Partie 0. Révision

UFR de Mathématiques Licence sciences et technologies A - S2 MASS
Université de Lille 1 Année 2011/2012
Analyse 2 - Exercices
Partie 0. Révision
Exercice 0.1. Dériver les functions suivantes :
1
(x2−2)3
x4−1
2x
1
1 + ln(x)e2x1
√x3
3
s2x+ 1
cos(x)
1
2x2sin3(x)1 (x2−2)3sin2(4x)
3
p2x2+ 3xssin(x2−1)
x2cos(x)ex3x2cos(2x)et p1−cos3(x) sin(2x)
Exercice 0.2. Déterminer la dérivée seconde de
f(x) = 1
x+ 1 et de g(x) = 2x2+ 3x 4x3
Exercice 0.3. Soit f:R→Rla fonction définie par f(x) = x+ex.
1. Montrer que fest une bijection.
2. Soit gla fonction réciproque de f. Déterminer g(1) et g0(1).
Exercice 0.4. Soit f(x) = ln x+px2−1.
1. Déterminer le domaine de définition Dfde f.
2. Déterminer f0. Connaissez-vous une fonction dont la dérivee est f0?
Refaire l’exercice avec, cette fois-ci, f(x) = 1
2ln 1 + x 1−x.
Exercice 0.5. Rappeler les dérivées des fonctions suivantes :
tan(x)et arctan(x), th(x)et argth(x)
arcsin(x),arccos(x), argsh(x), argch(x)
1

Partie I. Intégration
1 Primitives
Rappel : Soit Iun intervalle de Ret soit f:I→Rune fonction. Une fonction dérivable
F: [a, b]→Rest primitive de fsi F0=f.
Montrer la propriété suivante : Si F1, F2sont toutes deux primitives d’une fonction f:I→R,
alors il existe une constante c∈Rtelle que F1=F2+csur l’intervalle I.
Exercice 1.1. Déterminer les primitives de :
1. f(x) = c,x∈R.
2. f(x)=5x,x∈R.
3. f(x) = 1
x,x > 0.
4. f(x) = 1
x9,x > 0.
Exercice 1.2. Déterminer les primitives suivantes :
1. Zxαdx,α∈R.
2. Zexdx,Ze19xdx,Zeαx dx,α∈R.
3. Zcos(αx)dx,α∈R.
Exercice 1.3. 1. Déterminer la dérivée de x7→ ln(sin(x)).
2. Déterminer les primitives de tan(x).
Conseil : Il est indispensable de connaître quelques "primitives usuelles" comme par exemple
celles des fonctions
1, xα,sin(x),tan(x),ln(x),1
1±x2,1
√1±x2,1
cos2(x), ....
On trouve des tableaux de primitives dans tous les livres. À partir de ces primitives on peut en
déduire une multitude d’autres via des techniques d’intégration comme le changement de variables
(voir plus loin).
1.1 Changement de variables
Un outil très important pour la détermination de primitives est le changement de variables. Il
repose sur la dérivée composée : si F, f :J→Rsont des fonctions telles que Fest une primitive
de fet si ϕ:I→Jest une fonction dérivable, alors qui trouve une primitive de
f◦ϕϕ0?
Exemple 1 : Soit f(x) = xcos(x2)et cherchons une primitive de f. On a
Zf(x)dx =1
2Zcos(x2)2x dx =1 2Zcos(ϕ(x))ϕ0(x)dx =1 2Zcos(u)du
2

si u=ϕ(x) = x2(et donc du/dx = 2xce que l’on note aussi par du = 2x dx).
Conclusion : On a Rf(x)dx =1
2sin(u) + c=1 2sin(x2) + c,c∈R.
Exemple 2 : Soit f(x) = 1
√1−x2,|x|<1, et cherchons une primitive de f. Pour ce faire on
considère ϕ: [−π/2, π/2] →[−1,1],ϕ(t) = sin(t). Avec x=ϕ(t)on a √1−x2= cos(t)(ok ?) et
dx/dt =ϕ0(t) = cos(t). Donc
Zf(x)dx =Z1
cos(t)cos(t)dt =Z1dt =t+c , c ∈R.
Le problème restant est que le résultat est une fonction de la variable tet non pas de x. Heu-
reusement ϕ: [−π/2, π/2] →[−1,1] est une bijection ! Ainsi on peut considérer ϕ−1: [−1,1] →
[−π/2, π/2] qui n’est rien d’autre que t=ϕ−1(x) = arcsin(x).
Conclusion : On a Rf(x)dx = arcsin(x) + c,|x|<1.
Remarque : Dans l’exemple précédent, on aurait pu prendre à la place de ϕ(t) = sin(t)la fonction
ψ: [0, π]→[−1,1],ϕ(t) = cos(t). Dans ce cas on obtient
Zf(x)dx =Z1
sin(t)(−sin(t)) dt =Z−1dt =−t+c=−arccos(x) + c , c ∈R,
toujours car ψ: [0, π]→[−1,1] est une bijection.
Alors lequel est le bon résultat ? Y a-t-il une erreur ?
Exercice 1.4. Déterminer les primitives suivantes et préciser le domaine de définition :
1. Z1
a2+x2dx,a6= 0, et Z1 x2+ 2x+ 2 dx.
2. Z1
√a2−x2dx,a > 0.
3. Z1
√1 + x2dx.
4. Z1
√2x−x2dx,Zx √x2+x+ 1 dx,Z1 + x √1−x2dx.
Exercice 1.5. Calculer les primitives suivantes et préciser le domaine de définition :
1. Zp1−x2dx,Zpa2+u2du,a > 0.
2. Zpx2+ 2x+ 5 dx,Zp3−2x−x2dx,Z1
√x2+ 4x+ 5 dx.
3. Zdx
√a2−x2+√1−x2avec a > 0,a6= 1.
Exercice 1.6. Calculer les primitives suivantes :
1. Zcos3(x) sin5(x)dx,Zsin(x)
cos2(x)dx.
2. Zx+ 2
x2+ 4x+ 5dx,Zsin(2x)
(2 + sin2(x))3dx et Z(x2+ 1)px3+ 3xdx.
3. Zex
ex+ 1 dx et Zex e2x+ 1 dx.
3

Exercice 1.7. Calculer les primitives suivantes :
1. Zsin(x) cos(x)
1 + sin2(x)dx.
2. Zx2+ 4/3x
√x3+ 2x2+ 7dx.
Exercice 1.8. Calculer les primitives suivantes :
Zdx
xln(x2)et Z√x x+ 1 dx.
Si une fonction R-intégrable f: [a, b]→Rpossède une primitive F, alors
Zb
a
f(t)dt =F(b)−F(a).
Exercice 1.9. Soit I=] −a, a[et f:I→Rune fonction ayant une primitive.
1. Montrer que fa une primitive Ftelle que F(0) = 0.
2. Montrer que, si fest impaire, alors Fest paire.
3. Montrer que, si fest paire, alors Fest impaire.
Exercice 1.10. Pour x∈R, soit ϕ(x) = Z2x
x
e−t2dt.
1. Déterminer ϕ0(x),x∈R.
2. Calculer ϕ(0) et montrer que la fonction ϕest impaire.
Exercice 1.11. La fonction f(x)=[x],[x]la partie entière de x, possède-t-elle une primitive ?
A retenir : Il existe des fonctions (même R-intégrables...) sans primitive (par exemple f(x)=[x]).
En revanche, toute fonction continue a une primitive.
2 Intégration par parties
La derivée d’un produit uv est (uv)0=u0v+uv0et donc u0v= (uv)0−uv0. Intégrer ceci donne
Zu0(x)v(x)dx =u(x)v(x)−Zu(x)v0(x)dx .
Exercice 2.1. Calculer les primitives suivantes :
1. Zx2e3xdx,Zx2(1 −x)20 dx.
2. Zx
cos2(x)dx,Z(3x2+ 1) cos(4x)dx.
4

3. Zx2exdx,Zxcos(x)dx.
4. Zcos(2x) sin(3x)dx,Zcos2(x)dx.
5. Zln(t)dt,Zln(t)
tdt,t > 0.
6. Zarctan(x)
1 + x2dx.
Exercice 2.2. Calculer l’intégrale K(x) = Zx
0
t3e−t2dt,x > 0, et étudier lim
x→∞ K(x).
Exercice 2.3. Soit l’intégrale Ip=Zπ
0
sin2p(x)dx,p∈N.
1. Montrer que Ip−Ip+1 =Zπ
0
cos2(x) sin2p(x)dx.
2. Montrer que Ip−Ip+1 =1
2p+ 1Ip+1.
3. En déduire la valeur de Ip:Ip=π(2p)!
22p(p!)2.
Exercice 2.4. On considère les intégrales
In=Zπ
0
sh(λx) sin(nx)dx et Jn=Zπ
0
ch(λx) cos(nx)dx n > 0.
1. Établir les relations
In=−n
λJnet In=−(−1)n nsh(λπ) + λ nJn.
2. En déduire la valeur de Inet de Jn.
Exercice 2.5. Soient p, q ∈Net soit Ip,q =Z1
0
xp(1 −x)qdx.
1. Montrer que Ip,q =Iq,p .
2. Établir une relation de récurrence entre Ip,q et Ip−1,q+1.
3. En déduire que Ip,q =p!q!
(p+q+ 1)!.
4. Utiliser ce qui précède pour déterminer la valeur de
Jp,q =Zπ
2
0
sin2p+1(t) cos2q+1(t)dt .
Exercice 2.6. Soit fn(x) = xn
1 + x(2 + sin(x)) et soit
In=Z1
2
0
fn(x)dx et Jn=Z100
10
fn(x)dx , n ∈N.
Donner des "bonnes" encadrements pour fndans [0,1/2] et dans [10,100] et en déduire les limites
lim
n→∞ Inet lim n→∞ Jn.
5