Terminale STG Chapitre 8 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007

Terminale STG Chapitre 8 : feuilles annexes. Page n ° 1
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1 Vocabulaire.
Exemple 1 : lancer d’une pièce de monnaie.
Le lancer d'une pièce de monnaie est une expérience aléatoire.
Il y a deux cas possibles. ( On dit aussi deux événements élémentaires ou deux éventualités ).
e
1
: « sortie de face » et e
2
: « sortie de pile ».
L'ensemble des issues possibles d'une épreuve ( ou expérience ) aléatoire est appelé l'univers de l'épreuve.
Ω = { F , P }.
La probabilité d’obtenir face est égale à
2
1
. La probabilité d’obtenir pile est égale à 1
2 .
On note p ( e
1
) = p ( e
2
) = 1
2
Exemple 2 : lancer d’un dé.
On lance un dé parfait (on dit aussi équilibré ).
Il y a 6 issues possibles.
e
1
: « sortie du 1 » et e
2
: « sortie du 2 », …, e
6
: « sortie du 6 ».
Si Ω désigne l’univers, on a : Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.
La probabilité d’obtenir 1 est égale à 1
6 .
Soit A l'événement « obtenir 4 ou 5 » c’est le sous-ensemble { 4 , 5 } de l’univers.
Sa probabilité est égale à 2
6
Soit B l'événement « obtenir 2 ou 5 ou 6 » c’est le sous-ensemble { 2 , 5 , 6 } de l’univers.
Sa probabilité est égale à 3
6 .
A U B = { 2 , 4 , 5 , 6 }.
A ∩ B = { 5 }.
A
= { 1 , 2 , 3 , 6 }.
L’événement « obtenir 7 » ne contient aucune éventualité : c’est l’ensemble vide ou événement impossible.
Sa probabilité est égale à 0.
L’événement « obtenir un nombre inférieur à 7 » contient tous les éléments de l’univers
c’est l’univers tout entier ou événement certain.
Sa probabilité est égale à 1.

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2 Probabilités conditionnelles.
Exemple : on a interrogé des élèves de terminale sur leurs loisirs : 50 % d'entre eux déclarent aimer aller en boîte
et 75 % d'entre eux déclarent aimer le sport. De plus 40 % des élèves déclarent aimer aller en boite et le sport.
Pour un de ces élèves rencontrés au hasard, on considère les événements suivants
B : " l'élève aime aller en boîte. " et S : " l'élève aime le sport ".
1. Donnons les probabilités des événements B, S, et B ∩ S.
On rencontre un élève par hasard. Donc il y a équiprobabilité.
Donc on peut appliquer la formule p =
possibles cas de nombre favorables cas de nombe
.
p ( B ) = 50
100 = 0,5
p ( S ) = 75
100 = 0,75
p ( B ∩ S ) = 40
100 = 0,4.
2. La probabilité conditionnelle de S sachant B est notée p
B
( S ) et est égale à
)B(p )BS(p ∩
.
Donc p
B
( S ) = 4
5 = 0,8.
Donc la probabilité que l'élève aime le sport sachant qu'il aime aller en boîte est égale à 0,8.
3. La probabilité conditionnelle de B sachant S est notée p
S
( B ) et est égale à
)S(p )BS(p ∩
.
Donc p
S
( B ) = 40
75
≈ 0,53.
Donc la probabilité que l'élève aime aller en boîte sachant qu'il aime le sport est proche de 0,53.
3 Arbre de probabilités.
Schéma correspondant au cours.
p ( B )
p
B
( A )
B
p
B
(
A
)
A chemin de A ∩ B
A
chemin de
A
∩ B
p (
B
)
B
p ( A )
B
B
p (
A
)
A chemin de A ∩
B
A
chemin de
A
∩
B

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Dans un lot de chemises soldées, un quart des chemises sont noires et les autres sont blanches.
Il ne reste que des tailles S et L. La moitié des chemises noires et un cinquième des blanches sont de taille L.
Jérémy choisit au hasard une chemise du lot. On considère les événements
N : " la chemise est noire. "
B : " la chemise est blanche. "
S : " la chemise est de taille S. "
L : " la chemise est de taille L. "
Calculons la probabilité que Jérémy choisisse une chemise de taille S.
0,25
0,5
N
0,5
S
L
0,75 0,8
B
0,2
S
L
Dans un lot de chemises soldées, un quart des chemises sont noires.
Or la somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Donc la probabilité que Jérémy choisisse une chemise blanche est égale à 1 − 0,25 = 0,75.
La moitié des chemises noires et un cinquième des blanches sont de taille L.
Donc la probabilité que Jérémy choisisse une chemise noire et de taille S est égale à 1 − 0,5 = 0,5.
Et la probabilité que Jérémy choisisse une chemise blanche de taille S est égale à 1 − 0,2 = 0,8.
Or la probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées sur ses branches.
Donc la probabilité que Jérémy ait choisi une chemise de taille S sachant qu'elle était noire est
de 0,25 × 0,5 = 0,125.
De même la probabilité que Jérémy ait choisi une chemise de taille S sachant qu'elle était blanche est égale à
0,75 × 0,8 = 0,6.
La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Donc p ( S ) = 0,125 + 0,6 = 0,725.
Donc la probabilité que Jérémy choisisse une chemise de taille S est égale à 0,725.

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4 Indépendance de deux événements.
Dans un sac contenant 24 jetons numérotés de 1 à 24, on tire au hasard un jeton.
Donc il y a équiprobabilité. Donc on peut appliquer la formule p =
possibles cas de nombre favorables cas de nombe
.
On considère les événements suivants :
T : " obtenir un multiple de trois. " , S " obtenir au moins 15 " et P " obtenir un nombre pair ".
1. Déterminons si les événements S et T sont indépendants.
T = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 }.
S = { 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 }.
P ( S ∩ T ) = 4
24 = 1 6
P ( S ) = 10
24 = 5 12
P ( T ) = 8
24 = 1 3
P ( S ) × p ( T ) = 5
12
× 1
3 = 5 36 .
Donc p ( S ∩ T ) ≠ p ( S ) × p ( T ).
Donc les événements S et T ne sont pas indépendants.
2. Déterminons si les événements P et T sont indépendants.
P = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 ; 22 ; 24 }.
T = { 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ; 24 }.
P ( P ∩ T ) = 4
24 = 1 6
P ( P ) = 12
24 = 1 2
P ( T ) = 1
3
Donc p ( T ) × p ( P ) = 1
3
× 1
2 = 1 6 = p ( P
∩ T ).
Donc les événements P et T sont indépendants.