fiche 1 - ambition

!LFA!/!Terminale!S!Spécialité!maths!Mme!MAINGUY
PGCD – théorèmes fondamentaux de l’arithmétique
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Exercice 1
Les$questions$suivantes$sont$indépendantes.$
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1) a/!!Déterminer!les!diviseurs!de!
60
!et!
105
.!En!déduire!
pgcd 60 ;105
( )
.!
b/!!Même!question!avec!
385
!et!
84
.!
2) Calculer!à!la!main!le!pgcd!des!nombres!suivants!avec!l’algorithme!d’Euclide!et!vérifier!à!la!calculatrice!:!
a/!!
1636 et 1128
!b/!!
1386 et 1180
!c/!!
−6292 et 5852
!
3) Déterminer!
pgcd 3500 ; 200
( )
.!
!
Exercice 2
º!!Trouver!tous!les!couples!d’entiers!naturels!
x;y
( )
!tels!que!
xy =5292
!et!
pgcd x;y
( )
=6
.!
!
Exercice 3
1) Trouver!tous!les!couples!d’entiers!naturels!
x;y
( )
!tels!que!
x+y=20
!et!
x
!et!
y
!premiers!entre!eux.!
2) En!déduire!tous!les!couples!
x;y
( )
!tels!que!:!
x+y=180
pgcd x;y
( )
=9
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
!
!
Exercice 4
Soit!
n
!un!entier!naturel,!
a=n3n+1
( )
!et!
b=n+1
.!
1) Trouver!les!entiers!
x,y,z
!tels!que!:!!
a=n+1
( )
nx +y
( )
+z
.!
2) On!pose!
d=pgcd a;b
( )
.!Montrer!que!
d
!divise!2.!En!déduire!la!valeur!de!
d
!en!fonction!de!
n
.!
!
Exercice 5
1) À!l’aide!d’un!tableau!de!congruence,!prouver!que!5!divise!
n2
!si!et!seulement!si!5!divise!
n
.!
2) Soit!
n
!un!entier!naturel,!
a=n3+5
!et!
b=n2
.!
Montrer!que!
pgcd a;b
( )
=pgcd n2; 5
( )
.!
3) En!déduire!la!valeur!de!
pgcd a;b
( )
!
Fiche d’exercices n°1