BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1 BREVET BLANC de

BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1
Janvier 2008 - durée : 2 heures
Les calculatrices sont autorisées.
L’orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points.
Activités numériques (12 points)
Exercice 1
5
2 1
2
1. On donne : A = 1 −  +  et B =
1
3 4
1+
5
Calculer les nombres A et B. Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions
irréductibles.
3−
35
.
8
On appellera C le résultat donné sous forme de fraction irréductible.
2. Calculer les quatre cinquièmes de
3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier.
Exercice 2
En faisant apparaître les étapes, calculer
D=
(
2 × 10300 × 5 × 10−5
2 + 18
)
2
.
Donner l’écriture scientifique de D.
Exercice 3
On donne la fonction f définie par :
f (x) = ( 4 x + 1) − ( 3x − 2 )( 4 x + 1)
2
1. a) Développer et réduire f (x) . Démontrer que f (x) = 4x2 + 13x + 3.
b) La fonction f est elle une fonction affine ? Justifier.
2. Factoriser f (x) .
3. Résoudre l’équation ( 4 x + 1)( x + 3) = 0 .
4. Calculer l’image de –10 par la fonction f.
Exercice 4
Aujourd’hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.
Dans combien d’années l’âge de Pierre sera-t-il le double de l’âge de Marc.
Votre démarche sera bien détaillée sur la copie.
(aide : appeler x le nombre d’années cherché…).
Activités géométriques (12
(12 points)
A
Exercice 1
Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d’une piste rouge [BC].
On donne : BH = 50 m ; BK = 135 m ; CH = 200 m ; a
ABK = 26°.
1. Calcule la longueur AB de la piste noire.
Arrondis au décimètre.
2. Calcule la mesure de l’angle a
BCH que fait
la piste rouge avec l’horizontale.
Arrondis au degré.
C
B
26°
135 m
K
50 m
200 m
H
L
D
N
Exercice 2
On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm.
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.
1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N.
2. Calculer le sinus de l’angle a
DBN. Arrondir le résultat au millième.
3. En déduire la mesure de l’angle a
DBN arrondie au degré.
B
Exercice 3
La figure ci-dessous n’est pas à refaire sur la copie. Elle n’est pas donnée en vraie grandeur.
On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN = 4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.
Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D.
1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
2. Calculer AD. Justifier.
a ont la même mesure ? Justifier.
3. Pourquoi peut-on dire que les angles a
ABC et AMN
4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H.
5. Prouver que l’aire du triangle ABC est égale à 9 fois l’aire du triangle AMN. Bien expliquer.
Problème(12 points)
Au cours d’une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre 3 formules de
salaire :
FORMULE A: un salaire mensuel de 930 €.
FORMULE B: une somme mensuelle de 310 € à laquelle s’ajoutent 40 € par tonne de pêches cueillies.
FORMULE C: un salaire uniquement basé sur la cueillette : 80 € par tonne de pêches cueillies.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois
Salaire mensuel en euros avec la formule A
Salaire mensuel en euros avec la formule B
Salaire mensuel en euros avec la formule C
5
11
15
2. Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire
correspondant à chacune des formules.
3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :
f(x) = 930
g(x) = 40 x + 310
h(x) = 80 x
On prendra une page entière, en plaçant l’origine en bas à gauche.
Unités :
En abscisses : 1 cm pour une tonne de pêches
En ordonnées : 1 cm pour 100 €
4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 € en un mois. Lire graphiquement le
nombre de tonnes de pêches qu’il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.
b) Retrouver ce résultat par un calcul.
5. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même
salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.
b) Retrouver ce résultat par un calcul.
6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour
l’ouvrier.
BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n° 1
Janvier 2008 CORRECTION
CORRECTION
Activités numériques (12 points)
5
2
B=
1
1+
5
6 5
−
2
2
B=
5 1
+
5 5
1
6
B= ÷
2
5
1 5
B= ×
2 6
5
B=
12
Exercice 1
3−
1.
2
1 
A = 1 −  ×4 + ×3 
 3×4 4×3 
8 3
A = 1−  + 
 12 12 
11
A=1–
12
12 11
A=
–
12 12
1
A=
12
2. Calculer les quatre cinquièmes de
35
.
8
4 35
C= ×
5 8
4 × 5 ×7
C=
5 × 4 ×2
7
C=
2
3. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier.
1
5 7
A+B+C=
+ +
12 12 2
1
5 42
A+B+C=
+ +
12 12 12
48
A+B+C=
12
A+B+C= 4
A + B + C est donc bien un nombre entier !
Exercice 2
D=
(
2 × 10300 × 5 × 10−5
2 + 18
300
2 × 10 × 5 ×10 −10
D=
20
300 −10
10 × 10
D=
20
)
2
.
D = 0,5 × 10290
D = 5 × 10289
Exercice 3
1.
a) Développer et réduire f (x) . Démontrer que f (x) = 4x2 + 13x + 3.
f (x) = ( 4 x + 1) − ( 3x − 2 )( 4 x + 1)
2
(
f (x) = 16 x 2 + 8 x + 1 − 12 x 2 + 3 x − 8 x − 2
)
f (x) = 16 x 2 + 8 x + 1 − 12 x 2 − 3 x + 8 x + 2
f (x) = 4 x 2 + 13 x + 3
b) La fonction f est elle une fonction affine ? Justifier.
La fonction f n’est pas AFFINE puisqu’elle n’est pas de la forme
x ï ax + b.
2. Factoriser f (x) .
f (x) = ( 4 x + 1) − ( 3x − 2 )( 4 x + 1)
2
f (x) = ( 4 x + 1)  4 x + 1 − ( 3 x − 2 ) 
f (x) = ( 4 x + 1)  4 x + 1 − ( 3 x − 2 ) 
f (x) = ( 4 x + 1) [ 4 x + 1 − 3x + 2]
f (x) = ( 4 x + 1)( x + 3)
3. Résoudre l’équation ( 4 x + 1)( x + 3) = 0 .
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul, donc :
4x + 1 = 0
4x = – 1
x = – 0,25
ou
x+3=0
x=–3
Les solutions de l’équation sont – 0,25 et – 3
4. Calculer l’image de –10 par la fonction f.
f (– 10) = 4 × (– 10)2 + 13 × (– 10) + 3
f (– 10) = 4× 100 – 130 + 3
f (– 10) = 400 – 130 + 3
f (– 10) = 273
l’image de –10 par la fonction f est 273.
Exercice 4
Aujourd’hui Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.
Dans combien d’années l’âge de Pierre sera-t-il le double de l’âge de Marc.
J’appelle x le nombre d’années cherché
Actuellement Marc a 11 ans. Dans x années il aura 11 + x ans
Actuellement Pierre a 26 ans. Dans x années il aura 26 + x ans
L’âge de Pierre sera le double de celui de Marc si : 26 + x = 2 × (11 + x )
Je résous cette équation :
26 + x = 22 + 2 x
26 – 22 = 2x – x
4=x
Conclusion : dans 4 ans, l’âge de Pierre sera
le double de celui de Marc
Activités géométriques (12 points)
A
Exercice 1
Un skieur descend une piste noire [AB] suivie d’une piste rouge [BC].
On donne : BH = 50 m ; BK = 135 m ; CH = 200 m ; a
ABK = 26°.
1. Calcule la longueur AB de la piste noire.
Arrondis au décimètre.
Dans le triangle ABK rectangle en K :
BK
cos a
ABK =
AB
135
cos 26° =
AB
135
AB =
cos26°
AB ≈ 150,2 m
B
26°
135 m
K
50 m
C
200 m
H
L
2. Calcule la mesure de l’angle a
BCH que fait
la piste rouge avec l’horizontale.
Arrondis au degré.
Dans le triangle BCH rectangle en H :
BH
tan a
BCH =
CH
50
tan a
BCH =
200
a
BCH ≈ 14°
Exercice 2
D
On considère le triangle DNB tel que DN = 5 cm ; NB = 12 cm et BD = 13 cm.
1. Démontrer que ce triangle est rectangle en N.
N
Calculons d’une part : BD2 = 132 = 169
Calculons d’autre part : BN2 + ND2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
On a donc BD2 = BN2 + ND2
Donc le triangle DNB est rectangle en N d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
2. Calculer le sinus de l’angle a
DBN. Arrondir le résultat au millième.
Dans le triangle DNB rectangle en N :
DN
DBN =
sin a
BD
5
sin a
DBN =
13
sin a
DBN ≈ 0,385
B
3. En déduire la mesure de l’angle a
DBN arrondie au degré.
On a donc : a
DBN ≈ 23°
Exercice 3
On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN =
4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.
Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires
en D.
1. Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
AM 5 1
a. Calculons d’une part :
=
=
AB 15 3
AN 4 1
b. Calculons d’autre part :
=
=
AC 12 3
AM AN
=
AB AC
De plus, les points A,M,B et A,N,C sont alignés dans le même ordre.
On a donc
Donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.
2. Calculer AD. Justifier.
c. Les droites (BM) et (HD) sont sécantes en A.
d. Les droites (MD) et (BH) sont parallèles (puisque (MN) et (BC) le sont, et que D ∈
(MN) et H∈ (BC) )
Donc d’après le théorème de Thalès :
AM AD
=
AB AH
5 AD
=
15 7,5
AD = 5 × 7,5 ÷ 15
AD = 2,5 cm
a ont la même mesure ? Justifier.
3. Pourquoi peut-on dire que les angles a
ABC et AMN
a sont correspondants, et comme les droites (MN) et (BC) sont
Les angles a
ABC et AMN
parallèles, alors ces deux angles ont la même mesure (propriété de 5ème)
4. Prouver que le triangle AHB est rectangle en H.
e. Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires.
f. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires, donc AHB est rectangle en H.
5. Prouver que l’aire du triangle ABC est égale à 9 fois l’aire du triangle AMN. Bien expliquer.
Comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, on a une configuration de Thalès.
15
Le triangle ABC est donc un agrandissement du triangle AMN de coefficient k =
=3
5
Or dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k2.
Donc l’aire du triangle ABC est égale à 9 fois l’aire du triangle AMN
Problème(12 points)
1. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois
Salaire mensuel en euros avec la formule A
Salaire mensuel en euros avec la formule B
Salaire mensuel en euros avec la formule C
5
11
15
930
510
400
930
750
880
930
910
1200
2. Si on appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer en fonction de x le salaire
correspondant à chacune des formules.
Avec la formule A : le prix sera 930 €
Avec la formule B : le prix sera 40x + 310 €
Avec la formule C : le prix sera 80x €
3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal les fonctions définies par :
f(x) = 930
g(x) = 40 x + 310
h(x) = 80 x
4. a) Un ouvrier ayant choisi la formule B a gagné 490 € en un mois. Lire graphiquement le
nombre de tonnes de pêches qu’il a ramassé. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.
Graphiquement, je lis qu’il a ramassé 4,5 tonnes de pêches (voir les pointillés).
b) Retrouver ce résultat par un calcul.
Je résous l’équation 40 x + 310 = 490
40 x = 490 – 310
40 x = 180
180
x=
40
x = 4,5
il a ramassé 4,5 tonnes de pêches
5. a) Lire sur le graphique combien de tonnes de pêches faut-il ramasser pour obtenir le même
salaire avec les formules B et C. Faire apparaître des pointillés utiles à la lecture.
Graphiquement, je lis qu’il faut ramasser 7,7 tonnes de pêches (voir les pointillés).
b) Retrouver ce résultat par un calcul.
Je résous l’équation 40 x + 310 = 80 x
310 = 80 x – 40 x
310 = 40 x
310
x=
40
x = 7,75
il faut ramasser 7,75 tonnes de pêches
6. Donner, en fonction du nombre de tonnes de pêches cueillies, le tarif le plus intéressant pour
l’ouvrier.
Pour moins de 11,5 tonnes environ de pêches ramassées, c’est le tarif A le plus intéressant
(droite rouge) pour l’ouvrier.
Pour plus de 11,5 tonnes environ de pêches ramassées, le tarif C (droite verte) est le plus
intéressant.