;
(ii) Zf est un G1 -espace principal à gauche et un G2 -espace
principal à droite;
(iii) les deux actions commutent;
(iv) r induit un homormorphisme entre Zf /G2 et M1 et s induit un
difféomorphisme entre G1 \Zf et M2 .
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Índice
1
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2
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
3
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4
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5
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6
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La categorie des C*-algèbres
Une C*-algèbre A est
une algèbre de Banach complexe de norme k·k avec une involution
(·∗ : A → A, tel que (a + b)∗ = a∗ + b ∗ , (λa)∗ = λa∗ ,
(ab)∗ = b ∗ a∗ et (a∗ )∗ = a pour a, b ∈ A et λ ∈ C, est une
isométrie), telle que si a ∈ A on a kaa∗ k = kak2 .
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La categorie des C*-algèbres
Une C*-algèbre A est
une algèbre de Banach complexe de norme k·k avec une involution
(·∗ : A → A, tel que (a + b)∗ = a∗ + b ∗ , (λa)∗ = λa∗ ,
(ab)∗ = b ∗ a∗ et (a∗ )∗ = a pour a, b ∈ A et λ ∈ C, est une
isométrie), telle que si a ∈ A on a kaa∗ k = kak2 .
*-morphismes
Une application φ : A → B entre C*-algèbres est un *-morphisme
si elle est linéaire, multiplicative et φ(a∗ ) = φ(a)∗ .
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Un contrexemple: *-algèbre de Banach qui n’est une C*-algèbre
On considère l’algèbre des fonctions continues C [−1, 1] avec la
norme kf k = sup |f (t)|. On définit l’involution f ∗ (t) = f (−t).
|t|≤1
C [−1, 1] est une *-algèbre de Banach, telle que kf ∗ k = kf k pour
tout f ∈ C [−1, 1].
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La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
La categorie des C*-algèbres
Un contrexemple: *-algèbre de Banach qui n’est une C*-algèbre
On considère l’algèbre des fonctions continues C [−1, 1] avec la
norme kf k = sup |f (t)|. On définit l’involution f ∗ (t) = f (−t).
|t|≤1
C [−1, 1] est une *-algèbre de Banach, telle que kf ∗ k = kf k pour
tout f ∈ C [−1, 1].
Mais elle n’est pas une C*-algèbre: l’application
n
0
f (t) = 0t sisi tt ≤
≥0
a norme 1 et f ∗ f = 0.
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
L’exemple basique: les opérateurs linéaires bornés
Soit H un espace de Hilbert et B(H) est l’ensemble des opérateurs
linéaires bornés de H (f ∈ B(H) ⇒ kf kop = sup kf (x)k est fini).
kxk≤1
Avec les opérations poctuelles (somme et produit de fonctions) et
l’adjonction usuelle comme involution, B(H) est une C*-algèbre.
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L’exemple basique: les opérateurs linéaires bornés
Soit H un espace de Hilbert et B(H) est l’ensemble des opérateurs
linéaires bornés de H (f ∈ B(H) ⇒ kf kop = sup kf (x)k est fini).
kxk≤1
Avec les opérations poctuelles (somme et produit de fonctions) et
l’adjonction usuelle comme involution, B(H) est une C*-algèbre.
L’algèbre des opérateurs compacts K(H) ⊂ B(H) (u ∈ K(H) si
u(boule unité) est relativement compact), est une C*-algèbre.
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L’exemple basique: les opérateurs linéaires bornés
Soit H un espace de Hilbert et B(H) est l’ensemble des opérateurs
linéaires bornés de H (f ∈ B(H) ⇒ kf kop = sup kf (x)k est fini).
kxk≤1
Avec les opérations poctuelles (somme et produit de fonctions) et
l’adjonction usuelle comme involution, B(H) est une C*-algèbre.
L’algèbre des opérateurs compacts K(H) ⊂ B(H) (u ∈ K(H) si
u(boule unité) est relativement compact), est une C*-algèbre.
Teorème de Gelfand-Naimark
Pour chaque C*-algèbre A, il existe un espace de Hilbert complexe
H et une isométrie (un *-monomorphisme) de A dans B(H).
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le cas commutatif
Si M est un espace localement compact, l’algèbre
C0 (M) = {f : M → C : ∀ > 0, ∃K compact ⊂ X
tel que |f (x)| < , si x 6∈ K },
avec l’involution f ∗ (x) = f (x), pour x ∈ M, est une C*-algèbre
commutative. C0 (M) est la complétion de Cc (M).
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Le cas commutatif
Si M est un espace localement compact, l’algèbre
C0 (M) = {f : M → C : ∀ > 0, ∃K compact ⊂ X
tel que |f (x)| < , si x 6∈ K },
avec l’involution f ∗ (x) = f (x), pour x ∈ M, est une C*-algèbre
commutative. C0 (M) est la complétion de Cc (M).
Théorème de Gelfand
Toute C*-algèbre commutative est de la forme C0 (M), pour un
certain espace localement compact et séparé M, c’est à dire, la
categorie des C*-algèbres commutatives et ∗-morphismes, est duale
de celle des espaces localement compacts et applications propres.
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Le changement des points par les fonctions
Monde commutatif
M ≡ C0 (M)
aplication propre (homéomor.)
ouvert dans M
point dans M
fermé dans M
compact dans M
compactification
CII
connexion
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Monde non commutatif
A C*-algèbre non commutative
morphisme (automorphisme)
idéal dans A
idéal maximal dans A
quotient dans A
unitaire de A
adjonction d’une unité
séparabilité
∃ idempotent non trivial
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K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le changement des points par les fonctions
Deux espaces topologiques X et Y (localement compacts et
séparés) sont homéomorphes ⇔ C0 (X ) et C0 (Y ) sont
*-isomorphes.
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Le changement des points par les fonctions
Deux espaces topologiques X et Y (localement compacts et
séparés) sont homéomorphes ⇔ C0 (X ) et C0 (Y ) sont
*-isomorphes.
Dans le cas d’un espace X non localement compact et/ou non
séparé, C0 (X ) est une algèbre trop petite pour contenir de
l’information sur X :
• si X = {1, 2, 3}, avec les topologies τ1 = X , ∅, {1, 2} et
τ2 = {X , ∅}, C0 (X , τ1 ) et C0 (X , τ2 ) sont *-isomorphes à C,
• il y a des exemples d’espaces séparés où toutes les applications
continues sont constantes.
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L’équivalence de Morita entre C*-algèbres
Deux C*-algèbres A et B sont Morita-équivalentes, s’il existe un
B-module de Hilbert plein E, tel que A est isomorphe à KB (E), i.e.
elles coı̈ncident modulo des matrices finies (comme C et M2 (C))
⇔ A ⊗ K ' B ⊗ K.
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L’équivalence de Morita entre C*-algèbres
Deux C*-algèbres A et B sont Morita-équivalentes, s’il existe un
B-module de Hilbert plein E, tel que A est isomorphe à KB (E), i.e.
elles coı̈ncident modulo des matrices finies (comme C et M2 (C))
⇔ A ⊗ K ' B ⊗ K.
C’est la bonne notion d’équivalence, car la K-théorie ne distingue
pas des C*-algèbres Morita-équivalentes.
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Índice
1
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
2
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
3
C*-algèbres: topologie non commutative
4
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
5
K-théorie: le retour à la topologie
6
Étude non commutative d’espaces feuilletés
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Sistèmes de Haar sur groupoı̈des
Comme une généralisation de la notion de mesure de Haar sur les
groupes (mesure invariante par l’action du groupe): étant donné G
un groupoı̈de localement compact, un sistème de Haar à gauche
est un ensemble de mesures {λu | u ∈ G 0 } tel que:
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Sistèmes de Haar sur groupoı̈des
Comme une généralisation de la notion de mesure de Haar sur les
groupes (mesure invariante par l’action du groupe): étant donné G
un groupoı̈de localement compact, un sistème de Haar à gauche
est un ensemble de mesures {λu | u ∈ G 0 } tel que:
(i) le support de la mesure λu est α−1 (u);
(ii) continuité: R∀f ∈ Cc (G ), λ(f ) : G 0 → C définie par
λ(f )(u) = fdλu est continue;
(iii) invariance à gauche: pour x ∈ G et f ∈ Cc (G )
Z
Z
f (x.y )dλα(x) (y ) = f (y )dλβ(x) (y )
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Sur Cc (G ), l’espace vectoriel complexe des fonctions complexes de
support compact sur G , on définit la convolution
Z
f ∗ g (x) = f (x.y )g i(y ) dλα(x) (y ),
et l’involution f ∗ (x) = f i(x) , qui font de Cc (G ) une *-álgebre.
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La C*-algèbre d’un groupoı̈de
Étant donné un espace de Hilbert H, pour chaque x, y ∈ H on a la
seminorme kukx,y = |hu(x), y i|. On définit sur B(H) la topologie
faible d’opérateurs, engendrée
par ces
seminormes
({An } → A ∈ B(H) ⇔ hAn (x), y i → hA(x), y i pour x, y ∈ H).
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Étant donné un espace de Hilbert H, pour chaque x, y ∈ H on a la
seminorme kukx,y = |hu(x), y i|. On définit sur B(H) la topologie
faible d’opérateurs, engendrée
par ces
seminormes
({An } → A ∈ B(H) ⇔ hAn (x), y i → hA(x), y i pour x, y ∈ H).
Si K ⊂ G est compact, on définit une seminorme sur Cc (G ) par
kf kK = supx∈K |f (x)| et la topologie limite inductive sur Cc (G )
(fn → f ⇔ kf − fn kK → 0 pour tout compact K ⊂ G ).
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La C*-algèbre d’un groupoı̈de
Étant donné G un groupoı̈de localement compact et séparé avec
un système de Haar à gauche {λu }, une représentation de Cc (G )
dans H est un *-morphisme continu π : Cc (G ) → B(H) tel que
l’espace engendré par l’image hπ(f )(x) | f ∈ Cc (G ), x ∈ Hi est
dense dans H.
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Étant donné G un groupoı̈de localement compact et séparé avec
un système de Haar à gauche {λu }, une représentation de Cc (G )
dans H est un *-morphisme continu π : Cc (G ) → B(H) tel que
l’espace engendré par l’image hπ(f )(x) | f ∈ Cc (G ), x ∈ Hi est
dense dans H.
Pour chaque u ∈ G 0 , on considère Hu = L2 α−1 (u), λu et la
représentation réduite πu : Cc (G ) → B(Hu )
Z
πu (f )(φ) (x) =
f x.y φ i(y ) dλu (y ),
β −1 (u)
où f ∈ Cc (G ), φ ∈ L2 α−1 (u), λu et x ∈ α−1 (u).
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La C*-algèbre réduite d’un groupoı̈de
La norme réduite est kf kred = sup{kπu (f )kop | u ∈ G 0 }. La
∗ (G ), est
complétion de Cc (G ) par rapport à la norme réduite, Cred
la C*-algèbre réduite de G .
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La C*-algèbre réduite d’un groupoı̈de
La norme réduite est kf kred = sup{kπu (f )kop | u ∈ G 0 }. La
∗ (G ), est
complétion de Cc (G ) par rapport à la norme réduite, Cred
la C*-algèbre réduite de G .
Invariance par équivalence de Morita
Si G1
α1
- M1 et G2
β
1
α2
- M2 sont des groupoı̈des
β2
∗ (G ) et C ∗ (G ) sont des
Morita-équivalentes, alors Cred
1
2
red
C*-algèbres Morita-équivalentes.
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Índice
1
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
2
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
3
C*-algèbres: topologie non commutative
4
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
5
K-théorie: le retour à la topologie
6
Étude non commutative d’espaces feuilletés
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
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C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le changement des points par les fonctions
En topologie commutative, les outils plus immédiats et puissants
son l’homologie et l’homotopie. Mais, ils n’ont pas de
généralisations claires non commutatives.
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Le changement des points par les fonctions
En topologie commutative, les outils plus immédiats et puissants
son l’homologie et l’homotopie. Mais, ils n’ont pas de
généralisations claires non commutatives.
K-théorie topologique d’Atiyah K 0 (M):
c’est le groupe de Grothendieck engendré par le semigroupe des
classes d’isomorphisme de fibrés vectoriels complexes sur M, qui
est un foncteur contravariant de la catégorie des espaces
localement compacts dans celle des groupes abéliens.
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K-théorie topologique
Si M est un espace localement compact, E est un fibré vectoriel
complexe sur M et Γ(M, E ) l’ensemble des sections continues de
E , alors:
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K-théorie topologique
Si M est un espace localement compact, E est un fibré vectoriel
complexe sur M et Γ(M, E ) l’ensemble des sections continues de
E , alors:
(i) Γ(M, E ) est un module sur l’anneau C (M);
(ii) si M est compact, alors Γ(M, E ) est un module projectif de
type fini.
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K-théorie topologique
Si M est un espace localement compact, E est un fibré vectoriel
complexe sur M et Γ(M, E ) l’ensemble des sections continues de
E , alors:
(i) Γ(M, E ) est un module sur l’anneau C (M);
(ii) si M est compact, alors Γ(M, E ) est un module projectif de
type fini.
Théorème de Swan
Γ es un foncteur covariant de la catégorie des fibrés vectoriels
complexes sur un espace localement compact et séparé M, dans la
catégorie des modules projectifs de type fini sur C (M), et on peut
même montrer que Γ est bijective.
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La K-théorie analytique
Étant donnée une C*-algèbre A (unitaire) et la *-algèbre (non
∞
[
complète) limite inductive M∞ (A) =
Mn (A), deux projecteurs
n=1
(p = p 2 = p ∗ ) p, q ∈ M∞ (A) sont équivalents, s’il existe
v ∈ M∞ (A), avec p = v ∗ v et q = vv ∗ . L’ensemble des classes
d’équivalence V(A) est un semigroupe abélien, avec la somme
p 0
[p] + [q] =
.
0 q
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La K-théorie analytique
Étant donnée une C*-algèbre A (unitaire) et la *-algèbre (non
∞
[
complète) limite inductive M∞ (A) =
Mn (A), deux projecteurs
n=1
(p = p 2 = p ∗ ) p, q ∈ M∞ (A) sont équivalents, s’il existe
v ∈ M∞ (A), avec p = v ∗ v et q = vv ∗ . L’ensemble des classes
d’équivalence V(A) est un semigroupe abélien, avec la somme
p 0
[p] + [q] =
.
0 q
K0 (A) est le groupe de Grothendieck de V(A): ses éléments sont
les différences formelles [p] − [q] avec [p], [q] ∈ V(A).
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Propriétés
(i) invariance par homotopie,
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Propriétés
(i) invariance par homotopie,
(ii) semiexactitude et scision,
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Propriétés
(i) invariance par homotopie,
(ii) semiexactitude et scision,
(iii) elle préserve la somme directe et les limites inductives,
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Propriétés
(i) invariance par homotopie,
(ii) semiexactitude et scision,
(iii) elle préserve la somme directe et les limites inductives,
(iv) stabilité: K0 (A) ' K0 (A ⊗ K) et donc si A y B sont
Morita-équivalentes, K0 (A) ' K0 (B).
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Propriétés
(i) invariance par homotopie,
(ii) semiexactitude et scision,
(iii) elle préserve la somme directe et les limites inductives,
(iv) stabilité: K0 (A) ' K0 (A ⊗ K) et donc si A y B sont
Morita-équivalentes, K0 (A) ' K0 (B).
Le théorème de Swan
Si M est un espace localement compact et séparé, on a un
isomorphisme naturel K0 (C0 (M)) ' K 0 (M).
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1
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2
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3
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4
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5
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C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Espace feuilleté (M, F)
M est une n-variété et F est
une décomposition de M en
p-sous-variétés plongées, qui
est localement un produit.
Marta Macho-Stadler
Étude non commutative de feuilletages
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Espace feuilleté (M, F)
• Transversale verte:
Comportement comme x → x/2 (x ≥ 0)
Feuilles rouges à holonomie non triviale
• Transversale jaune
Comportement comme l’identité
Feuilles bleues sans holonomie
Marta Macho-Stadler
Étude non commutative de feuilletages
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le goupoı̈de d’homotopie d’un feuilletage
Étant donné (M, F) un feuilletage de dimension p et codimension
q sur une variété M de dimension m = p + q.
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Étude non commutative de feuilletages
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le goupoı̈de d’homotopie d’un feuilletage
Étant donné (M, F) un feuilletage de dimension p et codimension
q sur une variété M de dimension m = p + q.
L’objet de notre étude est l’espace des feuilles M/F, qui est en
général un espace singulier, et qui sera remplacé par un groupoı̈de
adéquate.
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Étude non commutative de feuilletages
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le goupoı̈de d’homotopie d’un feuilletage
Étant donné (M, F) un feuilletage de dimension p et codimension
q sur une variété M de dimension m = p + q.
L’objet de notre étude est l’espace des feuilles M/F, qui est en
général un espace singulier, et qui sera remplacé par un groupoı̈de
adéquate.
Soit P(F) l’ensemble des chemins tangents à F, avec la topologie
compacte-ouverte. On définit la relation d’équivalence (ouverte):
γ ∼ γ 0 , si γ est homotope (à extrémités fixes) à γ 0 dans la feuille
qui les contient.
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C*-algèbres: topologie non commutative
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K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le groupoı̈de d’homotopie: structure topologique
Le quotient Π1 (F) = P(F)/ ∼, est un groupoı̈de localement
compact Π1 (F)
α-
- M: l’espace des unités est M (identifié avec
β
la classe des chemins constants), α(γ) = γ(0), β(γ) = γ(1) et la
multiplication et l’inversion du groupoı̈de sont induites par la
composition et l’inversion usuelle de chemins, respectivement: α,
β, i y . sont continues, α et β sont ouvertes et i est un
homéomorphisme.
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
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C*-algèbres: topologie non commutative
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K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le groupoı̈de d’homotopie: structure topologique
Le quotient Π1 (F) = P(F)/ ∼, est un groupoı̈de localement
compact Π1 (F)
α-
- M: l’espace des unités est M (identifié avec
β
la classe des chemins constants), α(γ) = γ(0), β(γ) = γ(1) et la
multiplication et l’inversion du groupoı̈de sont induites par la
composition et l’inversion usuelle de chemins, respectivement: α,
β, i y . sont continues, α et β sont ouvertes et i est un
homéomorphisme.
Si x ∈ M, β : α−1 (x) −→ Lx est le revêtement universel de la feuille
par x. Et {γ ∈ Π1 (F) : α(γ) = x = β(γ)} = π1 (Lx , x).
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C*-algèbres: topologie non commutative
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K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le groupoı̈de d’homotopie: structure différentiable
Si γ est un chemin tangent à F, on considère deux cubes
distingués Ui = Pi × Ti , où Ui est un voisinage de γ(i)
(i ∈ {0, 1}), Pi est une plaque et Ti est une transversale de F.
• Transversale verte:
Comportement comme x → x/2 (x ≥ 0)
Feuilles rouges à holonomie non triviale
• Transversale jaune
Comportement comme l’identité
Feuilles bleues sans holonomie
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Étude non commutative d’espaces feuilletés
Le groupoı̈de d’homotopie: structure différentiable
Si γ est un chemin tangent à F, on considère deux cubes
distingués Ui = Pi × Ti , où Ui est un voisinage de γ(i)
(i ∈ {0, 1}), Pi est une plaque et Ti est une transversale de F.
• Transversale verte:
Modulo possibles restrictions de T0 etComportement
T
trivialité
locale du
1 , lacomme
x → x/2 (x ≥ 0)
Feuilles rouges à holonomie non triviale
feuilletage permet de définir un difféomorphisme d’holonomie
Transversale jaune
hγ : T0 → T1 représenté par un tube Comportement
de• chemins
tangents à F,
comme l’identité
bleues
holonomie
ĥγ : T0 × [0, 1] → M, paramétré par Feuilles
T0 et
hγsansconsiste
à passer de
l’origine à l’extrémité de chacun de ces chemins.
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Le groupoı̈de d’homotopie: structure différentiable
ĥγ se prolonge à une famille différentiable de chemins tangents à
F, paramétrée par P0 × T0 × P1 , et qui induit un difféomorphisme
de U0 sur U1 .
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Le groupoı̈de d’homotopie: structure différentiable
ĥγ se prolonge à une famille différentiable de chemins tangents à
F, paramétrée par P0 × T0 × P1 , et qui induit un difféomorphisme
de U0 sur U1 .
En passant aux classes d’homotopie, on obtient une carte locale
sur Π1 (F). L’atlas ainsi construit définit sur Π1 (F) une structure
de variété différentiable de dimension 2p + q. Comme tous les
objets qui définissent la structure de groupoı̈de sur Π1 (F) sont
différentiables, Π1 (F)
α-
- M est un groupoı̈de de Lie, le
β
groupoı̈de d’homotopie du feuilletage. C’est la version feuilletée du
groupoı̈de fondamental d’une variété.
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Le groupoı̈de d’holonomie
Sur P(F), on définit une relation d’équivalence ouverte plus fine
que l’antérieure : γ∼h γ 0 si le germe d’holonomie du lacet (γ 0 )−1 .γ
est trivial.
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Le groupoı̈de d’holonomie
Sur P(F), on définit une relation d’équivalence ouverte plus fine
que l’antérieure : γ∼h γ 0 si le germe d’holonomie du lacet (γ 0 )−1 .γ
est trivial.
On obtient un groupoı̈de de Lie Hol(F) = P(F)/∼h
α-
- M (de
β
la même dimension), le groupoı̈de d’holonomie du feuilletage.
Ses fibres sont les revêtements d’holonomie des feuilles F: si
x ∈ M et h : π1 (Lx , x) → Diff (T0 , x) est la représentation
d’holonomie de la feuille Lx par x, α : β −1 (Hol(F)) −→ Lx est
l’application de revêtement correspondante au noyau de la
représentation d’holonomie.
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Le groupoı̈de d’holonomie
Il existe un homomorphisme surjectif de groupoı̈des de Lie
φ : Π1 (F) −→ Hol(F): au contraire que Π1 (F), Hol(F) oublie la
structure des feuilles et porte uniquement de l’information sur la
structure transverse de F: c’est la désingularisation naturelle de
M/F.
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Le groupoı̈de d’holonomie
Il existe un homomorphisme surjectif de groupoı̈des de Lie
φ : Π1 (F) −→ Hol(F): au contraire que Π1 (F), Hol(F) oublie la
structure des feuilles et porte uniquement de l’information sur la
structure transverse de F: c’est la désingularisation naturelle de
M/F.
L’étude de M/F est une étude de propriétés transverses du
feuilletage : si T est une transversale totale, le groupoı̈de
transverse en T est Hol(F)T
T = {γ ∈ Hol(F) : α(γ), β(γ) ∈ T } et
l’immersion naturelle de T dans M induit une équivalence de
Morita entre les groupoı̈des de Lie Hol(F) et Hol(F)T
T.
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La C*-algèbre d’un feuilletage
Le choix d’une métrique de Riemann sur M, définit une
décomposition orthogonale T (M) = ν(F) ⊕ T (F) du
fibré tangent.
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La C*-algèbre d’un feuilletage
Le choix d’une métrique de Riemann sur M, définit une
décomposition orthogonale T (M) = ν(F) ⊕ T (F) du
fibré tangent.
Étant donnée une forme pure ω, de type (0, p) sur M (p est la
dimension du feuilletage): si x ∈ M et Lx est la feuille par x, la
restriction ω|Lx = ωx est une forme volume sur Lx .
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La C*-algèbre d’un feuilletage
Comme α : β −1 (Hol(F)) −→ Lx est une application de revêtement,
on peut relever ωx en λx sur β −1 (Hol(F)). De façon globale, on
relève ω par α, en une forme volume λ = α∗ (ω) sur Hol(F), qui
définit un volume par restriction aux β-fibres.
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La C*-algèbre d’un feuilletage
Comme α : β −1 (Hol(F)) −→ Lx est une application de revêtement,
on peut relever ωx en λx sur β −1 (Hol(F)). De façon globale, on
relève ω par α, en une forme volume λ = α∗ (ω) sur Hol(F), qui
définit un volume par restriction aux β-fibres.
Ce volume est invariant par translations à gauche : Si
fZ ∈ Cc (β −1 (x)) et γ0 Z∈ α−1 (x), alors
f (γ)dλx (γ) =
f (γ0 .γ)dλβ(γ0 ) (γ):
β −1 (x)
β −1 (β(γ0 ))
{λx }x∈M est un système de Haar à gauche pour Hol(F) et on a
∗ (G ).
défini C ∗ (M, F) = Cred
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Propriétés
Elle est stable
C ∗ (M, F) ⊗ K ∼
= C ∗ (M, F).
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Propriétés
Elle est stable
C ∗ (M, F) ⊗ K ∼
= C ∗ (M, F).
Elle dépend uniquement de sa structure transverse
Si T est une transversale totale: C ∗ (M, F) ∼
= C ∗ (Hol(F)T ) ⊗ K.
T
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Propriétés
Elle est stable
C ∗ (M, F) ⊗ K ∼
= C ∗ (M, F).
Elle dépend uniquement de sa structure transverse
Si T est une transversale totale: C ∗ (M, F) ∼
= C ∗ (Hol(F)T ) ⊗ K.
T
Elle préserve les équivalences de feuilletages
Si (M1 , F1 ) et (M2 , F2 ) sont topologiquement équivalentes, alors,
C ∗ (M1 , F1 ) ⊗ K ∼
= C ∗ (M2 , F2 ) ⊗ K.
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Propriétés
Elle est stable
C ∗ (M, F) ⊗ K ∼
= C ∗ (M, F).
Elle dépend uniquement de sa structure transverse
Si T est une transversale totale: C ∗ (M, F) ∼
= C ∗ (Hol(F)T ) ⊗ K.
T
Elle préserve les équivalences de feuilletages
Si (M1 , F1 ) et (M2 , F2 ) sont topologiquement équivalentes, alors,
C ∗ (M1 , F1 ) ⊗ K ∼
= C ∗ (M2 , F2 ) ⊗ K.
Dans le cas d’un groupoı̈de séparé
C ∗ (M, F) est simple ⇔ le feuilletage est minimal.
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Exemples
Feuilletage par points
Si M est localement compact et il est feuilleté par points, alors
Hol(F) = M, C ∗ (M, F) = C0 (M) et K∗ (C ∗ (M, F)) ' K ∗ (M).
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Exemples
Feuilletage par points
Si M est localement compact et il est feuilleté par points, alors
Hol(F) = M, C ∗ (M, F) = C0 (M) et K∗ (C ∗ (M, F)) ' K ∗ (M).
Feuilletage par une feuille unique
Si M est localement compact et M est une variété feuilletée par
une feuille unique, alors Hol(F) = M × M. Un système de Haar
est tout simplement une mesure λ sur M, de support M:
C ∗ (M, F) = K(L2 (M, λ)) et K∗ (C ∗ (M, F)) ' K ∗ (∗) = C.
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Exemples
Fibrations
Étant donnée une fibration F p → M → B q (F connexe), M est
feuilletée par les images réciproques des points de B (c’est l’espace
des feuilles). Toutes les feuilles sont fermées et difféomorphes à F .
Hol(F) est le graphe de la relation d’équivalence correspondente à
la partition de M en feuilles,
C ∗ (M, F) ' C0 (B, K(L2 (F )) ' C0 (B) ⊗ K(L2 (F ))
et K∗ (C ∗ (M, F)) ' K ∗ (B).
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Le feuilletage linéaire sur le tore
Pour θ ∈ R, les courbes intégrales du champ de vecteurs
X = ∂x∂ 1 + θ ∂x∂ 2 , définissent un feuilletage Fθ sur le tore T2
(solutions de l’équation dy = θdx). Si θ ∈ Q, chaque feuille est un
cercle, et si θ ∈ I, chaque feuille est une droite dense dans le tore,
et le fuilletage induit est le feuilletage de Kronecker .
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Le feuilletage linéaire sur le tore
Pour θ ∈ R, les courbes intégrales du champ de vecteurs
X = ∂x∂ 1 + θ ∂x∂ 2 , définissent un feuilletage Fθ sur le tore T2
(solutions de l’équation dy = θdx). Si θ ∈ Q, chaque feuille est un
cercle, et si θ ∈ I, chaque feuille est une droite dense dans le tore,
et le fuilletage induit est le feuilletage de Kronecker .
L’espace des feuilles du feuilletage de Kronecker
Lθ = T2 /Fθ , est un espace topologique trivial, mais sa C*-algèbre
C ∗ (Lθ ) décrit les propriétés topologiques du feuilletage.
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Le feuilletage linéaire sur le tore
La C*-algèbre du feuilletage
C ∗ (Lθ ) est Morita-équivalente à Aθ , la C*-algèbre universelle
engendrée par les deux générateurs unitaires u et v , tels que
uv = e −2iπθ vu: c’est le tore non commutatif ou algèbre de
rotation irrationnelle.
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Le feuilletage linéaire sur le tore
La C*-algèbre du feuilletage
C ∗ (Lθ ) est Morita-équivalente à Aθ , la C*-algèbre universelle
engendrée par les deux générateurs unitaires u et v , tels que
uv = e −2iπθ vu: c’est le tore non commutatif ou algèbre de
rotation irrationnelle.
Aθ peut être décrite comme le produit croisé C (S1 ) ×α Z, où Z
agit sur C (S1 ) ' C ∗ (v ) par la rotation d’angle θ sur S1
(αn (f )(z) = f (e −2iπnθ z), pour z ∈ S1 ): c’est l’action sur la
transversale S1 .
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Le feuilletage linéaire sur le tore
La C*-algèbre du feuilletage
C ∗ (Lθ ) est Morita-équivalente à Aθ , la C*-algèbre universelle
engendrée par les deux générateurs unitaires u et v , tels que
uv = e −2iπθ vu: c’est le tore non commutatif ou algèbre de
rotation irrationnelle.
Aθ peut être décrite comme le produit croisé C (S1 ) ×α Z, où Z
agit sur C (S1 ) ' C ∗ (v ) par la rotation d’angle θ sur S1
(αn (f )(z) = f (e −2iπnθ z), pour z ∈ S1 ): c’est l’action sur la
transversale S1 .
La structure projective, c’est à dire, K0 (Aθ ), fournit un code pour
distinguer Aθ pour les différentes valeurs de θ.
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Notre travail 1: la conjecture de Baum-Connes
Étant donnée une variété feuilletée (M, F), un théorème de
Buffet-Lor montre qu’il existe un espace topologique BG (unique
modulo équivalences d’homotopie) et une fonction continue
i : BG −→ M/F, avec la propriété universelle suivante: pour tout X
et f : X −→ M/F, il existe g : X −→ BG définie modulo homotopie
telle que f = i ◦ g .
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Notre travail 1: la conjecture de Baum-Connes
Étant donnée une variété feuilletée (M, F), un théorème de
Buffet-Lor montre qu’il existe un espace topologique BG (unique
modulo équivalences d’homotopie) et une fonction continue
i : BG −→ M/F, avec la propriété universelle suivante: pour tout X
et f : X −→ M/F, il existe g : X −→ BG définie modulo homotopie
telle que f = i ◦ g .
On peut penser en BG (objet transverse) comme un espace
feuilleté (W , FW ), à feuilles contractiles dont les groupoı̈des
d’holonomie transverses sont localement isomorphes à Hol(F).
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Notre travail 1: la conjecture de Baum-Connes
Étant donnée une variété feuilletée (M, F), un théorème de
Buffet-Lor montre qu’il existe un espace topologique BG (unique
modulo équivalences d’homotopie) et une fonction continue
i : BG −→ M/F, avec la propriété universelle suivante: pour tout X
et f : X −→ M/F, il existe g : X −→ BG définie modulo homotopie
telle que f = i ◦ g .
On peut penser en BG (objet transverse) comme un espace
feuilleté (W , FW ), à feuilles contractiles dont les groupoı̈des
d’holonomie transverses sont localement isomorphes à Hol(F).
On définie la K-théorie géométrique Ktop (BG ).
Marta Macho-Stadler
Étude non commutative de feuilletages
La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Notre travail 1: la conjecture de Baum-Connes
Le théorème longitudinal de l’indice permet de construire
µ : Ktop (BG ) −→ K∗ (C ∗ (M, F)), et la conjecture de Baum-Connes
dit:
Étant donnée une variété feuilletée (M, F), l’application K-indice
µ : Ktop (BG ) −→ K∗ (C ∗ (M, F)) est un isomorphisme de groupes.
Marta Macho-Stadler
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Notre travail 1: la conjecture de Baum-Connes
Le théorème longitudinal de l’indice permet de construire
µ : Ktop (BG ) −→ K∗ (C ∗ (M, F)), et la conjecture de Baum-Connes
dit:
Étant donnée une variété feuilletée (M, F), l’application K-indice
µ : Ktop (BG ) −→ K∗ (C ∗ (M, F)) est un isomorphisme de groupes.
On a vérifié la conjecture dans certains exemples d’espaces
feuilletés.
Marta Macho-Stadler
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La mathématique non commutative, qu’est-ce que c’est?
Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Notre travail 2: étude d’espaces feuilletés
On étudie la dynamique topologique et mesurable d’espaces
feuilletés qui viennent d’espaces de graphes et mosaı̈ques.
Marta Macho-Stadler
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Groupoı̈des: desingularisation d’espaces d’orbites
C*-algèbres: topologie non commutative
La C*-algèbre d’un groupoı̈de
K-théorie: le retour à la topologie
Étude non commutative d’espaces feuilletés
Notre travail 2: étude d’espaces feuilletés
On étudie la dynamique topologique et mesurable d’espaces
feuilletés qui viennent d’espaces de graphes et mosaı̈ques.
L’étude des algèbres de Von-Neumann, les C*-algèbres et les
groupes de K-théorie (et de K-théorie ordonnée) associés aux
espaces de feuilles fournissent de l’informations sur cette
dynamique.
Marta Macho-Stadler
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Marta Macho-Stadler
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