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A Diviseurs communs à deux nombres
Définition : Le nombre aest divisible par le nombre blorsqu’il existe un nombre entier cnon nul tel que :
a=b×c
On dit aussi que a est un multiple de b.
Exemples :1 274 est-il un multiple de 49? 1 974 est-il divisible par 84?
1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26) car :
1 274 ÷49 =26 (1274 =49 ×26)
On dit également :
• 1 274 est divisible par 49 (et par 26);
• 49 est un diviseur de 1 274 (et 26 aussi).
1 974 n’est pas divisible par 84 car :
1 974 ÷84 =23,5.
On dit également :
• 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ;
• 1 974 n’est pas un multiple de 84.
Définition : Soient aet bdeux nombres entiers. Dire qu’un nombre d, non nul, est un diviseur commun de aet b
signifie que ddivise à la fois aet b.
Exemple : 12 est un diviseur commun de 24 et 36 car :
24 ÷12 =2
36 ÷12 =3
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun positif.
Exemple : Les diviseurs de 8 sont :1;2;4;8
Les diviseurs de 9 sont : 1;3;9
Ainsi 1 est le seul diviseur commun de 8 et 9, donc 8 et 9 sont premiers entre eux.
Définition : Dans la liste des diviseurs communs à deux nombres entiers aet b, il en existe un plus grand que tous les
autres. Ce Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres aet bse note PGCD(a;b).
Remarques :
• Pour tout entier a, PGCD(a;0)=a.
• Pour tout entier anon nul, PGCD(a;a)=a.
• Si best un diviseur de a, alors PGCD(a;b)=b.
Exemple : Calculer le PGCD de 24 et 36.
Les diviseurs de 24 sont : 1;2;3;4;6;8;12;24
Les diviseurs de 36 sont : 1;2;3;4;6;9;12;18; 36
Parmi leurs diviseurs communs 1;2 ;3 ;4 ;6;12, le plus grand est 12.
Donc PGCD(36;24)=12.

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B Algorithmes d’Euclide
Propriété : Soient aet bdeux entiers tels que a>b. On effectue la division euclidienne de apar b.
Si a=b×q+ralors PGCD(a;b)=PGCD(b;r)
Exemple : Calcul du PGCD de 10 165 et 3 745 par la méthode de l’algorithme d’Euclide.
a b reste
10 165 3 745 2 675
3 745 2 675 1 070
1 070 535 0
Le dernier reste non nul est 535. PGCD(10 165;3 745)=535.
C Fractions irréductibles
Définition : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Propriété : Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur, alors on obtient une fraction
irréductible.
Exemple : Simplification de la fraction 693
154 :
PGCD(693;154)=77 d’après l’exemple précédent. Donc :
693
154
=693 ÷77
154 ÷77
=9
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Exercice : Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 oeufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’oeufs et de poissons de façon que :
•tous les paquets aient la même composition ;
•après mise en paquet, il reste ni oeufs, ni poissons.
1. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier.
2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque
paquet ?
Solution :
1. On a 2622
19
=138, mais 2530
19
≈133,2.
Ce qui veut dire que l’on ne pas répartir les 2 530 poissons dans 19 paquets (il en reste 3).
2. Le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser est un diviseur commun à 2 622 et à 2 530. Puisque c’est le
plus grand c’est donc leur PGCD que l’on calcule grâce à l’algorithme d’Euclide :
a b reste
2622 2530 92
2530 92 46
92 46 0
2622 =2530 ×1+92
2530 =92 ×27 +46
92 =46 ×2+0
Le PGCD est le dernier reste non nul, donc 46.
Effectivement : 2622
46
=57 et 2530
46
=55
Dans chacun des 46 paquets il y aura 57 œufs et 55 poissons.
Collège Willy Ronis page 2 Moisan