Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD 3: Vecteur vitesse 1 Exercices d’introduction Exercice 1 1. Dans la cour de récréation. (a) Où cours-je ? Un enfant dans une cour de récréation joue a tourner très vite sur lui même. Après quelques instants il s’arrête et titube. Depuis sa position initiale il fait deux pas vers la droite, un pas à gauche, trois pas en avant et un pas en arrière. Donner, en pas, la position de l’enfant par rapport à sa position initiale ? Si chaque pas mesure 0.7 mètres, quelle est la distance séparant l’enfant de son point d’origine ? (b) Passe à dix ! Dans un jeu de passe à dix le ballon d’une équipe parcourt depuis son point d’origine 3 mètres vers l’est, 2 mètres vers le nord, 1 mètre au nord-est, 4 mètres à l’ouest et 2 mètres au sud. Déterminer graphiquement la résultante du vecteur déplacement du ballon. Combien de mètres la balle à t-elle parcourue ? (c) Un enfant s’amuse à lancer un ballon léger le plus haut possible verticalement. Alors qu’il se trouve à 10 mètres d’un bâtiment il lance la balle à 5 mètres de hauteur. Un coup de vent violent envoie de manière horizontale le ballon vers le toit du bâtiment haut de 5 mètres. Le ballon est arrêté par le rebord du toit. Quelle distance a parcouru le ballon ? Quelle est le module du vecteur déplacement du ballon ? 2. Une fourmi se déplace sur une ligne droite Ox de la manière suivante : 1. 2. 3. 4. 5. Elle Elle Elle Elle Elle avance de 5 cm en 1 s à vitesse constante recule à une vitesse de 4 cm.s−1 pendant 2 s avance à une vitesse de 2 cm.s−1 sur une distance de 3 cm avance de 4 cm en 0.5 s à vitesse constante recommence les étapes 1 à 4 indéfiniment −−→ (a) Après chaque étape du cycle, représenter le vecteur déplacement de la fourmi OMi . (b) Déterminer la vitesse instantanée à chaque étape. (c) Calculer le vecteur vitesse moyen v~i entre le début du cycle et la fin de l’étape i. (d) En déduire la vitesse moyenne globale de la fourmi. Exercice 2 - Tapis roulant Un tapis roulant se déplace à une vitesse vt = 1 m/s par rapport au sol. Une personne marche sur le tapis roulant à la vitesse vp = 3 km/h par rapport au tapis. Déterminer la vitesse de la personne par rapport au sol. Exercice 3 - Tapis roulant - bis Deux tapis roulants, de même longueur L = 50 m, se déplacent chacun à une vitesse vt = 1 m/s par rapport au sol mais en sens inverse. Un père s’engage sur le premier tapis roulant, à la vitesse vp = 3 km/h par rapport au tapis. Son fils s’engage, au même instant, à contre sens sur l’autre tapis roulant, en courant à la vitesse ve = 7 km/h par rapport au tapis. L vp ve 1. Qui arrivera en premier ? 2. A quelle vitesse doit courir l’enfant pour arriver en même temps que son père ? 3. L’enfant peut courir à une vitesse maximale de 24 km/h pendant 5 secondes puis à 7 km/h le reste du temps. Peut-il arriver avant son père ? 2 Mise en application Exercice 1 - Mouvements caractéristiques 1. On considère un point M qui décrit la trajectoire définie dans le repère cartésien (O,~i, ~j) par −−→ OM = R cos(ωt)~i + R sin(ωt)~j (a) Représenter la trajectoire du point M sur un schéma. (b) Calculer le vecteur vitesse puis sa norme à l’instant t. Le représenter à quelques instants sur le graphe. (c) Quelle est la nature du mouvement ? 2. On considère maintenant la trajectoire suivante −−→ OM = a cos(ωt)~i + b sin(ωt)~j avec a 6= b (a) Représenter la trajectoire du point M sur un schéma. (b) Calculer le vecteur vitesse puis sa norme à l’instant t. (c) Déterminer le(s) instant(s) t où les vecteurs position et vitesse sont perpendiculaires. Les représenter sur le schéma. Exercice 2 - Décollage d’un avion La phase de décollage d’un avion est approximée de la manière suivante : • Initialement à l’arrêt, le pilote active la manette des gaz. L’avion se met à avancer selon l’équation horaire x(t) = at2 avec a = 0.4 m.s−2 . Après 3 km, l’avion atteint sa vitesse de décollage vd . • Le pilote fait ensuite les réglages nécessaires pour avoir une ascension suivant un mouvement rectiligne uniforme avec un angle de montée de 15◦ . • Une fois arrivée à une altitude de 10000 m, le pilote arrête la montée tout en maintenant la vitesse. 1. Déterminer la vitesse de décollage vd . 2. Quelle est la durée de la phase de montée ? On donne cos(15◦ ) ≈ 0.97 et cos(75◦ ) ≈ 0.26. 3. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse de l’avion à tout instant. 4. Un passager suis la phase de décollage de l’avion en regardant la carte vue de dessus affichée sur l’écran du siège avant. A quelle vitesse l’avion semble-t-il progresser ? Exercice 3 - Sur la route 1. Sur une route rectiligne, une voiture (1) de longueur l1 de vitesse v1 double un autocar de longueur L et de vitesse V . En face arrive une voiture (2) de longueur l2 à la vitesse v2 . Quelle est la distance minimale D entre l’avant de (1) et l’avant de (2) au moment où (1) s’engage dans le dépassement qui permet à cette dernière de doubler ? On prendra pour les applications numériques l1 = l2 = 4 m, L = 20 m, v1 = v2 = 90 km.h−1 et V = 72 km.h−1 . 2. Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne Ox. Un piéton décide de traverser la route au moment où la voiture se trouve à un distance D. Le mouvement du piéton est rectiligne, uniforme, de vitesse ~v , inclinée d’un angle φ par rapport à l’axe Oy. La voiture se déplace à la vitesse uniforme V~ = V ~i. Quelle doit être la valeur de φ pour que la collision avec la voiture soit évitée, le module v de ~v étant minimum ? On précisera la valeur de vmin . y V voiture L φ v D x Quelle doit être la valeur de φ pour que la voiture soit évitée, le module v de "v étant précisera la valeur de vmin . Ο Exercice 4 - Dans le train III. La comète de Halley Un train roule vers l’est sur une voie rectiligne à la vitesse de 60 km/h. À l’intérieur, un frère et une 1 La comète de Halley uneLatrajectoire elliptique trèshorizontalement allongée due à l’attraction soeur jouent au ballon. Ils sont séparés par une distancepossède de 2 m. fille lance le ballon la période est d’environ 76 ans. On peut montrer que la distance de la comète au soleil est vers le nord. Une seconde après,polaire le garçon attrape le ballon. de la manière suivante (p et e étant des constantes) : 1. Quelle est la vitesse du ballon par rapport au train ? r(θ) = p 1 + e cos(θ − θ0 ) 2. Quelle est la vitesse du ballon, vu par un observateur immobile au sol ? M Exercice 5 - Bac comète Un bac traverse une rivière de largeur l = 20 m, avec la vitesse ~v par rapport à l’eau, orthogonale au courant. La vitesse ~u du courant par rapport à la rive est uniforme. Pour lessoleil applications numériques, on prendra v = 0.8 m.s−1 et u = 0.5 m.s−1 . 1. Dans un repère lié au courant, dessiner la trajectoire du bac. Quelle est dans ce repère la vitesse des arbres plantés sur la rive a) ? Calculer le etemps que met le bac à traverser la rivière. Montrez que doit nécessairement être inférieur à 1. Puis, choisissez le centre et les axes et déterminez alors θ0 . 2. En se plaçant cette fois dans un repère lié à la rive, représenter la trajectoire du bac et calculer le b) Donnez l’expression du vecteur position et représentez-le au point M , ainsi que les vec temps de traversée. repère polaire local. Pourquoi parle-t-on de repère local ? 3. Quelle direction le bac doit-il emprunter pour traverser la rivière entre deux embarcadères situés en vis-à-vis sur les deux rives c)? Donnez l’expression du vecteur vitesse et représentez le au point M . d) Donnez l’expression du vecteur accélération et représentez le au point M . Détermine trajectoire où la comète accélère puis la portion où elle décélère. Qu’en est-il du vecteur a ces portions de trajectoire ? Montrez que lorsque la comète se trouve au plus près du sol perpendiculaire au rayon. Montrez qu’il en est de même lorsqu’elle se trouve au point le plu 3 Approfondissement Exercice 1 - À la pêche Un pêcheur sur son bateau remonte une rivière qui s’écoule à vitesse constante par rapport à la berge. La vitesse du bateau par rapport à l’eau est constante. En passant sous un pont, il perd son chapeau qui tombe à l’eau mais il ne s’en aperçoit pas et continue son chemin. Au bout d’une demi-heure, il fait demi-tour pour récupérer son chapeau, qu’il retrouve à 5km en aval du pont. Déterminer la vitesse du courant. On traitera le problème dans le référentiel lié à la berge et dans celui lié à l’eau. Exercice 2 - Tir sur cible mouvante Un projectile est lancé depuis une hauteur de 20m par rapport au niveau du sol, avec une vitesse initiale v0 de 20 m.s−1 faisant un angle α de 45◦ vers le haut par rapport à l’horizontale. Le repère est définit tel que Ox soit au niveau du sol et que Oy soit la verticale passant par le lanceur. 1. Donner les coordonnées du projectile, x0 et y0 , ainsi que les composantes vx0 et vy 0 du vecteur vitesse à l’instant initial. Représenter le tout sur un schéma. 2. En négligeant les frottement de l’air, on peut montrer que la vitesse instantanée de ce projectile à tout instant t ultérieur est donnée par les équations suivantes : vx = v0x vy = v0y − gt où g est une constante valant 10 U.S.I. Quelle est l’unité de g ? 3. Déterminer la position du projectile en fonction de t. Représenter sa trajectoire sur le schéma. 4. Sur le schéma, représenter le vecteur déplacement du projectile entre les instants t1 = 1 s et t2 = 3 s. Calculer la norme du vecteur vitesse instantanée à ces deux instants et représenter ces vecteurs sur le schéma. 5. Déterminer l’instant t à partir duquel le projectile se dirige vers le sol. 6. Calculer la portée du projectile. 7. Un tireur placé à X0 = 10 m au niveau du sol essaie d’atteindre le projectile en vol. A l’instant ttir où le projectile passe au dessus de sa tête, il décoche une flèche de vitesse initiale 30 m.s−1 et inclinée de 45◦ par rapport au sol. La flèche a ensuite un mouvement rectiligne uniforme. (a) Trouver les équations horaires de la flèche. (b) Déterminer si la flèche arrive à atteindre le projectile. 8. Le tireur incline maintenant son arc à 30◦ par rapport au sol. Déterminer à quel l’instant le tireur doit décocher sa flèche pour qu’elle touche le projectile. La vitesse et la nature du mouvement de la flèche restent inchangés par rapport au tir précédent.