Devoir libre n˚8

Devoir libre n˚8
MP Lycée Clémenceau
Pour la semaine du 27 février 2017
Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques
Dans ce problème, on note pour n entier naturel non nul :
– Sn l’ensemble des matrices symétriques de Mn (R),
– Sn+ l’ensemble des matrices symétriques positives de Mn (IR) : c’est à dire l’ensemble des matrices
symétriques S vérifiant, pour toute matrice X ∈ Mn,1 (IR), t XSX ≥ 0.
– Sn++ l’ensemble des matrices symétriques définies positives de Mn (IR), c’est à dire l’ensemble des matrices
symétriques S vérifiant, pour toute matrice X ∈ Mn,1 (IR), t XSX > 0.
1) Questions préliminaires
(a) Démontrer qu’une matrice S de Sn est élément de Sn+ , resp. de Sn++ si et seulement si toutes les
valeurs propres de S sont positives, resp strictement positives.
(b) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On considère B = (ei )i∈[[ 1,n ]] une base de E. Soit ϕ un
produit scalaire défini sur E. On appelle matrice de ϕ dans la base B la matrice S ∈ S ++ (IR) telle
que, pour tout (x, y) ∈ E 2 , si on note X et Y les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y dans la
base B, ϕ(x, y) = t XSY .
Donner les coefficients de S à l’aide des éléments de la base B.
! n1
n
n
Y
1X
xi ≥
xi
.
(c) Soit n un entier non nul. Démontrer que, si x1 , x2 , . . . , xn sont n réels positifs,
n i=1
i=1
Partie I
2) Soit S ∈ Sn+ . Démontrer que
√
n
1
det S ≤ trace S.
n
3) Application : soit M ∈ Mn (IR).
(a) Démontrer que t M M ∈ Sn+ .

n
n X
n X
n
1
2

(b) Si M = (mi,j ), en déduire l’inégalité (det(M )) ≤
m2i,j  .
n
i=i j=1
Partie II : Théorème de réduction simultanée
4) On se donne deux matrices A ∈ Sn++ et B ∈ Sn . On note B la base canonique de IRn et, dans cette base, A
est la matrice d’un produit scalaire ϕ. On note l’espace euclidien E = (IRn , ϕ). Soit B 0 une base orthonormée
de E et R la matrice de passage de la base B vers la base B 0 .
(a) Justifier que In = t RAR.
(b) On note C = t RBR, justifier qu’il existe une matrice orthogonale Q et une matrice diagonale D telles
que t QCQ = D.
(c) Déterminer, en fonction des matrices R et Q, une matrice inversible P telle que :
A = tP P
et
B = t P DP
(théorème de réduction simultanée).
1 1
(d) Dans cette question, on prend l’exemple de la matrice B =
.
1 1
Démontrer qu’une matrice inversible P telle que la matrice t P BP soit diagonale n’est pas nécessairement
une matrice orthogonale.
On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice B.
1
5) Démontrer l’inégalité
(a) A ∈
Sn++
et B ∈
det (A + B) ≥ det A + det B
dans les deux cas suivants :
Sn+ , en
n
Q
utilisant le théorèmede réduction simultanée. On pourra remarquer ici que,
n
Q
(1 + λi ) ≥ 1 +
λi .
avec tous les λi ≥ 0,
i=1
i=1
(b) A ∈ Sn+ et B ∈ Sn+ , en démontrant d’abord que A + B ∈ Sn+ et en considérant les cas où les matrices
sont dans Sn+ sans être dans Sn++ .
6) Soient A et B deux matrices de Sn++ et t ∈ [0, 1]. On note P une matrice inversible et
D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) une matrice diagonale dans le théorème de réduction simultanée.
(a) Exprimer det (tA + (1 − t) B) en fonction de det P , t et les λi .
(b) En utilisant la fonction ln, démontrer que, pour tout i entier compris entre 1 et n,
t + (1 − t) λi ≥ λ1−t
.
i
t
1−t
(c) Démontrer que det (tA + (1 − t) B) ≥ (det A) (det B)
.
7) Si A est une matrice de Sn++ et B une matrice de Sn+ , on démontre de même par le théorème de réduction
simultanée (par la convexité de la fonction x 7→ ln (1 + ex )) le résultat suivant qui est admis :
1
1
1
(det (A + B)) n ≥ (det A) n + (det B) n .
(a) Démontrer que Sn++ est dense dans Sn+ .
(b) Démontrer l’inégalité ci-dessus pour A et B deux matrices de Sn+ .
Partie III : Théorème de Choleski
8) Si A est une matrice de Sn++ , il est possible, par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt, de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible à coefficients diagonaux positifs T , vérifiant A = t T T
(décomposition de Choleski).
On ne demande pas de prouver ce résultat dans le sujet initial, mais vous pouvez en proposer une preuve.
(a) On se propose de démontrer que cette matrice T est unique.
Si on pose A = t T1 T1 = t T2 T2 , démontrer que T1 T2−1 = In et conclure.
On pourra admettre que, si T est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles de
Mn (IR), (T , ·) est un groupe.
(b) Exemple : si A = (ai,j ), où pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n,
ai,j = min (i, j), donner la décomposition de Choleski de la matrice A.
On ne demande pas de vérifier que A est une matrice de Sn++ .
9) Un peu d’informatique
Pour une matrice A de S3++ , écrire un algorithme en français permettant de trouver la matrice T de la
décomposition de Choleski.
Entrer cet algorithme en langage Python puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice T :




1 0 12
49
14 −14
20 −8  , A2 =  0 12 0 
A1 =  14
1
−14 −8 21
0 34


2

1
0 −2
1 2 3
1 −1 et A4 = 2 20 26 .
A3 =  0
−2 −1 6
3 26 70
10) Inégalité d’Hadamard
(a) Soit S = (si,j ) ∈ Sn++ , démontrer que det S ≤
n
Y
si,i .
i=1
(b) Application : démontrer que, pour toute matrice M ∈ Mn (IR), M = (ai,j ),
!! 12
n
n
Y
X
2
|det M | ≤
ak,i
.
i=1
k=1
Fin du problème
F F
F
2