Logique mathématique - Section de mathématiques

SMA
Logique math´ ematique
Dimitri ZAGANIDIS
Notes de cours du Prof. Jacques Duparc
Dernière modification le 13 octobre 2010

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TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Introduction 5
2 Rappels 5
3 Syntaxe 7
3.1 Langage, termes et formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Arbre de décomposition d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Variables libres et variables liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Formule close et clôture universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Substitution.................................... 10
4 Sémantique 11
4.1 Réalisation d’un langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Évaluation (satisfaction) d’une formule dans une réalisation d’un langage . . 11
4.3 Jeu d’évaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.1 Théoriedesjeux ............................. 14
4.3.2 Évaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Théorie et conséquence sémantique 18
5.1 Théorie ...................................... 18
5.2 Conséquence sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Un soupçon de théorie des modèles 20
6.1 Homomorphisme, plongement et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Sous-structure................................... 22
6.3 Equivalence élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.4 Sous-structure élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Théorème de compacité 25
7.1 Théorie et satisfaisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Filtre, base de filtre et ultrafiltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.3 Ultraproduit.................................... 27
7.4 ThéorèmedeLos ................................. 28
7.5 Théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.6 Modèles non-standard de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Théorèmes de Lowenheim-Skolem 32
8.1 Quelques mots sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.1 Quelques rappels des séries d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.2 Cardinalité ................................ 32
8.2 Énoncés des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.3 Forme prénexe polie et Skolémisée d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.4 Preuves des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9 Théorie de la démonstration 37
9.1 Systèmes axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.2 Déductionnaturelle................................ 38
9.2.1 Anatomie d’une règle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2.2 Les règles de la logique minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4TABLE DES MATIÈRES
9.2.3 Les règles de la logique intuitionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.2.4 Les règles de la logique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.2.5 Déduction................................. 42
9.2.6 Comparaison entre les différentes logiques . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.3 Calculdesséquents................................ 45
9.3.1 Les règles du calcul des séquents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.3.2 Logique classique, intuitionniste et minimale . . . . . . . . . . . . . . 46
9.3.3 L’élimination des coupures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 Indécidabilité de la logique du premier ordre 49
10.1TraductiondeGödel ............................... 49
10.1.1 Langages non égalitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.1.2 Langages égalitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.2Décidabilité.................................... 49
10.3 Indécidabilité de la logique du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11 Modèles de Kripke de la logique du premier ordre 51
11.1 Logique intuitionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11.1.1 Langages non égalitaires et sans symbole de fonction . . . . . . . . . 51
11.1.2 Langages égalitaires avec symbole de fonction . . . . . . . . . . . . . 52
11.2Logiqueminimale................................. 54
12 Théorèmes de complétude 55
12.1 Énoncés des théorèmes de complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12.2 Preuve du théorème de complétude de la logique classique . . . . . . . . . . 55
12.2.1 Sensindirect ............................... 55
12.2.2 Sensdirect ................................ 56
12.3 Conséquences des théorèmes de complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.3.1 Quelques formules non démontrable en logique intuitionniste . . . . 60
12.3.2 Une formule non démontrable en logique minimale . . . . . . . . . . 61
12.3.3 Théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13 Nombres ordinaux et cardinaux 62
13.1Bonsordres .................................... 62
13.2Ordinaux ..................................... 65
13.3Cardinaux..................................... 69
Appendices 71
A Axiomatique : Peano, Robinson et ZFC 71
A.1 Arithmétique de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.2 Arithmétique de Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.3 Les axiomes de Zermelo-Fraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B Déduction naturelle et calcul des séquents 73
B.1 Déductionnaturelle................................ 73
B.2 Calculdesséquents................................ 74
C Compilation de certains résultats importants vus aux séries 75
14 Bibliographie 76

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Ce polycopié est la retranscription des notes du cours du professeur Jacques Duparc,
durant le semestre d’automne 2009. Complété en 2010 par R. Carroy et J. Duparc.
Malgré de très nombreuses relectures il restera toujours des fautes, ce polycopié est
donc fournit sans garantie ! N’hésitez pas à nous signaler les erreurs que vous remarquez.
Un grand merci à Jacques Duparc, Rafael Guglielmetti et Nicolas Berger pour leur par-
ticipation à l’élaboration de ce document ainsi qu’à Monica Perrenoud pour sa relecture
attentive.
1 Introduction
Le but de ce cours est d’introduire et de démontrer le théorème de complétude de la
logique de premier ordre qui peut s’énoncer ainsi :
Γ`ϕ⇔Γ|=ϕ.
Il exprime l’équivalence entre le fait que ϕest prouvable par Γet le fait que ϕdécoule
sémantiquement de Γ. Pour faire cela, il faudra formaliser certaines notions et réaliser la
différentiation entre syntaxe et sémantique.
2 Rappels
Dans ce cours, nous ne nous intéresserons pas à la théorie axiomatique des ensembles.
En voici donc une définition naïve.
Définition 2.1
Un ensemble est une collection d’objets.
Axiome 2.2 (Extensionnalité)
Soit xet ydeux ensembles, alors x=y⇔ ∀z(z∈x⇔z∈y).
Définition 2.3 (Union, intersection)
Soit {Ai}i∈Iune famille d’ensembles indicée par un ensemble d’indices I.
(1) L’union des éléments de cette famille, notée Si∈IAi, est définie par
[
i∈I
Ai={x:∃j∈I(x∈Aj)}.
(2) L’intersection des éléments de cette famille, notée Ti∈IAi, est définie par
\
i∈I
Ai={x:∀j∈I(x∈Aj)}.
Définition 2.4 (Ensemble des parties)
Soit Aun ensemble. On note P(A)l’ensemble des parties de A, définit par :
P(A) = {B :∀§ (§∈B→§∈A)}
Définition 2.5 (Couple)
Le couple (x, y)est défini de la manière suivante :
(x, y) = x, {x, y}.