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1.2. DIVISION EUCLIDIENNE, PGCD DE DEUX POLYN ˆ OMES 3
1.2 Division euclidienne, pgcd de deux polynˆomes
Un point important qui fait que l’anneau des polynˆomes `a une variable sur un corps K
est tr`es semblable `a Zest l’existence d’une division euclidienne.
Th´eor`eme 1.1 Soient Aet Bdeux polynˆomes de K[X], avec Bdi↵´erent du polynˆome nul.
Alors il existe des polynˆomes Q(quotient) et R(reste) tels que
A=BQ +Ravec deg R<deg Bou R=0.
De plus, le couple (Q, R)v´erifiant ces propri´et´es est unique.
Proposition 1.2 Le reste de la division euclidienne de Ppar Xcest P(c). En cons´equence,
un ´el´ement c2Kest racine de Psi et seulement si Pest divisible par Xc.
D´efinition 1.3 Si Aet Bsont deux polynˆomes de K[X], on dit que le polynˆome Dest un
plus grand commun diviseur (en abr´eg´e, pgcd) de Aet Bquand
1. Dest un diviseur commun de Aet B,
2. tout diviseur commun de Aet Bdivise D.
Autrement dit, l’ensemble des diviseurs de Dest ´egal `a celui des diviseurs communs de A
et B.
Ceci ne d´efinit pas le pgcd de mani`ere unique, mais `a un facteur constant non nul pr`es.
L’existence du pgcd est ´etablie, comme pour les entiers, par l’algorithme d’Euclide. Soient
Aet Bdeux polynˆomes. On pose
R0=AR
1=B
et, pour n1, tant que Rnest non nul, on d´efinit Rn+1 comme le reste de la division
euclidienne de Rn1par Rn:
Rn1=RnQn+Rn+1 avec deg(Rn+1)<deg(Rn) ou Rn+1 =0.
Comme la suite deg R1,deg R2,... est strictement d´ecroissante, l’algorithme s’arrˆete au
bout d’un nombre fini Nd’´etapes avec RN+1 = 0.
Th´eor`eme 1.4 Le polynˆome RNobtenu `a la fin de l’algorithme (c’est le dernier reste non
nul, si Aet Bsont di↵´erents de 0) est un pgcd de Aet B.
Si Aet Bsont tous les deux nuls, pgcd(A, B) = 0. Sinon, un pgcd est un polynˆome de
degr´e maximal parmi ceux qui divisent `a la fois Aet B; on peut rendre le pgcd unique en
demandant qu’il soit unitaire (c’est comme cela que le pgcd est quelquefois d´efini).
Comme pour les entiers, on a :
Th´eor`eme 1.5 Soient Aet Bdeux polynˆomes, Dun pgcd de Aet B. Il existe des polynˆomes
Uet Vtels que D=UA+VB.
D´efinition 1.6 Deux polynˆomes Aet Bsont dits premiers entre eux quand 1est pgcd de
Aet B, autrement dit si et seulement si les seuls diviseurs communs de Aet Bsont les
constantes non nulles.
Th´eor`eme 1.7 (Identit´e de Bezout) Deux polynˆomes Aet Bsont premiers entre eux si
et seulement s’il existe des polynˆomes Uet Vtels que UA+VB=1.
Corollaire 1.8 Soit Aun polynˆome premier avec chacun des polynˆomes B1,...,B
r.Alors
Aest premier avec le produit B1···Br.

4CHAPITRE 1. POLYN ˆ OMES
Th´eor`eme 1.9 (Lemme de Gauss) Soient A,Bet Cdes polynˆomes tels que Aet B
soient premiers entre eux et que Adivise le produit BC.AlorsAdivise C.
D´efinition 1.10 Un polynˆome Mest un plus petit commun multiple (ppcm) de deux po-
lynˆomes Aet Bsi et seulement si
1. Mest un multiple commun de Aet B,
2. tout multiple commun de Aet Best multiple de M.
Si Aou Best nul, le ppcm de Aet Best 0. Si Aet Bsont tous les deux non nuls, et si
Dest un pgcd de Aet B, alors AB/D est un ppcm de Aet B.
Th´eor`eme 1.11 Soient A1,...,A
rdes polynˆomes premiers entre eux deux `a deux (Aipre-
mier avec Ajsi i6=j). Si chaque Aidivise B,alorslaproduitA1···Ardivise B.
Dans les exercices on dira “le pgcd” ou “le ppcm”, et on notera pgcd(A, B) ou ppcm(A, B)
pour le pgcd ou le ppcm unitaire.
Exercice 1.8
E↵ectuer les divisions euclidiennes de
2X55X38Xpar X+3,
4X3+X2par X+1+i,
X52X4+3X34X2+5X5 par X2+X+1.
En d´eduire pgcd(X52X4+3X34X2+5X5,X2+X+ 1).
Exercice 1.9
Calculer le reste de la division dans R[X]de
1. (cos a+Xsin a)npar X2+ 1,
2. (X1)m+Xm1 par X2X+ 1 selon la valeur de mmodulo 6.
Exercice 1.10
Soit P(X)2R[X]etaet bdeux nombres r´eels distincts. Calculer le reste R(X) de la division
de P(X) par (Xa)(Xb) en fonction de P(a)etP(b).
Exercice 1.11
Soit P(X)=3X3+2X2+2 et Q(X)=X22.
1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour d´eterminer le pgcd Dde Pet Q.
2. En d´eduire deux polynˆomes Uet Vtels que UP +VQ=D.
Exercice 1.12
On note R[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels et deg Ple degr´e d’un polynˆome
Pde R[X]. Soit A(X)=X3+2X2X2etB(X)=X33X2.
1. Calculer Dle pgcd unitaire de Aet B.
2. Trouver deux polynˆomes U0et V0de R[X] v´erifiant AU0+BV0=Davec deg U0<
deg Bet deg V0<deg A.
3. Trouver le ppcm unitaire de Aet B.
Exercice 1.13
On consid`ere les polynˆomes A(X)=X5X4+2X3+1etB(X)=X5+X4+2X21.
D´eterminer leur pgcd Det ´ecrire Dsous la forme AU +BV .

1.2. DIVISION EUCLIDIENNE, PGCD DE DEUX POLYN ˆ OMES 5
Exercice 1.14
Soient aet bdeux entiers strictement positifs. Quel est le pgcd de Xa1etXb1?
Exercice 1.15
Soit D= pgcd(A, B)(o`uAet Bne sont pas nuls tous les deux), et soit (U, V )telsque
AU +BV =D. Quel est le pgcd de Uet V?
Exercice 1.16
Soient A(X)=(X1)2et B(X)=(X+ 1)2.
1. Calculer le pgcd unitaire Dde Aet B.
2. Trouver deux polynˆomes Uet Vde R[X] tels que UA+VB=D.
3. D´eduire une d´ecomposition en ´el´ements simples de 1
(X21)2.
Exercice 1.17
Soit Pet Qdans K[X] deux polynˆomes premiers entre eux. Montrer que, si met nsont des
entiers strictement positifs, Pmest premier avec Qn.
Exercice 1.18
Trouver un polynˆome Punitaire de degr´e 3, divisible par X1 et tel que les restes dans
la division de Ppar X2,X 3etX4 soient ´egaux.