Correction au format pdf - XMaths

CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 14
1°) a) À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M', d'affixe z' = i z .
z-i
i
z
2
On a donc
M = M' ⇔ z =
⇔ z(z - i) = iz ⇔ z - iz = iz ⇔ z2 - 2iz = 0
z-i
⇔ z(z - 2i) = 0 ⇔ z = 0 ou z = 2i
Les points M tels que M = M' sont les points O d'affixe 0 et R d'affixe 2i .
b) B ayant pour affixe 1, B' aura pour affixe z' =
i =
i(1 + i)
=i-1
1 - i (1 - i)(1 + i)
2
B' a pour affixe - 1 + 1 i .
2 2
⇔
2 = iz
⇔ 2z - 2i = iz ⇔ 2z - iz = 2i
z-i
⇔ z = 2i
⇔ z = 2i(2 + i)
⇔ z = 4i - 2
2-i
(2 - i)(2 + i)
4+1
⇔
C' a pour affixe 2
z(2 - i) = 2i
⇔
z=-2+4i
5 5
Le point C dont le point associé C' a pour affixe 2 est le point d'affixe - 2 + 4 i .
5 5
2°) a) On a z' = i z
z-i
ix - y
x' + iy' = i(x + iy) ⇔ x' + iy' =
x + iy - i
x + i(y - 1)
2
⇔ x' + iy' = (ix - y) [x - i(y - 1)]
⇔ x' + iy' = ix +x(y - 1) - xy + iy(y - 1)
[x + i(y - 1)][x -i(y - 1)]
x2 + (y - 1)2
2
2
2
2
-x
⇔ x' + iy' = - x + i(x + y - y) ⇔ x' + iy' =
+i x +y -y
2
2
2
2
2
x + (y - 1)
x + (y - 1)2
x + (y - 1)
x, x', y, y' sont des réels, et on sait que deux nombres complexes égaux ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
On en déduit
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⇔
x' =
-x
et
x2 + (y - 1)2
2
2
y' = x + y - y .
x2 + (y - 1)2
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1/2
2
2
2
2°) b) z' réel ⇔ y' = 0 ⇔ x2 + y2 - y = 0 ⇔ x2 + y - 1 - 1 = 0 ⇔ x2 + y - 1 = 1
2
4
2


2
L'ensemble Γ est donc le cercle de centre Ω d'affixe 1 i et de rayon 1 , privé du point A .
2
2
c)
A
Γ
C
B'
Ω
B
C'
3°) a) Pour z ≠ i, on peut écrire
2
z' - i = i z - i = iz - iz + i = -1
z-i
z-i
z-i
Donc
z' - i = -1 .
z-i
b) Si M, d'affixe z, appartient au cercle γ de centre A et de rayon 1, on a : AM = 1, c'est-à-dire |z - i| = 1
On en déduit alors :
|z' - i| =
-1 = |- 1| = 1 = 1 = 1
z-i
|z - i| |z - i| 1
On a donc |z' - i| = 1 c'est-à-dire AM' = 1, donc M' est sur le cercle γ de centre A et de rayon 1.
Si M appartient au cercle γ de centre A et de rayon 1, M' appartient aussi à γ .
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