Déterminer le PGCD de deux nombres entiers naturels (méthode 2)

Fiche 19 : Déterminer le PGCD de deux nombres entiers naturels (méthode 2)
Énoncé :
Déterminer PGCD (135 , 105) en utilisant l'algorithme des soustractions successives.
Solution :
Commentaires / Conseils :
On utilise l'algorithme des soustractions successives :
On doit préciser la méthode utilisée pour
déterminer le PGCD des deux nombres.
PGCD (135 , 105 ) = PGCD (105 , 30)
On utilise la propriété suivante : « Soient a et b
deux entiers naturels tels que a > b. On a
alors : PGCD (a , b) = PGCD (b , a – b). »
= PGCD (30 , 75)
= PGCD (30 , 45)
A chaque étape, on « conserve » le plus petit
des deux nombres ainsi que la différence des
deux nombres.
= PGCD (30 , 15)
= PGCD (15 , 15)
On répète l'algorithme jusqu'à obtenir le PGCD
de deux nombres identiques et on utilise la
propriété : « PGCD (a , a) = a ».
= 15
Donc PGCD (135 , 105) = 15
On conclut.
L'avantage de cet algorithme est qu'il est
simple d'utilisation.
Cependant, il existe un algorithme plus
efficace (on détermine le PGCD avec moins
d'étapes) : l'algorithme d'Euclide.
Cette fiche a été créée par : Rahulan (3è3)