« 3 divisé par 4 » (signification quotient) ou « 3 quarts

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Texte servant en formation PLC J Briand 2006.
1. Analyse
a) Dans la vie de tous les jours le signe « ¾ » se lit souvent « 3 quarts » mais aussi parfois « 3
divisé par 4 » . Par cette lecture, nous pouvons déjà constater que le même representanem renvoie
(au moins) à deux interprétants possibles :

« 3 quarts » renvoie au partage d’une grandeur unité (de mesure 1) qui est fractionnée en 4
parts égales (les quarts) et l’on prend 3 de ces quarts. Les programmes parlent de
« fractionnement de l’unité ».

« 3 divisé par 4 » renvoie au partage d’une grandeur de mesure 3 qui est partagée en 4
grandeurs de mesure égale (cela peut être un segment de mesure 3, cela peut être 3 pizzas,
etc.). Les programmes parlent de cette signification comme d’une « signification
quotient » mais le mot ne doit pas faire illusion : le travail de liaison entre cette
introduction de la fraction et le quotient du numérateur par le dénominateur reste à faire,
nous y reviendrons.
b) Si l’on s’intéresse à la nature des objets traités, on lit une classification d’une autre nature :

« 3 divisé par 4 » renvoie la fraction proportion si le numérateur et le dénominateur sont
des grandeurs de nature différentes :

fraction rapport si les grandeurs sont de même nature

fraction de l’unité si le numérateur est un, le dénominateur étant le fractionnement de
l’unité

fraction d’une quantité si le numérateur est une grandeur et le dénominateur un nombre
c) Plaçons nous maintenant du côté des représentations des élèves : servons nous de l’analyse de
Harrisson Ratsimba Rahdjon1, qui, dans sa thèse, met en évidence deux modèles implicites
d’actions chez le jeune élève (c'est-à-dire deux façons de « voir spontanément» les fractions) : le
premier est celui de la commensuration (Pour faire 5 il en faut 3), le second celui du
1
RATSIMBA-RAJOHN ( 1982) : « Deux méthodes de mesures
RDM :Recherche en didactique des mathématiques. Vol. 3-1 pages 65-112.
rationnelles ».
fractionnement de l’unité (prendre 3 fois 1/5). La commensuration est le modèle implicite qui
permet de comprendre la fraction quotient au sens qui a été décrit plus haut.
Si les exercices abondent pour s’entraîner avec le modèle du fractionnement de l’unité, ils sont
bien moins présents pour permettre une confrontation avec le modèle de la commensuration.
2. Pistes de travail
Passer de la fraction partage à la fraction quotient :
- On a vu que les élèves ont tous plus ou moins un savoir relatif aux fractions qui est celui du
partage. L’unité de référence est en filigrane alors que, pour les nombres entiers cela n’est pas le
cas : en 6°, on ne dit pas 3 de quelque chose, mais on dit 1/3 de la pizza. Ce qui veut dire que la
fraction est à mi-chemin entre un opérateur et un nombre.
Toutefois, si le travail a été bien effectué, les élèves ont pris l’habitude d’additionner des fractions
décimales : l’écriture 3 + 4/10 + 3/100 devrait être porteuse de sens à l’entrée en 6°. La référence
à la droite numérique devrait être acquise. En effet, un travail sur « changement de cadre » est
utile : la fraction est placée sur la droite numérique afin qu’elle prenne définitivement statut de
nombre : elle pourra y être encadrée par deux entiers (attention, sans référence, pour l’instant, à la
division, ce qui serait une nouvelle conception de la fraction), rangée, etc.
Comment alors rapprocher 3/5 et 0,6 ? Si nous voulons, à juste titre, que la fraction 3/5 soit
identifiée à 0,6, elle peut l’être par un jeu d’écritures fondées sur le partage sur la droite graduée :
3/5 c’est aussi 6/10 qui, par convention, s’écrit 0,6. On notera que, dans ce cas, il n’y a pas de
recours à la division. Avec une démarche similaire, 2/3 ne peut être identifié (approché) par
0,666. On comprend alors que la comparaison non sémantique, c'est-à-dire sans référence à la
droite numérique, de 0,6 de 0,66 de 0,7 à 2/3 pose problème à l’école élémentaire : on ne dispose
pas d’instruments formels, pas de sémiose convenable pour conclure.
Si nous décidons d’engager la division de 2 par 3 selon le principe de la division décimale, nous
allons obtenir 6/10 + 6/100+6/1000 etc. Le quotient de la division de 2 par 3 est alors
encadrable par 0,6<q<0,7 0,66<q<0,67, etc. mais la fraction 2/3 reste « à l’écart » si elle n’est
conçue que comme fraction de l’unité.
- Le recours à la fraction quotient s’avère fécond. Encore faut-il ne pas faire un tour de passepasse.
Nous avons donc une identification comme suit :
- Sur un segment unité, 2/3 se positionne précisément (par pliage par exemple).
- Pour mesurer la longueur du segment, on divise 1 par 3 et l’on obtient 0,33… et l’on reporte
deux fois. On identifie alors 2/3 et 0,66…
Si la fraction est dans un milieu ou la commensuration est présente, On peut travailler sur un
segment de mesure 2 qui aurait à être partagé en 3 (Pour 3 cela fait 2 : (2/3) x 3 = 2 ). 2/3 est la
mesure du segment. L’approche par la division (2 divisé par 3) aboutit à chercher une mesure
décimale (q) de ce même segment. L’identification de 2/3 et le quotient q (encadré par 0,66 et
0,67) est directe.
Remarque 1 : un exemple pris avec 3/5 permettra de « toucher » précisément la fraction. (C’est
l’occasion de faire la distinction entre les fractions décimales et les autres).
Remarque 2 : Si l’on s’en tient à des fractions (1/n) de dénominateur 1, l’identification entre la
position de la fraction, marque de la longueur du segment et le nombre obtenu en divisant 1 par
n est directe. Mais cela ne fonctionne que pour ces fractions.
Exercices possibles avant de passer à des rationnels non décimaux (comme ci-dessus) :
On présente une bandelette cartonnée de 3 unités de long (l’unité est arbitraire). On demande de
partager cette bandelette en 5 par une méthode simple : le pliage va apparaître. La question est :
quelle est la longueur en fonction de l’unité de départ ?
D’un point de vue savant, la longueur L est telle que 5L = 3. (C’est bien le modèle de
commensuration qui est sous jacent). Bien sûr, on peut travailler en fractionnant chaque unité en
3. Ce n’est pas du tout naturel.
Les élèves vont diviser 3 par 5 et obtenir 0,6. Le lien entre 0,6 et 3/5 n’est pas évident. Pour
avancer, le professeur peut demander si la division de 3 par 5 donne le même résultat que la
division de 6 par 10. Dès lors, l’identification de 0,6 à 3/5 permet d’affirmer que 3/5 est la
solution de la multiplication à trou 5L=3.
Remarque : on peut proposer l’exercice avec bandelette de 6 à partager en 10, ce qui simplifie le
questionnement.
3. Produit de fractions
Situations pour comprendre le produit de deux rationnels en s’appuyant sur le calcul
d’aires :
1°) On se donne un nombre entier de centimètres (8cm). On cherche le plus possible de
rectangles ayant ce nombre comme demi-périmètre et on calcule son aire.
Dans un premier temps, les élèves résolvent ce problème dans les entiers. Ils déterminent les
couples solution (1 ;7), (2 ;6),(3 ;5),(4 ;4) et déterminent les aires associées. Ensuite, arrivés à
ce stade, ils sont capables de construire des rectangles ayant les dimensions faisant intervenir
des fractions simples.
Il s’agit maintenant de calculer l’aire d’un tel rectangle. L’existence de cette aire est évidente
pour l’élève.
5
1/2
2
1/2
Les élèves calculent les différentes parties de ce rectangle en utilisant la multiplication dans N
et la multiplication d’une fraction par un entier (connue) et en calculant 1/2x1/2 en se
ramenant au carré d’aire 1.
Il s’agit ensuite d’expliciter le calcul effectué :
Ils ont donc : 1/2x1/2=1/4
Il faut calculer (5+1/2)x(2+1/2).
(5+1/2)x(2+1/2).= 5x2 + 5x1/2 + 2x1/2 + 1/2x1/2 = 10 + 5/2 + 2/2 +1/4 = 13 + ½ + 1/4
2°) produit de deux rationnels en s’appuyant sur la juxtaposition d’aires :
en suivant l'une des approches possibles : fractionnement2 ou commensuration en fonction de
l'introduction choisie pour les rationnels :
2
fractionnement : une unité (de longeur, d'aire, de masse...) étant choisie, le rationnel 2/3 est donc considéré
comme deux fois 1/3
2/3
0
2/3
1
commensuration : 2/3 est considéré comme le nombre qui multiplié par 3 donne 2 par report de mesure. Cela
correspond au quotient de 2 par 3.
2/3
0
2/3
2
Pour une étude approfondie de ces deux modèles voir : "Deux méthodes de mesures rationnelles ». RATSIMBARAJOHN in Revue .de Didactique.des Mathématiques. Ed. La pensée sauvage. Volume. 3-1. Pages.65-112
Première approche (qui se fonde sur l'introduction des fractions à partir de “ partages de
l’unité”) : soit à définir le produit de 2/5 par 3/4 en se référant aux mesures des surfaces :
2/5
3/4
1
Dans le carré unité (voir figure) , il y a 20 rectangles élémentaires. Le rectangle d'aire 2/5
multiplé par 3/4 est formé de 6 rectangles élémentaires. Son aire est donc les 6/20 de l’unité.
Deuxième approche (qui se fonde sur l'introduction des fractions à partir de la
“ commensuration ”).
Soit à définir le produit de 2/5 par 3/4 en se référant aux mesures des aires : il faut 5 longueurs
de 2/5 pour faire 2 et 4 longueurs de 3/4 pour faire 3.
3
1
2/5
¾
Ce qui donne un grand rectangle de dimensions 2 et 3 d'aire 2x3 soit 6. Il faut 5x4 petits
rectangles de dimensions 2/5 et 3/4 pour obtenir le grand rectangle. L'aire des petits rectangles
est donc 20 fois plus petite. Elle est de 6/20. On décide d’identifier 2/5x3/4 et 6/20.
Ce travail (première ou deuxième approche) fait sur quelques fractions simples est appliqué
au cas des fractions décimales et institutionnalisé sur ce seul cas (exemple : 2/10 x 3/100 =
6/1000).
Cela permet alors de donner du sens à 3,7 par 4,56 ; 3,7 étant identifié à 37/10 ou à 3+7/10,
4,56 à 456/100 ou à 4+5/10+6/100, le produit 3,7x4,56 est donc égal à : (37/10)x(456/100) ou
(3+7/10)x(4+5/10+6/100).
Annexe
Extrait d’un questionnaire proposé par Claire Margolinas dans son DEA3. Le questionnaire est
proposé à 150 élèves de classes de troisième et de seconde.
3.1 Etude de réponses d’élèves :
à la question 2 :
Ecrire deux nombres entiers (sans racines) qui encadrent le nombre 13
...< 13 <...
Réponses justes 61,2%. La première réaction des élèves est de demander au professeur « ça
fait quelle valeur ? » .
Question 5 a:
Ecrire deux nombres décimaux avec trois chiffres après la virgule (sans fraction) qui
encadrent le nombre 25/7.
...<25/7<...
Réponses justes : 66%
Question 5 b :
Ecrire le meilleur encadrement possible avec 3 chiffres après la virgule :
...<25/7<...
Réponses justes : 9,5%. 40 copies répondent 3,570<25/7<3,572.
En effectuant la division de 25 par 7, les élèves trouvent 3,571…. Ils identifient 25/7 à 3,571
donc proposent cet encadrement. Vraisemblablement, ces élèves conçoivent les décimaux à
trois chiffres après la virgule comme l'ensemble sur lequel il faut travailler.
Question 6 :
Range du plus petit au plus grand
0, 2 (voir note de bas de page4) ; 2 ; 1 ;3,5 ; 0,21 ; 3 ; 2 ; 3,545
Réponses justes : 45%.
« on peut noter la grande difficulté à ranger les racines parmi les nombres ». Erreur de
rangement des racines : 35% des élèves. Prévoir des réponses possibles
Question 7 :
Ecrire trois nombres entiers ou décimaux sans racines appartenant à l’intervalle ] 6 ;
Réponse juste : 26%.
11 [
Question 9 (extraits) :
Y-a-t-il un plus grand nombre de l’intervalle [2 ; 3[ ?
Oui et c’est....
Oui, mais je ne sais pas.
Non parce que......
Question 10 :
Le nombre 0, 9 est égal au nombre 1, ou plus petit, ou plus grand.
3
« Etude des connaissances sur les nombres après la classe de 4° : le nombre dans tout ses états ». Mémoire de
DEA de didactique des mathématiques. Université de Bordeaux I 1985
4
Cette convention d’écriture était expliquée aux élèves en début de test. Il s’agit de l’écriture de la suite infinie
des 9.
Question 11 (extraits)
Ecrivez une division de nombres entiers qui ne se finit jamais :
.... :....
Pensez-vous qu’il y a une règle pour trouver les divisions qui finissent ?
Question 12 :
La fraction 3/31 a-t-elle une écriture décimale illimitée périodique ?
Question 14 :
y-a-t-il des nombres qui ne sont pas le résultat de la division de deux nombres entiers ?
Oui, je peux en écrire un : ......
Non il n’y en a pas.
Oui, mais je ne sais pas dire lesquels.
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