v - CPGE TSI Lycée Louis Vincent

TD M1 Mécanique 2012/13
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Travaux dirigés de Mécanique n°1
Prise de connaissance avec la cinématique.
Exercice 1 : Conversion
Une voiture avance à la vitesse v=70km.h-1. Donner sa vitesse v en m.s-1.
Un moteur tourne à la vitesse
θ =3500tr.min−1
. Donner sa vitesse angulaire en rad.s-1.
Exercice 2 : Intégration
Pour chacun des exemples suivants, calculer la vitesse v(t) et la position x(t) de la particule se déplaçant
en ligne droite sur l’axe (Ox) en tenant compte des conditions initiales.
1. A t=0,
x0
( )
=0
v0
( )
=0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
. Pour t>0, a(t)=a0.
2. A t=0,
x0
( )
=x0
v0
( )
=v0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
. Pour t>0, a(t)=a0.
3. A t=τd,
x τ
d
( )
=h
v τ
d
( )
=c
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
. Pour t> τ
d, a(t)
=γ .
Exercice 3 : Eléments cinématiques
1. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant :
x t
( )
=a0t2+x0
,
y t
( )
=−vt
et
z t
( )
=z0
avec
x0=1m
,
z0=−1m
,
a0=2m.s−2
et
v=3m.s−1
.
a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne.
b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t=2s.
c. Calculer la norme de l’accélération de M à la date t=1s.
2. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cylindriques sont, à chaque instant :
r t
( )
=a0t2+r
0
,
θ t
( )
= ω t− θ
0
et
z t
( )
=−vt
avec
r
0=1m
,
θ
0=2rad
,
a0=1m.s−2
,
ω =3rad.s−1
et
v=2m.s−1
.
a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cylindrique.
b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t=1s.
c. Calculer la norme de l’accélération de M à l’instant initial (t=0).
Mouvements rectilignes.
Exercice 4 : Course poursuite
Une voiture C roule à la vitesse constante
v0=90km.h−1
sur une route horizontale et droite ; un motard
M, qui démarre à t=0 au moment où la voiture passe à sa hauteur (au point O), accélère uniformément ; il
atteint
v0=90km.h−1
au bout de t=10s.
1. Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la voiture ?
2. Quelle sera alors la distance d parcourue ?
3. Quelle sera la vitesse
1
v
acquise par le motard ?

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Exercice 5 : Attention au choc
Deux voitures se suivent sur une ligne droite à la vitesse
v=30m.s−1
à une distance d=80m l’une de
l’autre. A la date t=0, la première freine avec une décélération constante de aA=-2,0m.s-2. Celle qui la suit
commence à freiner seulement 2,0 secondes plus tard, avec une décélération constante de aB=-1,0m.s-2.
1. En prenant pour origine du repère spatial la position de la seconde voiture à la date t=0, établir les
équations horaires du mouvement des deux véhicules.
2. Déterminer la position et la date du contact.
Exercice 6 : Oscillations rectilignes
Un point M est astreint à se déplacer sur un axe (Ox). A la date t=0, il se trouve à la position x0=10cm
avec une vitesse
v0 =v0ex
(
v0=0,15m.s−1
). Par la suite, il sera à chaque instant soumis à une accélération
définie par
a
M
( )
=−C.OM
avec C=2,0 USI.
1. Quelles sont les dimensions de la constante C ? En déduire son unité SI.
2. Etablir l’équation horaire x(t) du mouvement de M sur cet axe.
3. Exprimer, puis calculer la période des oscillations de M.
Exercice 7 : Alerte à Malibu
Soit P, la plage de Malibu, séparation entre deux milieux
différents : le sable (milieu (1)) et la mer (milieu (2)).
Mitch Buckhannon situé en A1 sur le sable (à la distance
A
1H1=a1
de P) repère une jolie nageuse en difficulté en A2 en
mer (à la distance
A
2H2=a2
de P). Il peut courir sur le sable à la
vitesse v1 et nager à la vitesse v2<v1. On notera T la durée du
parcours A10A2.
Quel trajet Mitch doit-il emprunter pour rejoindre la nageuse le plus rapidement possible ?
On déterminera d’accord l’équation que doit vérifier
x=H1O
, puis on simplifiera l’expression obtenue
en introduisant les sinus des angles α1 et α2.
A quelle loi physique l’expression obtenue vous fait-elle penser ?
Exercice 8 : Effet Doppler
On travaille dans le référentiel lié au sol.
Un véhicule de pompier roule à la vitesse constante v0, en émettant une sirène que l’on modélisera par une
série de bips émis à la fréquence f0.
1. Quel est l’intervalle de temps qui sépare deux bips pour un pompier situé à l’intérieur du
véhicule ?
2. Même question pour un observateur immobile (durée T) si le véhicule s’éloigne de lui. En déduire
la fréquence des impulsions sonores perçues par l’observateur (fréquence f).
3. Mêmes questions si le véhicule s’approche de l’observateur : T’ et f’.
Données : Célérité du son dans l’air
cs=340m.s−1,v0=100km.h−1,f0=400Hz
Mouvements en coordonnées cylindriques ou polaires.
Exercice 9 : Spirale
Un mobile M parcourt avec une vitesse de norme constante v la spirale d’équation polaire
r=a θ
avec a
constant. Exprimer
v M /ℜ
( )
la vitesse de M en fonction de θ et v dans la base polaire.

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Exercice 10 : Laboratoire spatial
Un laboratoire spatial, constitué de deux anneaux concentriques de même axe, est en rotation uniforme
autour de cet axe de manière à créer une gravité artificielle. Sa période de rotation T est choisie de
manière à ce que l’accélération soit égale à l’accélération de la pesanteur sur Terre (9,81 m/s²) au niveau
de l’un des anneaux (de rayon r1=2,15 km) et à l’accélération de la pesanteur sur Mars (3,72 m/s²) au
niveau de l’autre.
Exprimer l’accélération d’un point situé sur l’anneau 1 en fonction de T et r1.
En déduire la valeur de T puis le rayon r2 du second anneau.
Exercice 11 : Mouvement hélicoïdal
Les équations paramétriques d’une particule P dans un référentiel orthonormé R direct sont :
x=acos
ω t
,
y=asin
ω t
et
z=h
ω t
avec a, h et ω des constantes positives.
1. Soit H la position de P dans le plan xOy
a. Montrer que H est animé d’un mouvement circulaire uniforme.
b. Sur quelle surface la trajectoire de P est-elle inscrite ? La représenter.
2. Calculez les composantes de
v P /ℜ
( )
en coordonnées cylindriques ainsi que la vitesse
numérique de P. Quelle remarque peut-on faire ? Déterminer s(t) la distance parcourue par la
particule à l’instant t. Déterminez l’angle α que fait
v P /ℜ
( )
avec sa direction Oz. Que peut-on
dire de α ?
3. Calculez les composantes du vecteur accélération
a P /ℜ
( )
en coordonnées cylindriques.
Indiquez le support et le sens de
a P /ℜ
( )
.
Exercice 12 : Ultime combat
Messieurs G et P s’affrontent lors d’une course de Karting.
Leurs positions respectives sont repérées par les points (A)
et (B). Ils arrivent en ligne droite, coupent l’axe CC’ au
même instant et prennent le virage de deux manières
différentes :
Monsieur G (point A) suit une trajectoire circulaire de centre
O et de rayon rA=90m.
Monsieur P (point B) prend l’intérieur et suit une trajectoire
circulaire de centre O’ et de rayon rB=75m.
On appelle R le référentiel
O,
ex, ey, ez
( )
. Le but de l’exercice
est de déterminer laquelle des deux héros sortira en premier
du virage en coupant à nouveau l’axe CC’ gagnant ainsi la
course.
1. Déterminer puis calculer les longueurs LA et LB des trajectoires des deux kartings. Peut-on
conclure ?
2. On suppose que les deux kartings roulent à des vitesses vA et vB constantes pendant tout le virage.
Déterminer ces vitesses pour que dans le virage, les accélérations des 2 kartings restent inférieures
à 0,8g avec g=9,81m.s-2 l’accélération de la pesanteur (au delà de cette limite, les kartings et leurs
conducteurs dérapent et finissent leur course dans le bac à gravier ou dans les pneus).
3. Conclure. Qui est le plus fort ?