TD: Fusée: rôle de l`atmosph`ere

TD: Fus´ee: rˆole de l’atmosph`ere
1 Position du probl`eme
v + d v
/R /R
m – dm
u/fusée
dm
m
v/R
à l'instant t à l'instant t + dt
On ´etudie une fus´ee dont les caract´eristiques sont les suivantes:
- masse initiale: 13 tonnes
- masse finale: 4,5 tonnes
- dur´ee de combustion: 63 s
- vitesse d’´ejection des gaz: 1 800 m.s−1
- rayon maximal: 40 cm
- coefficient de traˆın´ee: Cx= 0,35
- acc´el´eration de la pesanteur: g= 9,81 m.s−2que l’on supposera ind´ependante de l’altitude.
En outre, les caract´eristiques de l’air sont suppos´ees ˆetre les suivantes:
- masse volumique au sol: 1,3 kg.m−3
- temp´erature au sol: 20 ◦C
- atmosph`ere en ´equilibre adiabatique avec γ= 1,4
1. ´ Etude de la fus´ee dans le vide.
´
Ecrire la loi de la quantit´e de mouvement pour la fus´ee, entre les instants tet t+ dt, sachant que les gaz
´eject´es ont la vitesse upar rapport `a la fus´ee; cette ´ejection ayant, bien ´evidemment, lieu vers le bas ! On
supposera le mouvement vertical et l’on notera ale d´ebit du gaz (a=|dm
dt|).
2. En d´eduire la pouss´ee et l’acc´el´eration initiale (en tenant compte de la pesanteur). Int´egrer cette ´equation
et en d´eduire la vitesse, puis l’altitude (on n’oubliera pas que la masse de la fus´ee diminue, par suite de la
combustion de ses propergols, et l’on supposera cette combustion parfaitement r´eguli`ere).
On d´eterminera en particulier la vitesse et l’altitude en fin de combustion.
3. La fus´ee continue son vol. Quelle est l’altitude finale ?
4. ´ Equilibre adiabatique de l’atmosph`ere.
´
Ecrire l’´equation d’´equilibre hydrostatique d’un fluide de masse volumique ρsous l’action de son poids et
des forces de pression.
On suppose que ce fluide est un gaz parfait, de pression P, et que la temp´erature lui est li´ee selon l’´equation
des adiabatiques r´eversibles. Expliciter l’´equation pr´ec´edente et l’int´egrer.
`
A partir de quelle altitude cesse-t-elle d’ˆetre valable ? On supposera la pression atmosph´erique nulle au
del`a.
5. Freinage de la fus´ee dˆu `a l’atmosph`ere.
On admet que la force de freinage est F=Cx.ρ.S.v2,v´etant la vitesse de la fus´ee, ρla masse volumique
de l’air, Sla section de la fus´ee au maˆıtre-couple.´ Ecrire la fonction dv
dt=f(z, v, t), puis le programme
permettant de tracer z(t) et v(t). Comparer ces r´esultats au cas de la fus´ee tir´ee dans le vide. Commenter.
Solution
1. Syst`eme: la masse m(situ´ee `a l’instant tdans la fus´ee; `a l’instant t+ dt: dans la fus´ee et les gaz ´eject´es).
R´ef´erentiel: li´e au sol (consid´er´e comme galil´een !).
Bilan: poids.
Le principe fondamental de la dynamique s’´ecrit d~p
dt=−→
P⇒~p(t+ dt)−~p(t) = −→ P .dt
avec ~p(t+ dt)=(m−dm).(~v +−→ dv)+dm.(~v +−→ dv +~ugaz/f us´ee)et ~p(t) = m.~v.
En projetant selon la verticale montante, on a:
dp= (m−dm).(v+ dv)+dm.(v+ dv−ugaz/fus´ee)−m.v =m.dv−dm.ugaz/f us´ee =−m.g.dt
maˆıtre-couple: aire de la projection d’un solide sur un plan perpendiculaire `a la direction de la vitesse
relative qu’il poss`ede par rapport `a un fluide dans lequel il est immerg´e.
1

ISEN-Brest. Kany. TD: Fus´ee: rˆole de l’atmosph`ere
⇒m. dv
dt=dm dt.ugaz/fus´ee −m.g ⇒dv dt=a.ugaz/f us´ee−m.g m
avec m=mi−a.t est la masse variable de la fus´ee (miest sa masse initiale).
2. a. La pouss´ee de la fus´ee est: a.ugaz/fus´ee.
En int´egrant l’acc´el´eration, on a: v=a.ugaz/f us´ee.Rdt
mi−a.t −g.t+cte =−ugaz/f us´ee.ln mi−a.t mi−g.t
⇒v=ugaz/fus´ee.ln mi
mi−a.t −g.t
En int´egrant la vitesse, on a: z=ugaz/f us´ee.ln(mi).t −1
2.g.t2−ugaz/fus´ee.Rln(mi−a.t).dt.
On int`egre par parties: du= dt
v= ln(mi−a.t)⇒u=t−mi
a
dv=−a
mi−a.t .dt
Rln(mi−a.t).dt= (t−mi
a).ln(mi−a.t)−Rmi−a.t mi−a.t .dt= (t−mi a).ln(mi−a.t)−t+cte.
D’o`u: z=ugaz/f us´ee.ln(mi).t −1
2.g.t2−ugaz/fus´ee.(t−mi a).ln(mi−a.t) + ugaz/fus´ee.t
−ugaz/fus´ee.mi
a.ln(mi).
c. En fin de combustion, `a t=tc:mi−a.tc=mf⇒tc=mi−mf
a
⇒vfc =ugaz/f us´ee.ln mi
mf−g.tc= 1290 m.s−1
et zfc =ugaz/f us´ee.ln(mi).tc−1
2.g.t2
c+ugaz/fus´ee.(mf
a).ln(mf) + ugaz/fus´ee.tc−ugaz/f us´ee.mi a.ln(mi)
⇒zfc =ugaz/f us´ee.ln(mi).(tc−mi
a)−1 2.g.t2
c+ugaz/fus´ee.(mf
a).ln(mf) + ugaz/fus´ee.tc
⇒zfc =−ugaz/f us´ee.ln(mi).(mf
a)−1 2.g.t2
c+ugaz/fus´ee.(mf
a).ln(mf) + ugaz/fus´ee.tc
⇒zfc =−1
2.g.t2
c+ugaz/fus´ee.(mf
a).ln(mf mi) + ugaz/fus´ee.tc= 30,24 km
3. Apr`es la fin de la combustion, d’apr`es le th´eor`eme de l’´energie cin´etique:
1
2.m.v2
finale
 −1
2.m.v2
fc =−m.g.(zfinale −zfc)⇒zf inale =zf c +v2
fc
2.g = 110 km.
Remarque: en r´ealit´e, `a cette altitude, gdiminue de 3,5% par rapport au sol; il faudrait tenir compte de
cette variation (ainsi que du caract`ere non-galil´een du r´ef´erentiel terrestre).
4. D’apr`es l’´equilibre hydrostatique: ∂P
∂z =−ρ.g =−M.P R.T .g
Pour une transformation adiabatique: P.V γ=cte ⇒Pγ−1
γ.T −1=cte =P
γ−1
γ
0.T −1 0.
On en d´eduit: ∂P
∂z =−M.P R.T0.P0 Pγ−1
γ.g =−M.P0
R.T0.P0 P−1
γ.g ⇒P−1
γ.dP=−M.P0
R.T0.P 1/γ
0
.g.dz.
En int´egrant: P1−
1
γ
1−1
γ
=−M.P0
R.T0.P 1/γ
0
.g.z +cte.
Or `a z= 0,P=P0; d’o`u: P=P0.1−γ−1
γ.M.g.z R.T0γ
γ−1tant que γ−1
γ.M.g.z R.T0<1⇒z < 30 km.
5. En tenant compte des frottements, la vitesse diminue de 5% et l’altitude maximale de 8%; l’effet est rela-
tivement faible car, `a haute altitude, l’air est peu dense donc les frottements sont faibles.
2 Code avec Mathematica
Fus´ ee
In[1]:= x=.;y=.;z=.;t=.;m=.;w=.;a=.;mf=.;g0=.; Fz=.;FzVide=.;Zvide=.;rho=.;
In[3]:= w=1800; mi=13000; mf=4500; tc=63; rho0=1.3; Rayon=0.4; Cx=0.35; g0=9.81;
M=0.029; gamma=1.4;T=293;R=8.32; S=N[Pi Rayon^2]; ZrhoLim=gamma R T / (M g0 (gamma-1));
tmax=6*tc;
a=N[-(mf-mi)/tc]; m[t ]:=If[t<tc,mi-a*t,mf]; rho[z ]:=If[ z<ZrhoLim, If[z>0.,
rho0*(1-M*g0*z*(gamma-1)/(gamma R T))^(gamma/(gamma-1)), rho0], 0]
Fz[t ]:=If[t<tc, a w - m[t] g0 - Cx rho[z[t]] S Abs[z’[t]] z’[t],
-mf g0 - Cx rho[z[t]] S Abs[z’[t]] z’[t]]; FzVide[t ]:=If[t<tc,a w - m[t] g0,-mf g0];
vz0=0;z0=0; az=z’’[t];
In[16]:= Sol=NDSolve[{m[t] az==FzVide[t],z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],{t,0,tmax}];
Zvide=z[t]/.Sol[[1]]; Vzvide=D[Zvide,t];
Graph1=Plot[Zvide,{t,0,tmax}];Graph2=Plot[Vzvide,{t,0,tmax}];
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ISEN-Brest. Kany. TD: Fus´ee: rˆole de l’atmosph`ere
In[20]:= Sol=NDSolve[{m[t] az==Fz[t],z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],{t,0,tmax}];
Z=z[t]/.Sol[[1]]; Vz=D[Z,t]; Graph3=Plot[Z,{t,0,tmax}];Graph4=Plot[Vz,{t,0,tmax}];
In[24]:= Show[Graph1,Graph3];Show[Graph2,Graph4]
Out[24]=
3 Code avec Python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
3