Ch5 : Equations

Ch5 : Equations
I- Equations du premier degré
➢
Une équation d'inconnue x est une égalité qui est soit vraie, soit fausse, selon les valeurs de x.
➢
Une valeur de x pour laquelle l'égalité est vraie est une solution de l'équation.
➢
Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Exemple 1 : Résoudre l'équation 5 x + 9 = x − 8
II- Factoriser
➢
Une expression est factorisée quand elle est écrite sous la forme d'un produit.
➢
Factoriser est l'action contraire de développer.
➢
Pour factoriser, on peut utiliser les égalités du tableau ci-dessous, qui sont vraies quels que soient les
nombres a, b et c.
Forme développée non réduite
Simple distributivité
Identités
remarquables
Forme factorisée
a×b + a×c
=
a × (b + c)
a×b − a×c
=
a × ( b − c)
a 2 + 2×a×b + b 2
=
(a + b)2
a 2 − 2×a×b + b2
=
(a − b)2
a2 − b2
=
(a + b) × (a − b)
Exemple 2 :
1) Développer et réduire 2( x + 3) .
2) Factoriser 2 x + 6 .
Forme factorisée
2( x + 3)
Forme développée
réduite
2x + 6
Forme développée
non réduite
2×x + 2×3
Forme développée
non réduite
2×x + 2×3
Forme développée
réduite
2x + 6
Forme factorisée
2( x + 3)
Exemple 3 :
2
1) Factoriser l'expression A = 3 x + 5 x .
3 x2 + 5 x
Forme développée réduite
3× x×x + 5× x
Forme développée non réduite
x (3 x + 5)
Forme factorisée
A = 3 x 2 + 5 x = x (3 x + 5)
2
2) Factoriser l'expression B = 36 x + 48 x + 16 .
Forme développée réduite
36 x 2 + 48 x + 16
Forme développée non réduite
(6 x )2 + 2×6 x×4 + 4 2
(6 x + 4) 2
Forme factorisée
B = 36 x 2 + 48 x + 16 = (6 x + 4)2
3) Factoriser l'expression C = 25 x − 49 .
2
Forme développée réduite
25 x − 49
Forme développée non réduite
(5 x)2 − 7 2
2
(5 x + 7)( 5 x − 7)
Forme factorisée
C = 25 x 2 − 49 = (5 x + 7)(5 x − 7)
III- Equations du second degré
➢
Quand A × B = 0 , alors A = 0 ou B = 0
➢
Pour résoudre une équation dans laquelle il reste des x² et des x, il faut :
✔ un de ses membres égal à 0.
✔ et une expression factorisée dans l'autre membre.
Exemple 4 : Résoudre l'équation 5 x = 4 x
2
5x = 4 x
2
5 x − 4 x2 = 0
un membre égal à 0
5× x − 4× x×x = 0
x (5 − 4 x) = 0
une expression factorisée
Quand A × B = 0 , alors
Donc
A = 0
ou
B = 0
x =0
ou
5 − 4x = 0
−4 x = 0 − 5
−4 x
−5
=
−4
−4
5
x =
4
L'équation a pour solutions 0 et
5
.
4