chapitre III - Page d`accueil

E XERCICES SUR LE CHAPITRE III : É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Exemples du cours
Trouver une fonction solution des équations suivantes :
E XEMPLE N O 1
1. y 0 = sin(x)
2. y 0 =
1
x
3. y 0 = y
4. y 0 = 3y
5. x y 0 = 3y
6. y 00 = y
7. y 00 = sin t cos t
E XEMPLE N O 2
Donner une solution particulière de y 0 = 3y + 1 (E1 ), puis de
puis y 0 = 3y + e 3x (E4 ) En déduire une solution parculière de
y 0 = 3y + e x (E2 ) puis de y 0 = 3y + e −x (E3 )
y 0 = 3y + 8 sh x − 3 (E5 ) puis résoudre (E5 ).
Résoudre sur ]0, +∞[ l’équation t 2 y 0 + t y = 1 + t 2 (E)
½ 0
2
y − 2x y = e x+x
Résoudre le problème de Cauchy
y(0) = 0
E XEMPLE N O 3
E XEMPLE N O 4
E XEMPLE N O 5
a) Les équations différentielles suivantes sont-elles linéaires du second ordre à coefficients constants ?
Si oui, quelle est l’équation caractéristique associée ?
1) 2y 00 − y 0 − 10y = 100x + 27e x
5) y 00 + y 0 + (1 − i )y = e i t
2) y 00 − 2y 0 + y = e x
6) x y 00 + 2(x + 1)y 0 + (x + 2)y = e x
3) y 00 + y = cos(2t ) 4) y 00 − 2y 0 = 1
7) y 00 − (1 + a)y 0 + a y = e ax où a ∈ R fixé
b) Donner les solutions homogènes complexes pour chacune des équations 1) à 5).
c) Donner les solutions homogènes réelles pour chacune des équations 1) à 4).
d) Donner les solutions réelles des équations 1) à 4) et les solutions de 5).
Exercices d’application
Résoudre les équations suivantes :
1) y 0 + y = 1 + t 2 + e −t
2) 2i y 0 + y = 4i t
E XERCICE A-1
E XERCICE A-2 Résoudre sur R les équations :
p
1) y 0 − x(x 2 − 1)5 y = 0
2) 1 + x 2 y 0 − x y = 0
3) y 0 − 2y = sin(2t )
3) e x y 0 + sin(x)y = 0
4) y 0 + (sin x)3 y = 0
Résoudre sur R les équations suivantes
E XERCICE A-3
2) y 0 − i t y = (t − 2)e 2i t
1) y 0 = 2x y + 4x
2
4) y 0 + t e t y = t e t
2
(chercher une solution constante)
3) (x 2 + 1)y 0 + 2x y = 3x 2 + 1
5) (ch t )y 0 + (sh t )y = t sh(t 2 )
E XERCICE A-4 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants sur l’intervalle I :
½
½
¤ π π£
cos2 (x)y 0 − y = sin(2x)e tan x
(1 + ch x)y 0 − (sh x)y = (1 + ch x) sh x
1) I = − 2 , 2
et
2)
I
=
R
et
y( π4 ) = 0
y(0) = 2 ln 2
E XERCICE A-5
½
1)
Résoudre les problèmes de Cauchy suivant
½ 00
y 00 − 2(1 + i )y 0 + 2i y = x + i
y − 3y 0 + 2y = sh x
2)
0
y(0) = −i , y (0) = 0
y(0) = y 0 (0) = 1
Chapitre III – Exercices
1/2
½
3)
y 00 + y = 2 cos2 ( x2 )
y( π2 ) = y 0 ( π2 ) = 0
LEROY - PTSI Paul Constans
Exercices de référence
E XERCICE R-1
Équation différentielle à paramètres
2
a est un paramètre réel. On considère l’équation différentielle (E a ) : y 00 − (1 + a)y 0 + a y = e a x .
Déterminer suivant les valeurs du paramètre a l’ensemble S a des fonctions réelles solutions sur R de (E a ).
On pourra traiter aussi les cas : (E1a ) : y 00 − (1 + a)y 0 + a y = e ax et (E2a ) : y 00 − (1 + a)y 0 + a y = e 2ax
Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
par changement de fonction inconnue
00
Soit l’équation différentielle (E) : x y + 2(x + 1)y 0 + (x + 2)y = 0 qu’on cherche à résoudre sur I =]0, +∞[
E XERCICE R-2
1) On définit z associée à y par : z(x) = x y(x) Établir que :
y est solution sur I de (E) si et seulement si z est solution sur I de (E0 )
où (E0 ) est une équation différentielle linéaire à coefficients constants que l’on déterminera.
2) Résoudre (E0 ) et en déduire les solutions de (E) sur I.
E XERCICE R-3
Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
par changement de variable
Soit l’équation différentielle (E) : x 2 y 00 − x y 0 + y = 0 qu’on cherche à résoudre sur I =]0, +∞[
1) On définit z associée à y par : z(t ) = y(e t ) Établir que :
y est solution sur I de (E) si et seulement si z est solution sur R de (E0 )
0
où (E ) est une équation différentielle linéaire à coefficients constants que l’on déterminera.
2) Résoudre (E0 ) sur R et en déduire les solutions de (E) sur I.
E XERCICE R-4
Résolution d’une équation fonctionnelle
Trouver toute les applications f dérivables sur R telles que :
Chapitre III – Exercices
2/2
∀x ∈ R,
2 f 0 (x) = f (x) + f (−x)
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