30 exercices

Exercice N° 1
Découverte des outils de création de Cabri
Constructions libres et prise en compte approximative de la symétrie
Avec les trois premières boîtes à outils, on peut placer des
points, tracer des segments, des triangles, des polygones, des
cercles, etc.
Utiliser ces outils pour réaliser des dessins comme ceux-ci :
Exercice N° 2
Les quadrilatères usuels : Losange, carré
1- Trace un segment [AB]
2- Construis un losange ABCD ayant pour côté le segment [AB]
Déplace les points, ABCD doit rester un losange (sinon recommence)
3- Construis un carré ABEF ayant pour côté le segment [AB]
Déplace les points, ABEF doit rester un carré.
4- Essaie de déplacer les points pour faire coïncider les deux quadrilatères.
Exercice N° 3
Famille de figures
Le dessin suivant est affiché à l’écran (Dans le menu “Fichier” cliquer sur “Ouvrir” puis
charger le ficher “famille1.fig” ou “famille2.fig” ou “famille3.fig”)
ABCD semble être un carré.
L’élève doit le vérifier : vérification des angles droits et des longueurs avec soit l’outil “Equidistant ?” dans
la boîte “Propriétés”, soit l’outil “Distance et longueur” dans la boîte “Mesures”.
L’élève doit ensuite déformer le quadrilatère ABCD et découvrir les propriétés qui ne changent pas
Le carré apparaît alors comme faisant partie d’une famille de figures à découvrir …
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
1
Conjecturer / tester / vérifier / formuler une propriété.
Exercice N° 4
1- Place 3 points A, B et C (non alignés) .
2- Construis le point I milieu de [AB] et le point J
milieu de [AC] .
Trace les droites (IJ) et (BC)
3- Ces droites semblent être parallèles… Déplace les
points avec la souris…
A
J
I
C
4- Fais la figure sur ton cahier. Comment peux-tu
vérifier sur le papier que les droites sont parallèles ?
5- Avec Cabri, place un point E sur la droite (BC).
Construis la perpendiculaire à (BC) passant par E.
Nomme d cette droite.
Marque l’angle droite en E
E
B
Vérifie avec Cabri que les droites (IJ) et d sont
perpendiculaires .
6- Compare les longueurs IJ et BC (Utilise la Boîte “Mesures”)
Ecris tes remarques.
Exercice N° 5
Un curieux phénomène :
conjecturer , tester, formuler une propriété, la démontrer (suivant le niveau)
Réalise avec Cabri le programme de construction suivant : : (voir aussi la fiche Varignon niveau
4ième /3 ième)
1- Trace un quadrilatère ABCD quelconque
2- Construis le point I, milieu du segment [AB]
3- Construis le point J, milieu du segment [BC]
4- Construis le point K, milieu du segment [CD]
5- Construis le point L, milieu du segment [DA]
6- Trace le quadrilatère IJKL
7- A quoi ressemble le quadrilatère IJKL ?
8- Déforme le quadrilatère ABCD. Le quadrilatère IJKL est-il toujours de même nature ?
??
Vérifie, en utilisant un des outils de la boîte de propriétés
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
2
Exercice N° 6
Le triangle isocèle
Expérimenter / découvrir des propriétés
trace un segment [AB]
construis le milieu I de [AB]
trace la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par I
choisis un point M sur cette droite
mesure les longueurs MA et MB
que remarques-tu ?
6- déplace le point M, la propriété est-elle toujours vérifiée ?
12345-
Exercice N° 7
Les hauteurs
- Choisis 3 points non alignés A, B et C
- Trace en pointillé les 3 droites (AB), (BC) et (CA)
- Construis le triangle ABC
- Construis la hauteur (AH)
- Construis de même les hauteurs (BK) et (CJ)
- Construis de même les hauteurs (BK) et (CJ)
la hauteur (AH) est la droite perpendiculaire à (BC) passant par A ; H est le
point d’intersection avec (BC)
Quelle remarque peux-tu faire ?
-
Déplace les sommets du triangle …Cette propriété est-elle toujours vérifiée ?
-
En déplaçant les sommets du triangle, essaie d’obtenir un triangle qui ait 2 hauteurs
“confondues” avec 2 côtés.
Que peux-tu dire sur ce triangle ?
Intermède : Faire sortir l’orthocentre d’un triangle …
Un jeu : Chargez le fichier : Haut_Jeu.fig
Vous devez voir ceci apparaître à l’écran.
Quand H est en K la figure s’illumine ! ! !
On a caché le triangle pour ne pas donner la
solution …
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
3
Exercice N° 8a
Le rectangle d'or
Réaliser un Cabri-dessin à partir d’un programme de construction complexe
1- Construis un segment [AB]. (environ 4 cm et vertical)
2- Construis la perpendiculaire à [AB] au point A, appelle (dl) cette droite.
3- Construis la perpendiculaire à [AB] au point B, appelle (d2) cette droite.
4- Le cercle de centre A qui passe par B coupe (dl) au point C
(choisis pour C un des deux points d'
intersection du cercle et de (dl)).
5- Construis le milieu I de [AC]
6- Le cercle de centre I qui passe par B coupe (dl) en R. (Prenez R du même côté de [AB] que le
point C).
7- La perpendiculaire à (dl) qui passe par R coupe (d2) en E.
8- Cache les traits de construction pour ne garder visible que le rectangle ABER.
ABER est un rectangle d'
or.. Il porte ce nom car on considère que c'
est le rectangle dont les proportions sont
les plus harmonieuses.
Exercice n° 8 b
Le triangle d'or
Construis sur la même figure un triangle d'
or en suivant les instructions :
1- le cercle de centre A qui passe par R et le cercle de centre B qui passe par E se coupent au point U
(Choisis pour U le point d'
intersection qui est dans le rectangle ABER).
2- Cache les traits de construction pour ne garder visible que le rectangle et le triangle ABU.
Le triangle ABU est un triangle d’or.
AR = AI + IR = AC/2 + IB = AB/2 + IB
IB² = AB² + (AB/2)² =
5
5
. AB ² d’où IB =
. AB
4
2
1+ 5
1+ 5
). AB
s=
≈ 1,618 est le
2
2
nombre d’or. En posant L = AR et l = ER
Et AR = (
On a
L
1
L L+l
= s mais s = 1 +
Donc
=
l
s
l
L
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
4
Exercice N° 9
La reproduction de dessins avec (ou sans) Macro.
Analyse de figures : alignement, perpendicularité, rapport de longueurs
Elaboration de cabri-programmes de construction
Pour toutes ces figures, les élèves savent déjà construire un carré (ou on met à leur disposition la macro
carré). Les figures données comportent des points placés de manière particulière (au milieu, au quart, etc...)
La première figure a été analysée collectivement et construite par des élèves devant les autres avec un tablette
projetant l'
écran de l'
ordinateur pour toute la classe. On fixe ainsi les règles du jeu.
Tracé 1 :
Construisez pour commencer le segment [AB] puis faites la construction en
partant de ce segment.
Quand vous avez terminé déplacez A et B. Votre figure doit garder sa forme,
sinon recommencez.
Vous pouvez charger le fichier “tracé1.fig” pour vous aider.
Tracé 2
Construisez pour commencer le segment [AB] puis faites la construction en
partant de ce segment.
Cachez les traits de construction.
Déplacez A et B pour voir si la forme de votre figure est conservée, sinon
recommencez.
Tracé 3
Construisez pour commencer le segment [AB] puis faites la construction en
partant de ce segment.
Cachez les traits de construction.
Déplacez A et B pour voir si la forme de votre figure est conservée, sinon
recommencez.
Quand vous avez terminé, refaites la construction en commençant par le
segment [CD].
Tracé 4
Construisez pour commencer le segment [AB] puis faites la construction en
partant de ce segment.
Cachez les traits de construction.
Déplacez A et B pour voir Si votre figure conserve la même forme, sinon
recommencez.
Si vous êtes courageux, refaites la construction en commençant par [CD]
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
5
Tracé 5
Construisez pour commencer le segment [AB] puis faites la
construction en partant de ce segment.
Cachez les traits de construction.
Déplacez A et B pour voir si la forme de votre figure est conservée,
sinon recommencez.
Quand vous avez terminé, refaites la construction en commençant par
le segment [CD].
Tracé 6
La boussole
Avec cabri-géomètre, dessine la boussole. Attention, lorsque tu déplaces un point, la boussole doit
tourner sans se déformer.
Tracé 7
La Rosace
Reproduire une rosace identique
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
6
Reproduire une figure à partir de l’analyse d’une représentation dessinée (suite)
Construire des objets complexes à partir de l’analyse d’un dessin .
Elaborer un cabri-programme de construction.
Tracé 8
Tu vas reproduire la figure suivante en plus grand.
Pour cela, tu commences par tracer un segment [AB]
Puis tu complète la figure …en utilisant au mieux les outils de Cabri.
Attention … il faut conserver les propriétés de la figure.
Des traits de construction en pointillé ont été laissés pour t’aider dans ton travail.
A
B
Tracé 9: Construire des polygones réguliers
1 – L’hexagone régulier
Attention, quand tu déplaces les points tu dois toujours avoir un hexagone régulier
2- Le pentagone régulier
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 10
La symétrie axiale : symétrique d’un point, d’un segment
Trace une droite d et un segment [AB]
Construis les symétriques A’ et B’ de A et B par rapport à la droite d,
en utilisant les outils “Droite perpendiculaire” et “Cercle”.
Choisis un point M sur le segment [AB] et
construis son symétrique M’
Déplace le point M…
Quelles remarques peux tu faire sur
les positions de M’ ?
Utilise l’outil “Trace” de l’avant dernière
boîte pour avoir la trace de M’ :
- sélectionne l’outil Trace
- sélectionne M’ puis
- déplace M.
Pour effacer la trace :
dans le Menu Edition sélectionne “Tout redessiner”
Modifie la position de la droite d et de [AB] et recommence.
Tu peux aussi utiliser l’outil “Lieu” de la première boîte de construction pour avoir le symétrique de [AB]
Exercice N° 11
La symétrie axiale : symétrique d’un segment – axe de symétrie
-
Construis un segment [AB] et une droite d.
-
Construis le segment symétrique [A’B’] de [AB] par rapport à d directement avec Cabri :
on peut obtenir directement l’image de [AB] sans passer par une construction point par point ; pour cela
utilise l’outil symétrie axiale dans la deuxième boîte de construction
-
Déplace la droite d ou le segment [AB] de façon que [AB] et [A’B’] coïncident .
Peux-tu obtenir plusieurs solutions ?
Exercice N° 12a
La symétrie axiale : symétrique d’un triangle – axe de symétrie
-
Trace un droite d et un triangle ABC
-
Construis le triangle symétrique de ABC par rapport à d.
-
Peux-tu, en déplaçant le triangle ABC ou la droite d, faire coïncider le triangle et son
symétrique ?
-
Modifie la forme du triangle pour qu’il coïncide avec son symétrique.
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 12b
Une animation à réaliser par l’enseignant pour la classe
Chargez le fichier “symanimation.fig” et suivez les consignes (les outils trace, animation et
animations multiples se trouvent dans la première boîte de présentation).
Exercice N° 13
Résoudre un problème d’optimisation : le plus court chemin
Ouvrir le fichier “Optimise.fig” et vous aurez cette figure à l’écran : l’outil “Report de mesure” nécessaire
à sa réalisation est découvert dans l’exercice 21
Déplacer le point M le long du segment [CD] et
déterminer approximativement la valeur minimale
de AM + BM à partir de l’affichage à l’écran.
Trouver comment on peut construire précisément
(géométriquement) le point I pour lequel AI + IB
est le plus petit possible. (avec I sur [CD] ).
Donner une valeur approchée avec 4 chiffres après la
virgule de cette distance.
D
Pour avoir 4 chiffres après la virgule :
- cliquer sur le nombre correspondant à AM+BM et appuyer 2 fois sur
la touche +
- cliquer sur l’outil Pointeur ou la touche Echap pour désélectionner
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice 14-a
Construire un segment de 4 cm de long
Première étape : définir la longueur (ici 4 cm) :
- activer l’outil “Nombre” dans la première boîte de présentation
- cliquer à l’écran pour choisir un emplacement
- taper le nombre 4 (au clavier)
- appuyer sur les touches Ctrl et U pour choisir l’unité de longueur (ici le cm)
(cette étape est facultative : le cm est l’unité choisie par défaut)
Deuxième étape : construire un segment de longueur donnée (ici 4 cm)
-
4 cm
A
placer un point et nommer le A
activer l’outil “Report de mesure” dans la première boîte de construction
cliquer sur la mesure 4 cm affichée à l’écran
cliquer sur le point A déjà construit
déplacer le pointeur de souris (sans cliquer) dans la direction choisie
cliquer quand la direction convient (un point s’affiche à l’écran)
tracer le segment joignant les 2 points
Remarque : On peut aussi reporter une longueur sur une demi-droite.
Exercice N° 14-b
-
Construire des points à 4 cm d’un point donné O (Notion de cercle)
Place un point et nomme le O
Définis la longueur 4 cm avec l’outil “Nombre”
Place plusieurs points à 4 cm de O avec l’outil “Report de mesure”
Quelles remarques peux-tu faire ? … Construis d’autres points à 4 cm de O …
Exercice N° 14-c
Utilisation de Cabri pour obtenir des points à 4 cm de O :
- Place un point et nomme le O
- Crée un point A distant de 4 cm de O
- Active l’outil “Trace” de la première boîte de présentation
- Sélectionne le point A
- Déplace le point A …
La trace se forme …( Pour effacer la trace, activez l’outil “Tout Redessiner” du menu “Edition” )
Exercice N° 14-d
A
Construire les figures à partir des informations données
A
B
AB = 8 cm
BC = 5 cm
C
B
D
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
AB = AC = 6 cm
BC = 8 cm
C
(sources diverses)
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Exercice N° 15
Le but de cet exercice est de représenter, dans un repère, la variation de y = AM+BM en fonction de x = CM.
Indications : Faire apparaître les axes : outil “Montrer / Cacher les axes” de la dernière boîte.
Utiliser l’outil “Report de mesure” pour construire le points K sur (Ox) d’abscisse x = CM et
le point L sur (Oy) d’ordonnée y = AM + BM.
La courbe est obtenue comme étant le lieu du point de coordonnées (x,y) quand M décrit le
segment [CD].
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 16
Des constructions à réaliser avec des contraintes sur les outils
1- Sans équerre, avec le compas et la règle … Réinvestir des connaissances
Sans l’outil “Droite perpendiculaire”, construire les 3 hauteurs d’un triangle ABC
Remarque : On peut, pour les élèves, reconfigurer l’environnement de cabri et supprimer l’outil “Droite
perpendiculaire”.
- Dans le menu Options activez Configuration des outils. Une poubelle apparaît dans le coin
supérieur droit de l’écran.
- Sélectionnez l’outil Droite perpendiculaire et déposez le avec la souris dans la poubelle.
- Cliquez sur l’option Enregistrer de la boîte de dialogue puis sur Ok
- Entrez un nom de fichier de menu, par exemple menu1
Le fichier menu1.men contient alors la nouvelle configuration de cabri. Les élèves avant de travailler seront
invités à ouvrir ce fichier …
2- Construction d’une parallèle à une droite en utilisant des symétries (centrales ou axiales) :
Le dessin suivant est affiché à l’écran :
P
(Boitesym.fig)
d
La tâche consiste à construire la parallèle à d passant par P avec seulement à sa disposition les
outils : Points ; Droite ou segment passant par 2 points ; symétrie centrale ou axiale ; bissectrice.
Puis de justifier par écrit la construction en donnant les propriétés mathématiques qui assurent que
la droite construite est parallèle à d.
Remarque : On peut créer un fichier menu2.men pour reconfigurer les boîtes à outils.
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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3- Construire des parallélogrammes sans l’outil “Droite parallèle”
Recherche de procédures – réinvestir ses connaissances.
Ouvrir la configuration réduite “menu2.men”
Les exercices consistent à construire des parallélogrammes sans utiliser l’outil “droite parallèle”
Ex 1 :
-
Place deux points A et O dans la feuille de dessin.
Construis un parallélogramme dont A et un sommet et O le centre.
-
Place deux points A et B
Construis un parallélogramme dont [AB] est un côté.
Ex 2 :
4- Reproduction d’une configuration et conservation de relations géométriques : “La Boîte noire”
Expérimenter sur une figure , conjecturer des propriétés , les tester … : reproduire un assemblage de 2
objets reliés par des contraintes à découvrir.
Les élèves ne doivent pas disposer de l’outil “Cacher/montrer” pour réaliser cette exercice.
Le dessin suivant est affiché à l’écran (Dans le menu “Fichier” cliquer sur “Ouvrir” puis charger le
fichier “menu3.men” et le fichier “Boite.fig”).
E
A
B
H
F
D
C
G
Dans le parallélogramme ABCD est dessiné un quadrilatère qui est lié par des relations géométriques au
parallélogramme ABCD.
La tâche des élèves consiste à construire à l’intérieur de EFGH un quadrilatère qui soit lié à EFGH de
la même façon que celui de ABCD.
Les constructions seront validées par déplacement : les propriétés de la figure doivent résister aux
modifications des dessins.
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 17
Découvrir des propriétés et les formuler sous la forme “Si …. Alors ….”
Les quadrilatères et leurs diagonales : étudier les conséquences de contraintes imposées aux diagonales
d’un quadrilatère et les formuler sous la forme “Si …. Alors ….”
Ex 1 : le parallélogramme
C
B
O
-
A
Trace un segment [AC]
Construis le milieu O de [AC]
Choisis un point B qui ne soit pas sur la droite (AC).
Construis le point D symétrique de B par rapport à O
Quelles remarques peux-tu faire sur le quadrilatère ABCD ?
-
Déplace, avec la souris, les points A, B ou C .
Ecris une propriété des diagonales du quadrilatère ABCD :……………………………..
……………………………
Le quadrilatère ABCD est-il toujours de même nature ? ………
Formule la propriété que l’on vient de découvrir avec Cabri en complétant l’énoncé suivant :
Si les diagonales ………………………………………………..
alors ABCD est un parallélogramme.
A
Ex 2 : le losange
-
Trace un segment [AC]
Construis le milieu O de [AC]
Choisis un point B sur la droite perpendiculaire à [AC] en O.
Construis le point D symétrique de B par rapport à O.
Quelle remarque peux-tu faire sur le quadrilatère ABCD ?
-
B
O
C
Déplace les points A, B ou C .
Le quadrilatère ABCD est-il toujours de même nature ?
Ecris des propriétés sur les diagonales du quadrilatère ABCD : ………………………………
…………………………………………..
Formule la propriété que l’on vient de découvrir avec Cabri en complétant l’énoncé suivant :
Si ………………………………………………….. et si ……….…………………
……………………………………………alors ABCD est un losange.
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 18
Le Parallélogramme de Varignon
Partie A:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Trace un quadrilatère ABCD quelconque.
Construis les points I, J, K, L milieux respectivement de [AB], [BC], [CD], [DA].
Trace le quadrilatère IJKL.
A quoi ressemble le quadrilatère IJKL?
Déforme le quadrilatère ABCD. Le quadrilatère IJKL est-il toujours de même nature?
Vérifie en utilisant un des outils de la boîte de propriétés.
Enoncé de la propriété : …
7)
Trace les diagonales du quadrilatère ABCD.
8)
Qu'
observes-tu à propos des diagonales du quadrilatère ABCD et des côtés du quadrilatère IJKL?
9)
Déforme le quadrilatère ABCD et vérifie tes observations en utilisant un outil des boîtes de
propriétés.
10)
Complète :
Les droites (IL) et (JK) sont …………… à (BD) car … ………………………………
……………………
De même les droites (IJ) et (LK) sont …………… à (AC)
IJKL est un ………….. car …………………………………..
Partie B:
1)
2)
3)
Déforme le quadrilatère ABCD de sorte que les diagonales soient perpendiculaires.
Que dire du parallélogramme de Varignon ? (Justifier)
Déduire une propriété sur les médianes du quadrilatère ABCD.
Partie C:
1)
2)
3)
Déforme le quadrilatère ABCD de sorte que les diagonales aient même longueur.
que dire du parallélogramme de Varignon? (Justifier)
Déduire une propriété sur les médianes du quadrilatère ABCD.
Conclusion:
Donner une condition pour que le parallélogramme de Varignon soit un carré.
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 19
Découvrir Pythagore
Pythagor.fig
Chercher des positions pour qu’une égalité d’aires soit satisfaite ; utiliser les outils “Table“ et
“Calculatrice”
Affiche les aides :
Appuie sur la touche F1
-
Choisis 3 points A, B et C et trace le triangle ABC
Construis sur les côtés du triangle 3 carrés (ils doivent se trouver à l’extérieur de la surface du
triangle)
- Utilise l’outil « Aire » de la boîte mesure pour afficher l’aire des 3 carrés
On peut nommer une mesure en tapant un texte devant la valeur, par exemple “Aire1= ”.
-
Utilise l’outil « Angle » pour afficher la valeur de l’angle BAC.
-
Utilise la calculatrice (boîte Mesure) pour afficher la somme des aires des 2 “petits” carrés
• Clique sur la valeur d’une aire, puis sur le signe +, la deuxième valeur et le signe =
• tire le résultat obtenu dans la feuille de dessin.
-
Construis le cercle de diamètre [BC]
-
Déplace le point A, et cherche une position pour laquelle l’aire du carré construit sur
[BC] est très voisine de la somme des aires des 2 autres carrés.
On peut utiliser l’outil « Table » (de la boîte mesure) pour afficher dans une table les différentes valeurs
des aires et des angles …
- Crée une table avec l’outil Table dans la Boîte Mesure. (cliquer et tirer pour avoir 3 colonnes)
- Place dans cette table : Aire 1 + Aire 2, Aire 3 et BAC :
• active l’outil Table.
• sélectionne une mesure et clique pour tabuler la valeur ; recommence pour les autres.
-
Déplace le point A et tabule les nouvelles valeurs en appuyant sur la touche Tabulation
-
Cherche d’autres positions de A pour lesquelles Aire1 + Aire2 ≈ Aire3
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
16
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 20
Les relations trigonométriques
Sinus1.fig
Découvrir un invariant
Le sinus d’un angle
-
Choisis un point C et trace une droite d1 horizontale (utilise le touche Majuscule) et passant
par C
Trace une autre droite d2 passant par C.
Punaise le point C (Boîte “Affichage ”).
Choisis un point A sur d1.
Trace la perpendiculaire à (AC) passant par A, elle coupe d2 en B.
-
Marque les angles BCA et CAB (Boîte “Affichage”).
Mesure l’angle BCA et les segments [AB] et [BC] (Boîte “Mesure”)
On peut nommer une mesure en tapant un texte devant, par exemple “C°= ”, “AB=” et “BC=”
-
Utilise la calculatrice (Boîte “Mesure”) pour avoir le rapport
•
•
-
AB
:
BC
Clique sur la valeur de AB, puis sur le signe de division, la valeur de BC
et le signe = .
tire le résultat obtenu dans la feuille de dessin .
Crée une table avec l’outil “Table” dans la Boîte Mesure. (cliquer et tirer pour avoir 4
colonnes)
AB
Place dans cette table : BCA , AB, BC et
BC
• active l’outil Table .
• sélectionne une mesure et clique pour tabuler la valeur
-
Déplace la droite d2 pour avoir BCA = 30 °
(clique, tire avec appui sur la touche Majuscule)
-
Tabule les nouvelles valeurs en appuyant sur la touche Tabulation
-
Déplace le point A puis tabule les valeurs
Recommence plusieurs fois en modifiant uniquement la position de A
-
Recommence avec BCA = 45° puis avec 60 °
-
Ecris tes remarques :
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 21
Les triangles en configuration de Thalès : découverte de la propriété
A faire réaliser par les élèves ou à produire en animation devant la classe
- Crée 3 points non alignés et nomme les A, B, C.
- Construis le triangle ABC.
- Trace les droites (AB) et (AC)
- Place un point M sur la droite (AB)
- Construis la droite d parallèle à (BC) passant par M
- Appelle N le point d'
intersection de la droite d avec (AC)
- Utilise l'outil «Distance & Longueur» de la boîte Mesure pour afficher la longueur des segments
[AM], [AB], [AN], [AC], [MN] et [BC].
- Nomme toutes ces mesures en tapant "AM "devant la mesure de [AM], AB devant la mesure de
[AB] etc.
- Utilise la «calculatrice» de la boîte Mesure pour calculer AM/AB.
Ouvre la «calculatrice»
Clique sur la valeur AM puis sur le signe / puis sur AB et enfin le signe =
Clique sur le résultat obtenu et sans lâcher le bouton de la souris, déplace le dans la feuille de
dessin, puis lâche le bouton et nomme cette valeur "AM/AB ="
- Procède de même pour AN/AC et MN/BC.
- Utilise l'outil «Table» de la boîte de Mesure pour afficher dans une table les valeurs de AM/AB,
AN/AC et MN/BC :
Crée une table avec l'
outil «Table» (cliquer et tirer pour avoir 3 colonnes)
Place dans cette table AM/AB, AN/AC et MN/BC :
~ Active l'
outil «Table»
~ Clique sur la mesure AM/AB puis sur la mesure AN/AC et enfin sur la mesure MN/BC
-
Déplace le point M et tabule les nouvelles valeurs (en appuyant sur la touche de tabulation).
-
Que remarques-tu au vu de la table ?
- Tu peux recommencer en modifiant le triangle ABC
Complète la propriété de Thalès :
Si deux triangles ABC et AMN sont en configuration de thalès (c’est à dire si M est sur (AB) et N
sur (AC) avec (MN) // (BC)) alors ……………………………………………….
Adapté et modifié par M. BIANCARDINI IUFM NICE
(sources diverses)
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Exercice N° 22
Découvrir des lieux
Ex1 : une parabole
-
Points à égale distance d’une droite et d’un point fixe. Construire la figure,
visualiser le lieu ; utilisation des outils “Trace” et “Lieu”.
Trace une droite d horizontale
Choisis un point F qui ne soit pas sur d
Place un point M sur d et trace en pointillé le segment [FM]
Construis la médiatrice de [FM]
Trace en pointillé la perpendiculaire en M à d, elle coupe la médiatrice de [FM] en P
Pour faire apparaître une partie de l’ensemble des points P quand M se déplace sur d :
-
Active l’outil “Trace”, sélectionne P puis déplace le point M …
Autre solution :
-
Active l’outil “Lieu”, sélectionne P puis M …
Ex 2 : sur le centre de gravité d’un triangle
chercher le lieu , préciser ses caractéristiques
et justifier.
-
Trace un cercle
choisis trois points A, B et C sur ce cercle
-
construis le triangle ABC
construis le point G centre de gravité du triangle
Fait apparaître le lieu de G quand A décrit le cercle.
Tu dois trouver un cercle. Précise son centre et son rayon.
Essaie de justifier…
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Ex 3° Les coniques : ensemble de points tels que MF/MH = e.
F un point, H le projeté de M sur la droite Oy, K le projeté sur Ox.
Dans un premier temps on détermine, pour un point K donné, les points M tels que MF/MH = e.
On cherche ensuite les lieux des points trouvés quand K décrit Ox.
La quantité e étant associée à un point E variable sur l’axe Oy, on obtient suivant la valeur de e les 3 types
de coniques.
M doit être sur le cercle de centre F et de rayon OL et sur la perpendiculaire à Ox en K
MF/MH = OL/OK=OE/OJ=e . On trace le lieu de M et M’ quand K décrit Ox.
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Exercice N° 23
Recherche d’extrema
EX1- Recherche d’une longueur minimum :
ABC un triangle rectangle en A
M un point pouvant se déplacer sur [AB]
AMNP le rectangle avec N sur [CB]
et P sur [CA]
On cherche la position de M pour laquelle
la distance PM est la plus petite possible.
Construire la figure et déplacer le point M pour déterminer la position …
Prouver votre hypothèse.
EX2- Recherche d’une aire maximum
On cherche à présent la position de M
pour laquelle l’aire de AMNP est la plus
grande possible
Construire la figure et la courbe associée
déplacer M , cherchez la position souhaitée
…
Prouver le résultat.
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EX3- Recherche d’un volume maximum
Dans un carré, on a coupé, pour obtenir le patron d’une boîte 4 carrés de même dimension.
On étudie la variation du volume en fonction de AM qui varie entre 0 et AB/2
En dessous, on a construit, à partir du patron une représentation en perspective du cube qui se modifie
quand AM varie.
Exercice N° 24
Un problème de construction où Cabri apporte de l’aide
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Exercice N° 25
A partir des médianes
1) Trace les médianes d'
un triangle ABC, note G le point d'
intersection des médianes et appelle I, J et K les
milieux respectifs des côtés opposés aux sommets A, B et C.
2) Affiche les aires des quadrilatères AJGK, BKGI et CIGJ. Modifie le triangle ABC et énonce tes
conclusions
3) Affiche à présent les aires des triangles AGK, AGJ, BGI, BGK, CGI et CGJ. Modifie le triangle ABC et
énonce tes conclusions.
2) Crois-tu que les médianes pourraient t'
aider à découper un triangle ABC en deux triangles de même aire ?
et en 4 ? et en 8 ?
Propose une méthode permettant la résolution d'
un tel problème et vérifie à l'
aide de Cabri le bien fondé de
ta démarche.
3) Et pourquoi pas en 12 ?
Exercice N° 26
Une construction à base de parallélogrammes
- Construis un point A et deux droites d1 et d2 passant par A
- Trace un segments [RS] quelconque.
Le problème consiste à construire un segment [UV] parallèle à [RS] et de même longueur, avec U sur la
droite d1 et V sur la droite d2.
Attention, quand on déplace R ou S, le segment [UV] doit conserver ses propriétés.
d1
R
U
S
A
V
M
d2
Une petite aide :
Construire d’abord un segment [MN] parallèle à [RS] et de même longueur, mais avec
seulement M sur d2
Déplacer M sur d2 …et terminer la construction
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Exercice N° 27
Autour des rotations
1- Deux Macros utiles
A. Macro Rota
En entrées, dans l’ordre : le point dont on cherche l’image, le centre puis les 3 points qui donnent l’angle
B. Macro CentreRotation
C est le point sur le cercle C(A ;AB) et sur la parallèle à la médiatrice de [AA’] passant par A
C’ est l’image de C par la rotation ; C’ est construit au moyen de la macro Rota (la rotation
conservant les angles orientés, les angles orientés BAC et B’A’C’ sont égaux)
Le centre de la rotation est le point d’intersection des médiatrices de [AA’] et [CC’]
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2- Recherche de centres de rotation
Fichier rotation.fig
3- deux animations Fichier Rotanim.fig
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Exercice N° 28
Divers
Deux macros
Des situations tirées de l’article “Géométrie en mouvement” in Repères
Enoncé 1
On considère 3 points A, B et C non
alignés. M étant un point, construire les
points N, P et Q tels que A, B et C soient
les milieux respectifs de [MN], [NP] et
[PQ].
Est-il possible de déplacer le point M pour
qu’il soit confondu avec Q ?
Déterminer la position et justifier
Enoncé 2
Deux droites d et d’ se coupent en O. Une longueur L étant donnée, quel est l’ensemble des
points dont la somme des distances à d et à d’ est égale à L.
Premier temps : cherchez les solutions sur d et d’.
Deuxième temps : cherchez les solutions sur une droite d’’ quelconque passant par O
Troisième temps : déterminez l’ensemble des solutions et justifiez.
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Exercice n° 29
Géométrie conditionnelle ou “géométrie logique”
1- des macros utiles pour les constructions qui nécessitent de distinguer différents cas :
a) La macro PingPongCentral :
Elle construit un point Q, là où on le souhaite, ce point n’existe que si un point M existe.
Le point M est par exemple un point d’intersection d’une droite avec un cercle ; ce point peut dans certain cas
exister et non dans d’autres.
Quand il existe il peut être nécessaire de construire à partir d’un point Q une sous figure ; c’est ce que permet
cette macro.
Après avoir sélectionné P et M la macro construit Q qui coïncide avec P et qui existe ssi M existe.
b) La macro PingPongAxial :
Même schéma, la symétrie de centre M est remplacée par une symétrie suivant une droite d
Après avoir sélectionné P puis d, cette macro construis un point Q qui existe et qui coïncide avec P ssi d
existe.
Dans l’exemple la droite d est une droite passant par M un point d’intersection d’un cercle et d’une droite, quand ce point n’existe pas il en est de même
pour d.
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c) La macro PointsDistincts? : Elle prend en entrées 2 points (P et Q) , elle construit un point R qui existe
et qui est confondu avec P ssi P et Q sont distincts.
Pour la construire : On construit la médiatrice de [PQ] , R est le symétrique de Q par rapport à cette droite.
Dans cet exemple en déplaçant Q sur le
segment, quand on le fait coïncider avec P,
le point R disparaît
d) La macro PointsConfondus? : Elle prend en entrée 2 points (P et Q) et un troisième point (M) auxiliaire.
Elle construit un point ( R ) qui existe et est confondu avec P (et Q) ssi P et Q sont confondus.
Pour la construire : On construit les segments [QM] et [PM] puis les droites d et d’ perpendiculaires
respectivement à (QM) en Q et à (PM) en P.
On crée ensuite les points V et U au moyen de l’outil “Points sur 2 objets” : U et V sont les points
d’intersection de, respectivement, d avec [PM] et de d’ avec [QM]. Le point R est le milieu de [UV]
U existe mais pas V par suite
R n’existe pas non plus
U et V existent donc
R aussi.
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(sources diverses)
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2- Deux applications :
a) Construction des tangentes (“extérieures”) à deux cercles : La construction va traiter les deux cas de
figure (cercles de rayons différents ou non) ; par suite en modifiant la figure on verra toujours se dessiner
les 2 tangentes.
On trace une droite sur laquelle on place les points O, R, O’, R’ ; on construit ensuite les cercles
C =C(O,OR) et C’ = C(O’,O’R’) .
On construit alors R ” l’image de R dans la translation de vecteur OO’.
R ” est confondu avec R’ ssi les cercles ont le même rayon.
On construit alors le point R1 avec PointsDistioncts? appliqués à R’ et R” : R1 existe et est confondu avec
R’ ssi les cercles ont des rayons différents.
Dans ce cas la construction des tangentes se fera à partir de ce point R1
On construit aussi le point R2 avec PointsConfondus? appliqués à R’, R” et un point auxiliaire (O par
exemple) : R2 existe et est confondu avec R’ ssi les points R’ et R’’ sont confondus autrement dit ssi les
cercles ont le même rayon.
Dans ce cas la construction des tangentes se fera à partir du point R2.
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c) un deuxième interrupteur : vraiment binaire :
M se déplace sur [AB]
P est le point d’intersection du segment [MB] avec d la médiatrice de [AB] , P existe ssi M est dans le demiplan fermé limité par d contenant A
De même Q est le point d’intersection de [AM] avec d…
On construit ensuite la médiatrice d’ de [MP], P’ est le point d’intersection de d’ avec [AB], P’ existe ssi M
est dans le demi-plan ouvert …
De même pour Q’ : intersection de d’’ la médiatrice de [QM] avec [AB] …
On construit ensuite les points + et - avec PingPongcentral(A,P’) et PingPongCentral(B,Q’)
Les points + et – n’existent pas simultanément (contrairement à l’autre interrupteur)
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PbPécal
M un point se baladant sur le diamètre [AB] d’un cercle. On construit deux cercles C1 et C2 l’un de diamètre
[AM] et l’autre de diamètre [MB].
On trace ensuite une droite d tangente aux 2 cercles (cf. figure).
Soient L et K les points de contact de d avec les cercles C1 et C2. I est le milieu de [LK]
Le problème consiste à faire construire par Cabri le lieu de I quand M varie sur [AB]
La difficulté de la construction réside dans le fait qu’il y a trois cas de figure :
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