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EXERCICES SUR LE CHAPITRE III : ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Exemples du cours
EXEMPLE NO1 Trouver une fonction solution des équations suivantes :
1. y0=sin(x)2. y0=1
x3. y0=y4. y0=3y5. xy0=3y6. y00 =y7. y00 =sintcost
EXEMPLE NO2
Donner une solution particulière de y0=3y+1 (E1), puis de y0=3y+ex(E2) puis de y0=3y+e−x(E3)
puis y0=3y+e3x(E4) En déduire une solution parculière de y0=3y+8sh x−3 (E5) puis résoudre (E5).
EXEMPLE NO3 Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation t2y0+t y =1+t2(E)
EXEMPLE NO4 Résoudre le problème de Cauchy ½y0−2xy =ex+x2
y(0) =0
EXEMPLE NO5
a) Les équations différentielles suivantes sont-elles linéaires du second ordre à coefficients constants?
Si oui, quelle est l’équation caractéristique associée?
1) 2y00 −y0−10y=100x+27ex2) y00 −2y0+y=ex3) y00 +y=cos(2t) 4) y00 −2y0=1
5) y00 +y0+(1−i)y=ei t 6) xy00 +2(x+1)y0+(x+2)y=ex7) y00 −(1+a)y0+ay =eax où a∈Rfixé
b) Donner les solutions homogènes complexes pour chacune des équations 1) à 5).
c) Donner les solutions homogènes réelles pour chacune des équations 1) à 4).
d) Donner les solutions réelles des équations 1) à 4) et les solutions de 5).
Exercices d’application
EXERCICE A-1 Résoudre les équations suivantes :
1) y0+y=1+t2+e−t2) 2i y0+y=4i t 3) y0−2y=sin(2t)
EXERCICE A-2 Résoudre sur Rles équations :
1) y0−x(x2−1)5y=0 2) p1+x2y0−xy =0 3) exy0+sin(x)y=0 4) y0+(sin x)3y=0
EXERCICE A-3 Résoudre sur Rles équations suivantes
1) y0=2xy +4x2) y0−i t y =(t−2)e2i t 3) (x2+1)y0+2x y =3x2+1
4) y0+tet2y=tet2(chercher une solution constante) 5) (cht)y0+(sht)y=tsh(t2)
EXERCICE A-4 Résoudre les problèmes de Cauchy suivants sur l’intervalle I :
1) I =¤−π
2,π 2£et ½cos2(x)y0−y=sin(2x)etan x
y(π
4)=02) I =Ret ½(1+chx)y0−(shx)y=(1+ch x)shx
y(0) =2ln2
EXERCICE A-5 Résoudre les problèmes de Cauchy suivant
1) ½y00 −2(1+i)y0+2i y =x+i
y(0) =−i,y0(0) =02) ½y00 −3y0+2y=shx y(0) =y0(0) =13) ½y00 +y=2cos2(x
2)
y(π
2)=y0(π 2)=0
Chapitre III – Exercices 1/2 LEROY - PTSI Paul Constans

Exercices de référence
EXERCICE R-1 Équation différentielle à paramètres
aest un paramètre réel. On considère l’équation différentielle (Ea) : y00 −(1+a)y0+ay =ea2x.
Déterminer suivant les valeurs du paramètre al’ensemble Sades fonctions réelles solutions sur Rde (Ea).
On pourra traiter aussi les cas : (E1
a) : y00 −(1+a)y0+ay =eax et (E2 a) : y00 −(1+a)y0+ay =e2ax
EXERCICE R-2 Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
par changement de fonction inconnue
Soit l’équation différentielle (E) : xy00 +2(x+1)y0+(x+2)y=0 qu’on cherche à résoudre sur I =]0,+∞[
1) On définit zassociée à ypar : z(x)=x y(x) Établir que :
yest solution sur I de (E) si et seulement si zest solution sur I de (E0)
où (E0) est une équation différentielle linéaire à coefficients constants que l’on déterminera.
2) Résoudre (E0) et en déduire les solutions de (E) sur I.
EXERCICE R-3 Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
par changement de variable
Soit l’équation différentielle (E) : x2y00 −xy0+y=0 qu’on cherche à résoudre sur I =]0,+∞[
1) On définit zassociée à ypar : z(t)=y(et) Établir que :
yest solution sur I de (E) si et seulement si zest solution sur Rde (E0)
où (E0) est une équation différentielle linéaire à coefficients constants que l’on déterminera.
2) Résoudre (E0) sur Ret en déduire les solutions de (E) sur I.
EXERCICE R-4 Résolution d’une équation fonctionnelle
Trouver toute les applications fdérivables sur Rtelles que : ∀x∈R, 2f0(x)=f(x)+f(−x)
Chapitre III – Exercices 2/2 LEROY - PTSI Paul Constans