Terminale S - sp´ecialit´e corrig´e du devoir maison n˚4
(c) Soit dun diviseur de A(n). Pour montrer que det nsont premiers entre eux, il suffit de prouver que les
seuls diviseurs communs de det nsont −1et 1.
On consid`ere un entier k, diviseur commun de det n.
Comme kdivise det ddivise A(n), on a kdivise A(n). Ainsi, kdivise toute combinaison lin´eaire de
A(n)et n, soit 1×A(n)−n3×n= 1. Mais les seuls diviseurs de 1sont −1et 1.
On en d´eduit que k=−1ou k= 1, et donc det nsont premiers entre eux.
(d) Soit dun diviseur de A(n). Donc ddivise (n4+ 1)(n4−1) = n8−1.
D’o`u n8−1≡0 (d)⇐⇒ n8≡1 (d).
2) Soit dun diviseur de A(n). On note sle plus petit des entiers naturels non nuls ktels que
nk≡1mod d.
(a) Soit kun tel entier, c’est-`a-dire nk≡1 (d).
Si on note qle quotient et rle reste de la division euclidienne de kpar s, on peut ´ecrire k=s×q+r
avec 06r < s .
En utilisant les congruences, on peut ´ecrire nk≡ns×q+r≡nkq×nr(d).
Mais nk≡1 (d)et ns≡1 (d)par d´efinition de l’entier s.
Il vient alors 1≡nr(d).
Par d´efinition de s,sest le plus petit entier naturel non nul ktel que nk≡1 (d). N´ecessairement,
r= 0 puisque nr≡1 (d)et rest strictement inf´erieur `a s(sinon, sne serait pas le plus petit !).
D’o`u k=s×qet sest un diviseur de k.
(b) Comme n8≡1 (d)d’apr`es la question 1)(d), on peut dire que sest un diviseur de 8.
On admettra dans la suite que, si dest premier, alors sest un diviseur de d−1.
3) Recherche des diviseurs premiers de A(n)dans le cas o`u nest un entier pair.
Soit pun diviseur premier de A(n). On note s, le plus petit entier naturel non nul ktel que nk≡1 (p).
D’apr`es la question 2)(b), on peut dire que s= 1, ou s= 2, ou = 4 ou s= 8 (tous les diviseurs positifs de 8).
⊛si s= 1 alors n≡1 (p)et donc A(n)≡2 (p). Comme pest diviseur de A(n), n´ecessairement p= 2 pour
avoir A(n)≡0 (p). On en d´eduit que A(n)est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais, d’apr`es
la question 1)(a), A(n)est un nombre impair pauique nest pair. On ne peut pas avoir s= 1.
⊛si s= 2 alors n2≡1 (p)et donc A(n)≡(n2)2+1 ≡2 (p). Comme pest diviseur de A(n), n´ecessairement
p= 2 pour avoir A(n)≡0 (p). On en d´eduit que A(n)est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2.
Mais, d’apr`es la question 1)(a), A(n)est un nombre impair pauique nest pair. On ne peut pas avoir s= 1.
⊛si s= 4 alors n4≡1 (p)et donc A(n)≡2 (p). Comme pest diviseur de A(n), n´ecessairement p= 2
pour avoir A(n)≡0 (p). On en d´eduit que A(n)est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais,
d’apr`es la question 1)(a), A(n)est un nombre impair pauique nest pair. On ne peut pas avoir s= 1.
Il ne reste donc qu’une seule possibilit´e : s= 8.
D’apr`es le r´esultat admis, puisque pest premier, on peut dire que sdivise p−1, c’est-`a-dire 8divise p−1.
Ce dernier r´esultat est ´equivalent `a p≡1 (8).
4) Recherche des diviseurs premiers de A(12).
Indication: la liste des nombres premiers congrus `a 1 modulo 8d´ebute par
17,41,73,89,97,113,137,...
12 est un nombre pair. Soit pun diviseur premier de A(12). D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on peut dire que p≡1 (8).
En utilisant l’indication, on a A(12) = 20 737 = 89×233. On v´erifie ais´ement que 233 est un nombre premier.
Les diviseurs premiers de A(12) sont donc 89 et 233.
http://mathematiques.ac.free.fr Page 2 de 2 6 d´ecembre 2012