Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 4

Terminale S - spécialité
corrigé du devoir maison n˚4
Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 4
Exercice 1 :
Puisque a ≡ b mod n et c ≡ d mod n, il existe deux entiers q et q ′ tels que a = nq + b et c = nq ′ + d.
Ainsi, ac = (nq + b)(nq ′ + d) = n(nqq ′ + qd + q ′ b) + bd et nqq ′ + qd + q ′ b ∈ Z.
On a donc, ac ≡ bd mod n.
Ainsi, si a ≡ b mod n et c ≡ d mod n alors a × c ≡ b × d mod n.
Exercice 2 :
1) (a) Dans le cas où n ∈ N∗ , on sait que si q est un réel différent de 1 alors
(n−1)+1
1 + q 1 + q 2 + q 3 + · · · + q n−1 = 1−q1−q . Ainsi, 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 =
1−8n
1−8
=
8n −1
7 .
(b) Soit un entier naturel n,
23n − 1 = 8n − 1 = 7 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 d’après la question précédente.
Comme 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 ∈ N, on en déduit que 23n − 1 est un multiple de 7.
(c) On a 23n+1 − 2 = 2 × 23n − 2 = 2 23n − 1 donc 23n+1 − 2 est multiple de 7 puisque 23n − 1 est un
multiple de 7.
On a 23n+2 − 4 = 4 × 23n − 4 = 4 23n − 1 donc 23n+2 − 4 est multiple de 7 puisque 23n − 1 est un
multiple de 7.
2) En utilisant les résultats de la question précédente, on a :
k
k
si k ≡ 0 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 1 (7) et le reste de 2
dans la division par 7 est 1 (0 6 1 < 7).
k
si k ≡ 1 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n + 1, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 2 (7) et le reste de
k
2 dans la division par 7 est 2 (0 6 2 < 7).
k
si k ≡ 2 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n + 2, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 4 (7) et le reste de
2k dans la division par 7 est 4 (0 6 4 < 7).
3) Le nombre p désignant un entier naturel, on considère le nombre entier Ap = 2p + 22p + 23p .
(a) Si p = 3n, alors on a p ≡ 0 (3), 2p ≡ 0 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a Ap ≡ 1+1+1 (7).
Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 3 (0 6 3 < 7).
(b) Si p = 3n + 1, alors on a p ≡ 1 (3), 2p ≡ 2 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a
Ap ≡ 2 + 4 + 1 (7).
Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 0 (0 6 3 < 7). Ap est donc divisible par 7.
(c) Si p = 3n + 2, , alors on a p ≡ 2 (3), 2p ≡ 1 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a
Ap ≡ 4 + 2 + 1 (7).
Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 0 (0 6 3 < 7). Ap est donc divisible par 7.
Exercice 3 :
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n4 + 1.
L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n).
1) (a)
Si n est pair alors n ≡ 0 (2), d’où A(n) ≡ 1 (2). A(n) est donc un nombre impair.
Si n est impair alors n ≡ 1 (2), d’où A(n) ≡ 0 (2). A(n) est donc un nombre pair.
(b) Soit n un entier. Alors on a n ≡ 0 (3), ou n ≡ 1 (3) ou n ≡ 2 (3).
Si n ≡ 0 (3) alors A(n) ≡ 1 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3.
Si n ≡ 1 (3) alors A(n) ≡ 2 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3.
Si n ≡ 2 (3) alors A(n) ≡ 16 + 1 ≡ 2 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3.
Ainsi, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3.
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6 décembre 2012
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(c) Soit d un diviseur de A(n). Pour montrer que d et n sont premiers entre eux, il suffit de prouver que les
seuls diviseurs communs de d et n sont −1 et 1.
On considère un entier k, diviseur commun de d et n.
Comme k divise d et d divise A(n), on a k divise A(n). Ainsi, k divise toute combinaison linéaire de
A(n) et n, soit 1 × A(n) − n3 × n = 1. Mais les seuls diviseurs de 1 sont −1 et 1.
On en déduit que k = −1 ou k = 1, et donc d et n sont premiers entre eux.
(d) Soit d un diviseur de A(n). Donc d divise (n4 + 1)(n4 − 1) = n8 − 1.
D’où n8 − 1 ≡ 0 (d)
⇐⇒
n8 ≡ 1 (d).
2) Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que
nk ≡ 1 mod d.
(a) Soit k un tel entier, c’est-à-dire nk ≡ 1 (d).
Si on note q le quotient et r le reste de la division euclidienne de k par s, on peut écrire k = s × q + r
avec 0 6 r < s .
En utilisant les congruences, on peut écrire nk ≡ ns×q+r ≡ nk
Mais nk ≡ 1 (d) et ns ≡ 1 (d)
Il vient alors 1 ≡
nr
q
× nr (d).
par définition de l’entier s.
(d).
Par définition de s, s est le plus petit entier naturel non nul k tel que nk ≡ 1 (d). Nécessairement,
r = 0 puisque nr ≡ 1 (d) et r est strictement inférieur à s (sinon, s ne serait pas le plus petit !).
D’où k = s × q et s est un diviseur de k.
(b) Comme n8 ≡ 1 (d) d’après la question 1)(d), on peut dire que s est un diviseur de 8.
On admettra dans la suite que, si d est premier, alors s est un diviseur de d − 1.
3) Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair.
Soit p un diviseur premier de A(n). On note s, le plus petit entier naturel non nul k tel que nk ≡ 1 (p).
D’après la question 2)(b), on peut dire que s = 1, ou s = 2, ou = 4 ou s = 8
(tous les diviseurs positifs de 8).
⊛ si s = 1 alors n ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement p = 2 pour
avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais, d’après
la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1.
2
⊛ si s = 2 alors n2 ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ (n2 ) +1 ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement
p = 2 pour avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2.
Mais, d’après la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1.
⊛ si s = 4 alors n4 ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement p = 2
pour avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais,
d’après la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1.
Il ne reste donc qu’une seule possibilité : s = 8.
D’après le résultat admis, puisque p est premier, on peut dire que s divise p − 1, c’est-à-dire 8 divise p − 1.
Ce dernier résultat est équivalent à p ≡ 1 (8).
4) Recherche des diviseurs premiers de A(12).
Indication: la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par
17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . .
12 est un nombre pair. Soit p un diviseur premier de A(12). D’après ce qui précède, on peut dire que p ≡ 1 (8).
En utilisant l’indication, on a A(12) = 20 737 = 89 × 233. On vérifie aisément que 233 est un nombre premier.
Les diviseurs premiers de A(12) sont donc 89 et 233.
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