Cours Triangle rectangle et trigonométrie _prof

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TRIANGLE RECTANGLE ET TRIGONOMETRIE
I) Triangle rectangle :
1) Triangle rectangle et cercle circonscrit :
a) Propriété 1 :
Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans le cercle de
diamètre son hypoténuse.
C
B
A
Le triangle ABC est rectangle en A donc A est sur le cercle de
diamètre [BC].
Réciproque :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un
de ses côtés alors ce triangle est rectangle .
C
B
A
A est sur le cercle de diamètre [BC] donc le triangle ABC est
rectangle en A.

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b) Propriété 2 :
Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane
relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de
l’hypoténuse.
C
B
A
I
Le triangle ABC est rectangle en A donc BC
2
1
AI =, avec I milieu
de [BC].
Réciproque :
Si , dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté
est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors ce triangle est
rectangle.
C
B
A
I
BC
2
1
AI =, avec I milieu de [BC] donc le triangle ABC est
rectangle en A.

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2) Théorème de Pythagore :
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des
autres côtés.
A
C
B
Le triangle ABC est rectangle en B donc 222
BC
AB
AC
+=
.
Réciproque :
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est
égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand
côté.
A
C
B
222
AC
BC
AB
=+
donc le triangle ABC est rectangle en B.
Contraposée :
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est
pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres
côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
A
C
B
222
AC
BC
AB
≠+
donc le triangle ABC n’est pas rectangle en B.

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3) Exemple :
a) Soit ABC un triangle tel que le point A soit sur le cercle de
diamètre [BC]. Le point I est le milieu de [BC].
On donne
8
BC
=
cm et
5
AB
=
cm.
1) Construire le triangle ABC.
2) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3) Calculer la distance AI. Justifier.
4) Calculer la distance AC. Justifier.
b) Soit MNP un triangle tel que
6
MN
=
cm,
8
MP
=
cm et
0
1
NP
=
cm.
1) Construire le triangle MNP.
2) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifier.
3) Où se situe le point M ? Justifier.
II) Trigonométrie :
1) Cosinus d’un angle aigu :
a) Définition:
Soit ABC un triangle rectangle en A. On appelle cosinus de
l’angle ABC
෢, le quotient de la longueur du côté adjacent à
l’angle ABC
෢ par la longueur de l’hypoténuse.
C
hypoténuse
B
A
côté adjacent
cosABC
෢= coté adjacent
hypoténuse = AB BC

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b) Exemples :
1) Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que
4
AB
=
cm et
ABC
෢= 60° .
a) Construire le triangle ABC.
b) Calculer la distance BC.
c) En déduire la distance AC.
2) Soit GHI un triangle rectangle en I, tel que
7
GH
=
cm et
3
GI
=
cm.
a) Construire le triangle GHI.
b) Calculer la distance HI.
c) En déduire une mesure de l’angle GHI
෢.
(on donnera l’arrondi au dixième)