Devoir libre n˚8

Devoir libre n˚8
MP Lyc´ee Cl´emenceau
Pour la semaine du 27 f´evrier 2017
In´egalit´es sur les d´eterminants de matrices sym´etriques
Dans ce probl`eme, on note pour nentier naturel non nul :
–Snl’ensemble des matrices sym´etriques de Mn(R),
–S+
nl’ensemble des matrices sym´etriques positives de Mn(IR) : c’est `a dire l’ensemble des matrices
sym´etriques Sv´erifiant, pour toute matrice X∈Mn,1(IR), tXSX ≥0.
–S++
nl’ensemble des matrices sym´etriques d´efinies positives de Mn(IR), c’est `a dire l’ensemble des matrices
sym´etriques Sv´erifiant, pour toute matrice X∈Mn,1(IR), tXSX > 0.
1) Questions pr´eliminaires
(a) D´emontrer qu’une matrice Sde Snest ´el´ement de S+
n, resp. de S++ nsi et seulement si toutes les
valeurs propres de Ssont positives, resp strictement positives.
(b) Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. On consid`ere B= (ei)i∈[[ 1,n ]] une base de E. Soit ϕun
produit scalaire d´efini sur E. On appelle matrice de ϕdans la base Bla matrice S∈S++(IR) telle
que, pour tout (x, y)∈E2, si on note Xet Yles vecteurs colonnes des coordonn´ees de xet ydans la
base B,ϕ(x, y) = tXSY .
Donner les coefficients de S`a l’aide des ´el´ements de la base B.
(c) Soit nun entier non nul. D´emontrer que, si x1,x2, . . . , xnsont nr´eels positifs, 1
n
n
X
i=1
xi≥ n
Y
i=1
xi!
1
n
.
Partie I
2) Soit S∈S+
n. D´emontrer que n
√det S≤1
ntrace S.
3) Application : soit M∈Mn(IR).
(a) D´emontrer que tM M ∈S+
n.
(b) Si M= (mi,j ), en d´eduire l’in´egalit´e (det(M))2≤1
nn
n
X
i=i
n
X
j=1
m2
i,j 
n
.
Partie II :Th´eor`eme de r´eduction simultan´ee
4) On se donne deux matrices A∈S++
net B∈Sn. On note Bla base canonique de IRnet, dans cette base, A
est la matrice d’un produit scalaire ϕ. On note l’espace euclidien E= (IRn, ϕ). Soit B0une base orthonorm´ee
de Eet Rla matrice de passage de la base Bvers la base B0.
(a) Justifier que In=tRAR.
(b) On note C=tRBR, justifier qu’il existe une matrice orthogonale Qet une matrice diagonale Dtelles
que tQCQ =D.
(c) D´eterminer, en fonction des matrices Ret Q, une matrice inversible Ptelle que :
A=tP P et B=tP DP (th´eor`eme de r´eduction simultan´ee).
(d) Dans cette question, on prend l’exemple de la matrice B=1 1
1 1.
D´emontrer qu’une matrice inversible Ptelle que la matrice tP BP soit diagonale n’est pas n´ecessairement
une matrice orthogonale.
On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associ´ee `a la matrice B.
1

5) D´emontrer l’in´egalit´e det (A+B)≥det A+ det Bdans les deux cas suivants :
(a) A∈S++
net B∈S+ n, en utilisant le th´eor`eme de r´eduction simultan´ee. On pourra remarquer ici que,
avec tous les λi≥0,
n
Q
i=1
(1 + λi)≥1 +
n
Q
i=1
λi.
(b) A∈S+
net B∈S+ n, en d´emontrant d’abord que A+B∈S+ net en consid´erant les cas o`u les matrices
sont dans S+
nsans ˆetre dans S++ n.
6) Soient Aet Bdeux matrices de S++
net t∈[0,1]. On note Pune matrice inversible et
D=diag (λ1, λ2, . . . , λn) une matrice diagonale dans le th´eor`eme de r´eduction simultan´ee.
(a) Exprimer det (tA + (1 −t)B) en fonction de det P,tet les λi.
(b) En utilisant la fonction ln, d´emontrer que, pour tout ientier compris entre 1 et n,
t+ (1 −t)λi≥λ1−t
i.
(c) D´emontrer que det (tA + (1 −t)B)≥(det A)t(det B)1−t.
7) Si Aest une matrice de S++
net Bune matrice de S+ n, on d´emontre de mˆeme par le th´eor`eme de r´eduction
simultan´ee (par la convexit´e de la fonction x7→ ln (1 + ex)) le r´esultat suivant qui est admis :
(det (A+B))
1
n≥(det A)
1
n+ (det B)
1
n.
(a) D´emontrer que S++
nest dense dans S+ n.
(b) D´emontrer l’in´egalit´e ci-dessus pour Aet Bdeux matrices de S+
n.
Partie III :Th´eor`eme de Choleski
8) Si Aest une matrice de S++
n, il est possible, par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt, de trou-
ver une matrice triangulaire sup´erieure inversible `a coefficients diagonaux positifs T, v´erifiant A=tT T
(d´ecomposition de Choleski).
On ne demande pas de prouver ce r´esultat dans le sujet initial, mais vous pouvez en proposer une preuve.
(a) On se propose de d´emontrer que cette matrice Test unique.
Si on pose A=tT1T1=tT2T2, d´emontrer que T1T−1
2=Inet conclure.
On pourra admettre que, si Test l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures inversibles de
Mn(IR), (T,·) est un groupe.
(b) Exemple : si A= (ai,j ), o`u pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n,
ai,j = min (i, j), donner la d´ecomposition de Choleski de la matrice A.
On ne demande pas de v´erifier que Aest une matrice de S++
n.
9) Un peu d’informatique
Pour une matrice Ade S++
3, ´ecrire un algorithme en fran¸cais permettant de trouver la matrice Tde la
d´ecomposition de Choleski.
Entrer cet algorithme en langage Python puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice T:
A1=
49 14 −14
14 20 −8
−14 −8 21 
, A2=
1 0 1
2
01
20
1
203 4
A3=
1 0 −2
0 1 −1
−2−1 6 
et A4=
1 2 3
2 20 26
3 26 70
.
10) In´egalit´e d’Hadamard
(a) Soit S= (si,j )∈S++
n, d´emontrer que det S≤
n
Y
i=1
si,i.
(b) Application : d´emontrer que, pour toute matrice M∈Mn(IR), M= (ai,j ),
|det M| ≤ n
Y
i=1 n
X
k=1
a2
k,i!!
1
2
.
Fin du probl`eme
F F
F
2