TD: Fusée: rôle de l`atmosph`ere

TD: Fusée: rôle de l’atmosphère
1 Position du problème
-
à l'instant t
On étudie une fusée dont les caractéristiques sont les suivantes:
v
/R
masse initiale: 13 tonnes
masse finale: 4,5 tonnes
m
durée de combustion: 63 s
vitesse d’éjection des gaz: 1 800 m.s−1
rayon maximal: 40 cm
coefficient de traı̂née: Cx = 0,35
accélération de la pesanteur: g = 9,81 m.s−2 que l’on supposera indépendante de l’altitude.
En outre, les caractéristiques de l’air sont supposées être les suivantes:
masse volumique au sol: 1,3 kg.m−3
température au sol: 20 ◦ C
atmosphère en équilibre adiabatique avec γ = 1,4
à l'instant t + dt
v +dv
/R
/R
m – dm
dm
u /fusée
1. Étude de la fusée dans le vide.
Écrire la loi de la quantité de mouvement pour la fusée, entre les instants t et t + dt, sachant que les gaz
éjectés ont la vitesse u par rapport à la fusée; cette éjection ayant, bien évidemment, lieu vers le bas ! On
supposera le mouvement vertical et l’on notera a le débit du gaz (a = | dm
dt |).
2. En déduire la poussée et l’accélération initiale (en tenant compte de la pesanteur). Intégrer cette équation
et en déduire la vitesse, puis l’altitude (on n’oubliera pas que la masse de la fusée diminue, par suite de la
combustion de ses propergols, et l’on supposera cette combustion parfaitement régulière).
On déterminera en particulier la vitesse et l’altitude en fin de combustion.
3. La fusée continue son vol. Quelle est l’altitude finale ?
4. Équilibre adiabatique de l’atmosphère.
Écrire l’équation d’équilibre hydrostatique d’un fluide de masse volumique ρ sous l’action de son poids et
des forces de pression.
On suppose que ce fluide est un gaz parfait, de pression P , et que la température lui est liée selon l’équation
des adiabatiques réversibles. Expliciter l’équation précédente et l’intégrer.
À partir de quelle altitude cesse-t-elle d’être valable ? On supposera la pression atmosphérique nulle au
delà.
5. Freinage de la fusée dû à l’atmosphère.
On admet que la force de freinage est F = Cx .ρ.S.v 2 , v étant la vitesse de la fusée, ρ la masse volumique
de l’air, S la section de la fusée au maı̂tre-couple . Écrire la fonction dv
dt = f (z, v, t), puis le programme
permettant de tracer z(t) et v(t). Comparer ces résultats au cas de la fusée tirée dans le vide. Commenter.
Solution
1. Système: la masse m (située à l’instant t dans la fusée; à l’instant t + dt: dans la fusée et les gaz éjectés).
Référentiel: lié au sol (considéré comme galiléen !).
Bilan: poids.
→
−
→
−
p
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit d~
= P ⇒ p~(t + dt) − p~(t) = P .dt
−
→
−
→dt
avec p~(t + dt) = (m − dm).(~v + dv) + dm.(~v + dv + ~ugaz/f usée ) et p~(t) = m.~v .
En projetant selon la verticale montante, on a:
dp = (m − dm).(v + dv) + dm.(v + dv − ugaz/f usée ) − m.v = m.dv − dm.ugaz/f usée = −m.g.dt
maı̂tre-couple: aire de la projection d’un solide sur un plan perpendiculaire à la direction de la vitesse
relative qu’il possède par rapport à un fluide dans lequel il est immergé.
1
ISEN-Brest. Kany.
TD: Fusée: rôle de l’atmosphère
−m.g
a.u
gaz/f usée
dm
dv
⇒ m. dv
dt = dt .ugaz/f usée − m.g ⇒ dt =
m
avec m = mi − a.t est la masse variable de la fusée (mi est sa masse initiale).
2. a. La poussée de la fusée est: a.ugaz/f usée .
R
mi −a.t
−
g.t
+
cte
=
−u
.
ln
− g.t
En intégrant l’accélération, on a: v = a.ugaz/f usée . midt
gaz/f
usée
−a.t
mi
i
⇒ v = ugaz/f usée . ln mim−a.t
− g.t
R
1
2
En intégrant la vitesse, on a: z = ugaz/f usée . ln(m
i ).t − 2m.g.t − ugaz/f usée . ln(mi − a.t).dt.
du = dt
u = t − ai
On intègre par parties:
⇒
a
.dt
dv = − mi −a.t
v = ln(mi − a.t) R
R
mi
mi −a.t
ln(mi − a.t).dt = (t − a ). ln(mi − a.t) − mi −a.t .dt = (t − mai ). ln(mi − a.t) − t + cte.
D’où: z = ugaz/f usée . ln(mi ).t − 21 .g.t2 − ugaz/f usée .(t − mai ). ln(mi − a.t) + ugaz/f usée .t
−ugaz/f usée . mai . ln(mi ).
mi −mf
c. En fin de combustion, à t = tc : mi − a.tc = mf ⇒ tc =
a
⇒ vf c = ugaz/f usée . ln
mi
mf
− g.tc = 1290 m.s−1
m
et zf c = ugaz/f usée . ln(mi ).tc − 12 .g.t2c + ugaz/f usée .( af ). ln(mf ) + ugaz/f usée .tc − ugaz/f usée . mai . ln(mi )
m
⇒ zf c = ugaz/f usée . ln(mi ).(tc − mai ) − 21 .g.t2c + ugaz/f usée .( af ). ln(mf ) + ugaz/f usée .tc
mf
m
f
⇒ zf c = −ugaz/f usée . ln(mi ).( a ) − 12 .g.t2c + ugaz/f usée .( a ). ln(mf ) + ugaz/f usée .tc
m
m
⇒ zf c = − 21 .g.t2c + ugaz/f usée .( af ). ln( mfi ) + ugaz/f usée .tc = 30, 24 km
3. Après
la fin de la combustion, d’après le théorème de l’énergie cinétique:
1
2
2 .m.vf inale
− 12 .m.vf2 c = −m.g.(zf inale − zf c ) ⇒ zf inale = zf c +
vf2 c
2.g
= 110 km.
Remarque: en réalité, à cette altitude, g diminue de 3,5% par rapport au sol; il faudrait tenir compte de
cette variation (ainsi que du caractère non-galiléen du référentiel terrestre).
M.P
4. D’après l’équilibre hydrostatique: ∂P
∂z = −ρ.g = − R.T .g
γ−1
γ−1
Pour une transformation adiabatique: P.V γ = cte ⇒ P γ .T −1 = cte = P0 γ .T0−1 .
γ−1
1
1
P0
P0 − γ
γ
M.P
0
On en déduit: ∂P
.g = − M.P
.g ⇒ P − γ .dP = − M.P01/γ .g.dz.
∂z = − R.T0 . P
R.T0 . P
R.T0 .P0
1− 1
En intégrant:
γ
P
1− γ1
=
− M.P01/γ .g.z
R.T0 .P0
+ cte.
Or à z = 0, P = P0 ; d’où: P = P0 . 1 −
γ−1 M.g.z
γ . R.T0
γ
γ−1
tant que
γ−1 M.g.z
γ . R.T0
< 1 ⇒ z < 30 km.
5. En tenant compte des frottements, la vitesse diminue de 5% et l’altitude maximale de 8%; l’effet est relativement faible car, à haute altitude, l’air est peu dense donc les frottements sont faibles.
2 Code avec Mathematica
Fusée
In[1]:= x=.;y=.;z=.;t=.;m=.;w=.;a=.;mf=.;g0=.; Fz=.;FzVide=.;Zvide=.;rho=.;
In[3]:= w=1800; mi=13000; mf=4500; tc=63; rho0=1.3; Rayon=0.4; Cx=0.35; g0=9.81;
M=0.029; gamma=1.4;T=293;R=8.32; S=N[Pi Rayon^2]; ZrhoLim=gamma R T / (M g0 (gamma-1));
tmax=6*tc;
a=N[-(mf-mi)/tc]; m[t ]:=If[t<tc,mi-a*t,mf]; rho[z ]:=If[ z<ZrhoLim, If[z>0.,
rho0*(1-M*g0*z*(gamma-1)/(gamma R T))^(gamma/(gamma-1)), rho0], 0]
Fz[t ]:=If[t<tc, a w - m[t] g0 - Cx rho[z[t]] S Abs[z’[t]] z’[t],
-mf g0 - Cx rho[z[t]] S Abs[z’[t]] z’[t]]; FzVide[t ]:=If[t<tc,a w - m[t] g0,-mf g0];
vz0=0;z0=0; az=z’’[t];
In[16]:= Sol=NDSolve[{ m[t] az==FzVide[t],z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],{t,0,tmax}];
Zvide=z[t]/.Sol[[1]]; Vzvide=D[Zvide,t];
Graph1=Plot[Zvide,{t,0,tmax}];Graph2=Plot[Vzvide,{t,0,tmax}];
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Fusée: rôle de l’atmosphère
In[20]:= Sol=NDSolve[{ m[t] az==Fz[t],z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],{t,0,tmax}];
Z=z[t]/.Sol[[1]]; Vz=D[Z,t]; Graph3=Plot[Z,{t,0,tmax}];Graph4=Plot[Vz,{t,0,tmax}];
In[24]:= Show[Graph1,Graph3];Show[Graph2,Graph4]
Out[24]=
3 Code avec Python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
120000
1500
100000
1000
80000
500
0
40000
z[m]
z[m]
60000
20000
0
1000
20000
1500
40000
600000
500
50
100
150
200
t[s]
250
300
350
20000
400
3
50
100
150
200
t[s]
250
300
350
400