1 Exercices d`introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 3: Vecteur vitesse
1 Exercices d’introduction
Exercice 1
1. Dans la cour de récréation.
(a) Où cours-je ? Un enfant dans une cour de récréation joue a tourner très vite sur lui même.
Après quelques instants il s’arrête et titube. Depuis sa position initiale il fait deux pas vers la
droite, un pas à gauche, trois pas en avant et un pas en arrière. Donner, en pas, la position
de l’enfant par rapport à sa position initiale ? Si chaque pas mesure 0.7 mètres, quelle est la
distance séparant l’enfant de son point d’origine ?
(b) Passe à dix ! Dans un jeu de passe à dix le ballon d’une équipe parcourt depuis son point
d’origine 3 mètres vers l’est, 2 mètres vers le nord, 1 mètre au nord-est, 4 mètres à l’ouest et
2 mètres au sud. Déterminer graphiquement la résultante du vecteur déplacement du ballon.
Combien de mètres la balle à t-elle parcourue ?
(c) Un enfant s’amuse à lancer un ballon léger le plus haut possible verticalement. Alors qu’il se
trouve à 10 mètres d’un bâtiment il lance la balle à 5 mètres de hauteur. Un coup de vent
violent envoie de manière horizontale le ballon vers le toit du bâtiment haut de 5 mètres. Le
ballon est arrêté par le rebord du toit. Quelle distance a parcouru le ballon ? Quelle est le
module du vecteur déplacement du ballon ?
2. Une fourmi se déplace sur une ligne droite Ox de la manière suivante :
1. Elle avance de 5 cm en 1 sà vitesse constante
2. Elle recule à une vitesse de 4 cm.s−1pendant 2 s
3. Elle avance à une vitesse de 2 cm.s−1sur une distance de 3 cm
4. Elle avance de 4 cm en 0.5 sà vitesse constante
5. Elle recommence les étapes 1 à 4 indéfiniment
(a) Après chaque étape du cycle, représenter le vecteur déplacement de la fourmi −−→ OMi.
(b) Déterminer la vitesse instantanée à chaque étape.
(c) Calculer le vecteur vitesse moyen ~vientre le début du cycle et la fin de l’étape i.
(d) En déduire la vitesse moyenne globale de la fourmi.
Exercice 2 - Tapis roulant
Un tapis roulant se déplace à une vitesse vt= 1 m/s par rapport au sol. Une personne marche sur
le tapis roulant à la vitesse vp= 3 km/h par rapport au tapis. Déterminer la vitesse de la personne par
rapport au sol.
Exercice 3 - Tapis roulant - bis
Deux tapis roulants, de même longueur L= 50 m, se déplacent chacun à une vitesse vt= 1 m/s par
rapport au sol mais en sens inverse. Un père s’engage sur le premier tapis roulant, à la vitesse vp= 3
km/h par rapport au tapis. Son fils s’engage, au même instant, à contre sens sur l’autre tapis roulant,
en courant à la vitesse ve= 7 km/hpar rapport au tapis.

L
vp
ve
1. Qui arrivera en premier ?
2. A quelle vitesse doit courir l’enfant pour arriver en même temps que son père ?
3. L’enfant peut courir à une vitesse maximale de 24 km/h pendant 5 secondes puis à 7 km/hle reste
du temps. Peut-il arriver avant son père ?
2 Mise en application
Exercice 1 - Mouvements caractéristiques
1. On considère un point M qui décrit la trajectoire définie dans le repère cartésien (O,~ i,~ j)par
−−→
OM =Rcos(ωt)
~
i+Rsin(ωt)~ j
(a) Représenter la trajectoire du point M sur un schéma.
(b) Calculer le vecteur vitesse puis sa norme à l’instant t. Le représenter à quelques instants sur le
graphe.
(c) Quelle est la nature du mouvement ?
2. On considère maintenant la trajectoire suivante
−−→
OM =acos(ωt)
~
i+bsin(ωt)~ j
avec a6=b
(a) Représenter la trajectoire du point M sur un schéma.
(b) Calculer le vecteur vitesse puis sa norme à l’instant t.
(c) Déterminer le(s) instant(s) toù les vecteurs position et vitesse sont perpendiculaires. Les
représenter sur le schéma.
Exercice 2 - Décollage d’un avion
La phase de décollage d’un avion est approximée de la manière suivante :
•Initialement à l’arrêt, le pilote active la manette des gaz. L’avion se met à avancer selon l’équation
horaire x(t) = at2avec a = 0.4 m.s−2. Après 3 km, l’avion atteint sa vitesse de décollage vd.
•Le pilote fait ensuite les réglages nécessaires pour avoir une ascension suivant un mouvement
rectiligne uniforme avec un angle de montée de 15◦.
•Une fois arrivée à une altitude de 10000 m, le pilote arrête la montée tout en maintenant la vitesse.
1. Déterminer la vitesse de décollage vd.
2. Quelle est la durée de la phase de montée ? On donne cos(15◦)≈0.97 et cos(75◦)≈0.26.
3. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de l’avion à tout instant.
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4. Un passager suis la phase de décollage de l’avion en regardant la carte vue de dessus affichée sur
l’écran du siège avant. A quelle vitesse l’avion semble-t-il progresser ?
Exercice 3 - Sur la route
1. Sur une route rectiligne, une voiture (1) de longueur l1de vitesse v1double un autocar de longueur
Let de vitesse V. En face arrive une voiture (2) de longueur l2à la vitesse v2. Quelle est la distance
minimale D entre l’avant de (1) et l’avant de (2) au moment où (1) s’engage dans le dépassement qui
permet à cette dernière de doubler ? On prendra pour les applications numériques l1 = l2 = 4 m,
L= 20 m,v1=v2= 90 km.h−1et V= 72 km.h−1.
2. Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne Ox. Un piéton décide
de traverser la route au moment où la voiture se trouve à un distance D. Le mouvement du piéton
est rectiligne, uniforme, de vitesse ~v, inclinée d’un angle φpar rapport à l’axe Oy. La voiture se
déplace à la vitesse uniforme ~ V=V~ i.
Quelle doit être la valeur de φpour que la collision avec la voiture soit évitée, le module vde ~v étant
minimum ? On précisera la valeur de vmin.
L
D
V
vx
y
φvoiture
Ο
Quelle doit ˆetre la valeur de φpour que la collision avec la
voiture soit ´evit´ee, le module vde "v´etant minimum ? On
pr´ecisera la valeur de vmin.
III. La com`ete de Halley
La com`ete de Halley 1poss`ede une trajectoire elliptique tr`es allong´ee due `a l’attraction du soleil, et dont
la p´eriode est d’environ 76 ans. On peut montrer que la distance de la com`ete au soleil est reli´ee `a un angle
polaire de la mani`ere suivante (pet e´etant des constantes) :
r(θ)= p
1+ecos(θ−θ0)
M
soleil
comète
a) Montrez que edoit n´ecessairement ˆetre inf´erieur `a 1. Puis, choisissez le centre et les axes du rep`ere polaire
et d´eterminez alors θ0.
b) Donnez l’expression du vecteur position et repr´esentez-le au point M, ainsi que les vecteurs unitaires du
rep`ere polaire local. Pourquoi parle-t-on de rep`ere local ?
c) Donnez l’expression du vecteur vitesse et repr´esentez le au point M.
d) Donnez l’expression du vecteur acc´el´eration et repr´esentez le au point M. D´eterminez la portion de la
trajectoire o`u la com`ete acc´el`ere puis la portion o`u elle d´ec´el`ere. Qu’en est-il du vecteur acc´el´eration entre
ces portions de trajectoire ? Montrez que lorsque la com`ete se trouve au plus pr`es du soleil, sa vitesse est
perpendiculaire au rayon. Montrez qu’il en est de mˆeme lorsqu’elle se trouve au point le plus ´eloign´e. A quel
endroit la c´el´erit´e de la com`ete est-elle maximale ? A quel endroit est-elle minimale ?
IV. Man`ege
Un man`ege pour enfants tourne avec une vitesse angulaire ωconstante. Le responsable du man`ege doit,
pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation.
a) Partant du centre, il suit un rayon de la plate-forme avec un mouvement de c´el´erit´e vconstante par
rapport au man`ege.
i) Etablissez les ´equations du mouvement du responsable dans un r´ef´erentiel R!li´e au man`ege : elles d´ecrivent
le mouvement du responsable vu par les enfants. Etablissez ensuite celles-ci dans un r´ef´erentiel Rli´e au sol :
elles correspondent au mouvement observ´e par les parents.
ii) D´eterminez la vitesse puis l’acc´el´eration du responsable dans le r´ef´erentiel R`a partir des ´equations de son
mouvement.
b) Le responsable du man`ege parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayon r0
concentrique `a la plate-forme, avec toujours la mˆeme c´el´erit´e vpar rapport au man`ege. Reprenez les questions
pr´ec´edentes. Que se passe-t-il en particulier si v
r0=−ω?
1Edmund Halley (1656-1742), astronome et ing´enieur britannique, surtout connu pour avoir d´etermin´e la p´eriode de lacom`ete
dite ”de 1682”, qui fut rebaptis´ee ”de Halley” lors de son retour en 1758
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Exercice 4 - Dans le train
Un train roule vers l’est sur une voie rectiligne à la vitesse de 60 km/h. À l’intérieur, un frère et une
soeur jouent au ballon. Ils sont séparés par une distance de 2 m. La fille lance le ballon horizontalement
vers le nord. Une seconde après, le garçon attrape le ballon.
1. Quelle est la vitesse du ballon par rapport au train ?
2. Quelle est la vitesse du ballon, vu par un observateur immobile au sol ?
Exercice 5 - Bac
Un bac traverse une rivière de largeur l= 20 m, avec la vitesse ~v par rapport à l’eau, orthogonale au
courant. La vitesse ~u du courant par rapport à la rive est uniforme. Pour les applications numériques,
on prendra v= 0.8m.s−1et u= 0.5m.s−1.
1. Dans un repère lié au courant, dessiner la trajectoire du bac. Quelle est dans ce repère la vitesse
des arbres plantés sur la rive ? Calculer le temps que met le bac à traverser la rivière.
2. En se plaçant cette fois dans un repère lié à la rive, représenter la trajectoire du bac et calculer le
temps de traversée.
3. Quelle direction le bac doit-il emprunter pour traverser la rivière entre deux embarcadères situés
en vis-à-vis sur les deux rives ?
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3 Approfondissement
Exercice 1 - À la pêche
Un pêcheur sur son bateau remonte une rivière qui s’écoule à vitesse constante par rapport à la berge.
La vitesse du bateau par rapport à l’eau est constante. En passant sous un pont, il perd son chapeau
qui tombe à l’eau mais il ne s’en aperçoit pas et continue son chemin. Au bout d’une demi-heure, il fait
demi-tour pour récupérer son chapeau, qu’il retrouve à 5km en aval du pont. Déterminer la vitesse du
courant. On traitera le problème dans le référentiel lié à la berge et dans celui lié à l’eau.
Exercice 2 - Tir sur cible mouvante
Un projectile est lancé depuis une hauteur de 20m par rapport au niveau du sol, avec une vitesse
initiale v0de 20 m.s−1faisant un angle αde 45◦vers le haut par rapport à l’horizontale. Le repère est
définit tel que Ox soit au niveau du sol et que Oy soit la verticale passant par le lanceur.
1. Donner les coordonnées du projectile, x0et y0, ainsi que les composantes vx0et vy0du vecteur
vitesse à l’instant initial. Représenter le tout sur un schéma.
2. En négligeant les frottement de l’air, on peut montrer que la vitesse instantanée de ce projectile à
tout instant tultérieur est donnée par les équations suivantes :
vx=v0x
vy=v0y−gt
où g est une constante valant 10 U.S.I. Quelle est l’unité de g ?
3. Déterminer la position du projectile en fonction de t. Représenter sa trajectoire sur le schéma.
4. Sur le schéma, représenter le vecteur déplacement du projectile entre les instants t1= 1 set t2= 3 s.
Calculer la norme du vecteur vitesse instantanée à ces deux instants et représenter ces vecteurs sur
le schéma.
5. Déterminer l’instant t à partir duquel le projectile se dirige vers le sol.
6. Calculer la portée du projectile.
7. Un tireur placé à X0= 10 m au niveau du sol essaie d’atteindre le projectile en vol. A l’instant
ttir où le projectile passe au dessus de sa tête, il décoche une flèche de vitesse initiale 30 m.s−1et
inclinée de 45◦par rapport au sol. La flèche a ensuite un mouvement rectiligne uniforme.
(a) Trouver les équations horaires de la flèche.
(b) Déterminer si la flèche arrive à atteindre le projectile.
8. Le tireur incline maintenant son arc à 30◦par rapport au sol. Déterminer à quel l’instant le tireur
doit décocher sa flèche pour qu’elle touche le projectile. La vitesse et la nature du mouvement de
la flèche restent inchangés par rapport au tir précédent.
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