Correction au format pdf - XMaths

http://xmaths.free.fr/ TS - Révisions - Exercice supplémentaire n°14 - Corrigé 1 / 2
CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 14
1°) a) À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M', d'affixe z' = i
z
z - i .
On a donc M = M' ⇔ z = i
z
z - i ⇔ z(z - i) = iz ⇔ z
2
- iz = iz ⇔ z
2
- 2iz = 0
⇔ z(z - 2i) = 0 ⇔ z = 0 ou z = 2i
Les points M tels que M = M' sont les points O d'affixe 0 et R d'affixe 2i .
b) B ayant pour affixe 1, B' aura pour affixe z' = i
1 - i = i(1 + i) (1 - i)(1 + i) = i - 1 2
B' a pour affixe - 1
2 + 1 2 i .
C' a pour affixe 2 ⇔ 2 = i
z
z - i ⇔ 2z - 2i = iz ⇔ 2z - iz = 2i
⇔ z(2 - i) = 2i ⇔ z = 2i
2 - i ⇔ z = 2i(2 + i) (2 - i)(2 + i) ⇔ z = 4i - 2 4 + 1 ⇔ z = - 2 5 + 4 5 i
Le point C dont le point associé C' a pour affixe 2 est le point d'affixe - 2
5 + 4 5 i .
2°) a) On a z' = i
z
z - i ⇔ x' + iy' = i(x + iy) x + iy - i ⇔ x' + iy' = ix - y x + i(y - 1)
⇔ x' + iy' = (ix - y) [x - i(y - 1)]
[x + i(y - 1)][x -i(y - 1)] ⇔ x' + iy' = ix
2
+x(y - 1) - xy + iy(y - 1)
x
2
+ (y - 1)
2
⇔ x' + iy' = - x + i(x
2
+ y
2
- y)
x
2
+ (y - 1)
2
⇔ x' + iy' = -x
x
2
+ (y - 1)
2
+ i x
2
+ y
2
- y
x
2
+ (y - 1)
2
x, x', y, y' sont des réels, et on sait que deux nombres complexes égaux ont la même partie réelle et la
même partie imaginaire.
On en déduit x' = -x
x
2
+ (y - 1)
2
et y' = x
2
+ y
2
- y
x
2
+ (y - 1)
2
.

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2°) b) z' réel ⇔ y' = 0 ⇔ x
2
+ y
2
- y = 0 ⇔ x
2
+ y - 1
2
2
- 1
4 = 0 ⇔ x
2
+ y - 1
2
2
=
1
2
2
L'ensemble Γ est donc le cercle de centre Ω d'affixe 1
2 i et de rayon 1
2 , privé du point A .
c)
3°) a) Pour z ≠ i, on peut écrire
z' - i = i
z
z - i - i = iz - iz + i
2
z - i = -1 z - i
Donc z' - i = -1
z - i .
b) Si M, d'affixe z, appartient au cercle γ de centre A et de rayon 1, on a : AM = 1, c'est-à-dire |z - i| = 1
On en déduit alors :
|z' - i| = -1
z - i = |- 1| |z - i| = 1 |z - i| = 1 1 = 1
On a donc |z' - i| = 1 c'est-à-dire AM' = 1, donc M' est sur le cercle γ de centre A et de rayon 1.
Si M appartient au cercle γ de centre A et de rayon 1, M' appartient aussi à γ .
B
C'
A
Ω
B'
C
Γ