Partie Mécanique TD 2 Dynamique du point en référentiel galiléen

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Lycée Kérichen
MPSI 2
2013-2014
Partie Mécanique
TD 2 Dynamique du point en
référentiel galiléen
Méthode de traitement des exercices:
• Définissez le système sur lequel vous travaillez
• Identifiez le référentiel dans lequel vous étudiez le mouvement
• Faites un bilan des forces s'exerçant sur le système et représentez-les sur un schéma
• Choisissez une base de projection adaptée au système
• Appliquez la loi de la quantité de mouvement au système et projetez la relation vectorielle
obtenue sur chacun des axes choisis
• Intégrez ou résolvez les équations différentielles obtenues en tenant compte des
conditions initiales suivant chaque axe
Exercice 1: Frottements proportionnels au carré de la vitesse:
1.
Une sphère en plomb de rayon r = 1,00 cm et de masse volumique ρ = 11,34 g.cm -3 est
suspendue à un point fixe O par un fil et se trouve placée dans une soufflerie. La vitesse
du vent, horizontale, a pour valeur v 0 = 10,0 m.s-1 et le fil fait alors un angle α = 1,68.10 -2
rad avec la verticale.
f =k π r 2 v 20 , déterminez le
Sachant que la résistance de l'air est de la forme
coefficient k et précisez son unité dans le système international.
2. Cette sphère est maintenant lâchée sans vitesse initiale dans l'air. La résistance de l'air
est alors f =k π r 2 v 2 avec v la vitesse de la sphère.
a) Déterminez la loi de vitesse de la chute en faisant apparaître une vitesse limite v l et un
temps caractéristique τ .
b) Déduisez-de la question précédente la loi horaire z(t). Comment varie z(t) pour t>>τ ?
c) Représentez graphiquement v(t) et z(t).
d) Que devient l'expression de z(t) à très faible vitesse ?
3. Approche numérique : Utilisation de Python
Données :
du
∫ 1−u 2 =argth(u)+C
x2 x4
+ +...
2! 4!
2
3
x x
Développement limité de ln(1+ x) au voisinage de zéro : ln(1+x )=x− + +...
2 3
Développement limité de ch(x) au voisinage de zéro :
ch (x)=1+
Exercice 2: Youpi!
Le jeune esquimau Aputik de masse m est assis au sommet d'un igloo sphérique de rayon R0 . Il
commence à glisser en partant du repos et en supposant que le mouvement se fait sans frottement
.
1. Donnez l'expression de la force de contact entre
l'homme et l'igloo en fonction de l'angle θ, de m et du
champ de pesanteur g.
2. Déterminez l'angle
l'igloo.
θ 0 pour lequel l'esquimau quitte
Exercice 3: Professeur Tournesol en action !
C'est bien connu, l'éminent professeur Tryphon Tournesol ne se sépare jamais de son pendule.
Pourtant, vous êtes-vous déjà demandé quel angle formait le fil avec la verticale ?
On suppose que Tryphon Tournesol parvient à faire tourner son pendule autour de l'axe Oz dans le
plan passant par O à une vitesse angulaire constante ω dans le référentiel lié au laboratoire.
La direction du fil fait alors un angle α avec l'axe Oz.
Modélisons cette affaire-là :
On peut assimiler le pendule à un point matériel M de masse m suspendu à un fil inextensible de
longueur L attaché en un point O1 fixe d'un axe Oz.
Déterminez l'expression de l'angle α entre la direction du fil et l'axe Oz en fonction de ω, L, et
du champ de pesanteur g.
Notion essentielle pour réussir les exercices qui suivent :
Lorsqu'un corps est plongé dans un fluide au repos (sans contact avec les parois), la
résultante des forces de pression se nomme « Poussée d'Archimède » ⃗
Π et est égale au
poids du volume de fluide déplacé.
⃗
Π =−ρ fluide V ⃗
g pour un corps de volume V.
Exercice 4 : Bien plus grand qu'il n'y paraît :
On considère un iceberg cubique de côté a flottant à la surface de l'océan. A l'équilibre, l'iceberg
émerge d'une hauteur h au-dessus de la surface .
Calculez le rapport
h
en supposant que cet iceberg à 0° C flotte sur l'eau à 0°C . Vous
a
justifierez les hypothèses faites (s'il y en a ).
Données : masse volumique de l'eau liquide ρ l = 1,00.103 kg..m-3, masse volumique de la glace ρ g =
0,92.103 kg..m-3, masse volumique de l'air ρair = 1,3 kg..m-3
Exercice 5: Bouée à l'entrée d'un port:
Une bouée munie d’un éclairage, est placée à
l’entrée d’un port. Le poids de l’ensemble sans
lest est de 300 daN.
1.
Déterminez le volume minimal du lest et
sa masse.
Exercice 6: Plate-forme pétrolière:
Une plate-forme est utilisée pour la recherche
pétrolière. Elle se compose de deux flotteurs
parallélépipédiques (100 ×12 ×10) liés à la plate-forme
par quatre piliers cylindriques de diamètre 8 m. Les
flotteurs sont enfoncés de 5 m sous la surface de l’eau.
Déterminez la masse totale de l’ensemble.
Quelques résultats:
Exercice 1: 1) k =
4r ρ g
⋅tan α=0,25 kg.m−3 2) vlim =
2
3v 0
Exercice 2:
1) R = mg (-2 + 3 cos θ) ;2) θ0 = 48,2 °
Exercice 3: cos α = g / (Lω2)
Exercice 4 : h / a = 0,08
Exercice 5: Vlest = 0,51 m3 et mlest = 1229 kg
Exercice 6: mplateforme = 25680 tonnes
√
4r ρ g
=77 m.s−1 =277 km.h−1
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