Ch5 : Equations

Ch5 : Equations
I- Equations du premier degré
➢Une équation d'inconnue x est une égalité qui est soit vraie, soit fausse, selon les valeurs de x.
➢Une valeur de x pour laquelle l'égalité est vraie est une solution de l'équation.
➢Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Exemple 1 : Résoudre l'équation
5x + 9 = x − 8
II- Factoriser
➢Une expression est factorisée quand elle est écrite sous la forme d'un produit.
➢Factoriser est l'action contraire de développer.
➢Pour factoriser, on peut utiliser les égalités du tableau ci-dessous, qui sont vraies quels que soient les
nombres a, b et c.
Forme développée non réduite Forme factorisée
Simple distributivité
a×b + a×c
=
a × (b + c)
a×b − a×c
=
a × (b − c)
Identités
remarquables
a2 + 2×a×b + b2
=
(a + b)2
a2 − 2×a×b + b2
=
(a − b)2
a2 − b2
=
(a + b) × (a − b)
Exemple 2 :
1) Développer et réduire
2(x + 3)
.
Forme factorisée
2(x + 3)
Forme développée
non réduite
2×x + 2×3
Forme développée
réduite
2x + 6
2) Factoriser
2x + 6
.
Forme développée
réduite
2x + 6
Forme développée
non réduite
2×x + 2×3
Forme factorisée
2(x + 3)

Exemple 3 :
1) Factoriser l'expression
A = 3 x2 + 5 x
.
Forme développée réduite
3x2 + 5 x
Forme développée non réduite
3×x×x + 5×x
Forme factorisée
x(3x + 5)
A = 3 x2 + 5 x = x(3x + 5)
2) Factoriser l'expression
B = 36 x2 + 48 x + 16
.
Forme développée réduite
36 x2 + 48 x + 16
Forme développée non réduite
(6x)2 + 2×6x×4 + 42
Forme factorisée
(6x + 4)2
B = 36 x2 + 48 x + 16 = (6x + 4)2
3) Factoriser l'expression
C = 25 x2 − 49
.
Forme développée réduite
25 x2 − 49
Forme développée non réduite
(5x)2 − 72
Forme factorisée
(5x + 7)(5x − 7)
C = 25 x2 − 49 = (5x + 7)(5x − 7)
III- Equations du second degré
➢Quand
A × B = 0
, alors
A = 0
ou
B = 0
➢Pour résoudre une équation dans laquelle il reste des x² et des x, il faut :
✔un de ses membres égal à 0.
✔et une expression factorisée dans l'autre membre.
Exemple 4 : Résoudre l'équation
5x = 4 x2
5x = 4 x2
5x − 4 x2 = 0
un membre égal à 0
5×x − 4×x×x = 0
une expression factorisée
x(5 − 4 x) = 0
Quand
A × B = 0
, alors
A = 0
ou
B = 0
Donc
x = 0
ou
5 − 4 x = 0
−4x = 0 − 5
−4x
−4 = −5 −4
x = 5
4
L'équation a pour solutions 0 et
5
4
.