1 PGCD - WordPress.com
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1 PGCD A Diviseurs communs à deux nombres Définition : Le nombre a est divisible par le nombre b lorsqu’il existe un nombre entier c non nul tel que : a = b ×c On dit aussi que a est un multiple de b. Exemples :1 274 est-il un multiple de 49 ? 1 974 est-il divisible par 84 ? 1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26) car : 1274 ÷ 49 = 26 (1274 = 49 × 26) 1 974 n’est pas divisible par 84 car : 1974 ÷ 84 = 23, 5. On dit également : • 1 274 est divisible par 49 (et par 26) ; • 49 est un diviseur de 1 274 (et 26 aussi). On dit également : • 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ; • 1 974 n’est pas un multiple de 84. Définition : Soient a et b deux nombres entiers. Dire qu’un nombre d, non nul, est un diviseur commun de a et b signifie que d divise à la fois a et b. Exemple : 12 est un diviseur commun de 24 et 36 car : 24 ÷ 12 = 2 36 ÷ 12 = 3 Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun positif. Exemple : Les diviseurs de 8 sont :1; 2; 4; 8 Les diviseurs de 9 sont : 1; 3; 9 Ainsi 1 est le seul diviseur commun de 8 et 9, donc 8 et 9 sont premiers entre eux. Définition : Dans la liste des diviseurs communs à deux nombres entiers a et b , il en existe un plus grand que tous les autres. Ce Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres a et b se note PGCD(a ;b). Remarques : • Pour tout entier a, PGCD(a ;0)=a. • Pour tout entier a non nul, PGCD(a ;a)=a. • Si b est un diviseur de a , alors PGCD(a ;b)=b. Exemple : Calculer le PGCD de 24 et 36. Les diviseurs de 24 sont : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 Les diviseurs de 36 sont : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 Parmi leurs diviseurs communs 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12, le plus grand est 12. Donc PGCD(36 ;24)=12. 1 PGCD B Algorithmes d’Euclide Propriété : Soient a et b deux entiers tels que a > b. On effectue la division euclidienne de a par b. Si a = b × q + r alors PGC D(a; b) = PGC D(b; r ) Exemple : Calcul du PGCD de 10 165 et 3 745 par la méthode de l’algorithme d’Euclide. a 10 165 3 745 1 070 b 3 745 2 675 535 reste 2 675 1 070 0 Le dernier reste non nul est 535. PGCD(10 165 ;3 745)=535. C Fractions irréductibles Définition : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Propriété : Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible. 693 : 154 PGCD(693 ;154)=77 d’après l’exemple précédent. Donc : Exemple : Simplification de la fraction 693 693 ÷ 77 9 = = 154 154 ÷ 77 2 Exercice : Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 oeufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat. Il souhaite vendre des assortiments d’oeufs et de poissons de façon que : • tous les paquets aient la même composition ; • après mise en paquet, il reste ni oeufs, ni poissons. 1. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier. 2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet ? Solution : 2622 2530 = 138, mais ≈ 133, 2. 19 19 Ce qui veut dire que l’on ne pas répartir les 2 530 poissons dans 19 paquets (il en reste 3). 1. On a 2. Le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser est un diviseur commun à 2 622 et à 2 530. Puisque c’est le plus grand c’est donc leur PGCD que l’on calcule grâce à l’algorithme d’Euclide : a 2622 2530 92 b 2530 92 46 reste 92 46 0 2622 = 2530 × 1 + 92 2530 = 92 × 27 + 46 92 = 46 × 2 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul, donc 46. 2530 2622 = 57 et = 55 Effectivement : 46 46 Dans chacun des 46 paquets il y aura 57 œufs et 55 poissons. Collège Willy Ronis page 2 Moisan
