MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.
r
Ex.1 Soit r ≥ 1 un entier et p ∈ (0,1). On définit pk = k−1
p (1 − p)k−r , pour k ≥ r.
t−1
Montrez que (pk , k ≥ r) définit une fonction de masse de probabilité (pmf ).
Ex.2 Supposons qu’on tire n boules avec remplacement à partir d’une urne qui contient N1
boules noires et N − N1 boules blanches. On pose p = N1 /N (la proportion de boules noires
dans l’urne) et Xn comme étant le nombre de tirages qu’il a fallu jusqu’à ce qu’on ait tiré
r boules noires, pour un certain r ∈ {1,2, . . . ,n} fixé. Si le nombre de boules noires tirées
après le ne tirage est plus petit que n, alors on pose Xn = ∞. Montrez que pour tout k ≥ r,
P (Xn = k) → pk
quand n → +∞.
(1)
Ex.3 Combien de fois (n) faut-il lancer un dé (à six faces bien équilibré) pour que la
probabilité d’obtenir au moins un “6” soit plus grande que 0,95?
Ex.4 Soit y ≥ 0 et λ > 0. Prouvez rigoureusement que
k
Z y
λ
1 X
1−
→
e−λt dt, quand n → +∞.
n 1≤k≤yn
n
0
(2)
Ex.5 Soit λ > 0. Montrer que la fonction fλ (x) := λe−λt 1{t ≥ 0} est une densité.
Ex.6 Soit (Ω,A, P ) l’espace de probabilité où Ω = (0,1], A est la sigma-algèbre de Borel
(notée B((0,1])), et où P ((a,b]) = b − a pour tout intervalle (a,b] ⊆ (0,1] (ce qui est suffisant
pour définir tout P , cf. Théorème d’équivalence entre mesure de probabilité et fonction de
distribution (P vs F )). Montrer que
1−ω
1
(3)
X(ω) = − log
λ
λ
suit une distribution exponentielle.
Ex.7 (difficile) Soit F une fonction de distribution continue et strictement croissante. Comment construire une variable aléatoire X sur l’espace mesurable ((0,1], B((0,1])) de l’exercice
précédent qui a comme fonction de distribution la fonction F donnée.
Ex.8 Supposons que, d’une urne contenant au départ N boules dont N1 sont noires, on tire
des boules sans remplacement jusqu’à ce que l’on tire une boule noire. On pose X le nombre
de tirage effectués. Déterminez la pmf associée à X, c’est-à-dire, déterminez P (X = k),
pour tout k ∈ K (où K est un ensemble indices approprié).
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