proba 1s 08-09

PROBABILITÉS
I.
LOI DE PROBABILITÉ
On réalise des expériences aléatoires, encore appelées épreuves, qui peuvent être répétées dans des conditions identiques,
On connaît l’ensemble des résultats possibles, sans pour autant en prévoir le résultat à priori.
On suppose que l’épreuve a un nombre fini n d’issues ou d’éventualités. On les notera e i .
Ω = {e 1 ; e 2 ; e 3 ; … ; e n}
On désigne par Ω (oméga) l’ensemble de toutes les issues e i . Ω est appelé l’univers.
Définition 1 Définir une loi de probabilité sur l’univers Ω, c’est associer à chaque issue e i un réel positif p i , tel que
p1 + p2 + … + pn = 1.
n
On écrit : ∑ p i = 1 . On lit: « somme pour i variant de 1 à n de p indice i égale 1 ».
i=1
On représente souvent une loi de probabilité par un tableau.
issues e i
e1 e2 e3 …
probabilités pi p1 p2 p3 …
en
pn
Modéliser l’expérience c’est choisir une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue
On admet que, pour des épreuves se prêtant à des expérimentations répétées, les fréquences f i d’apparition de chaque issue x i ont
tendance à se stabiliser, lorsque le nombre de répétitions devient grand. C’est la loi des grands nombres.
On peut alors modéliser l’expérience en associant à chaque issue e i le réel p i vers lequel semble tendre f i . On a 0  p i  1.
Définition 2 On dit que la loi est équirépartie, ou qu’il y a équiprobabilité, lorsque tous les réels p i sont égaux à 1.
n
Définition 3 Dans le cas où ei est un réel on définit l’espérance E, la variance V et l’écart type σ de la loi de probabilité
n
ainsi :
E = p1 e 1 + p2 e 2 + … + pn e n = ∑ p i e i
i=1
;
n
n
i=1
i=1
V = ∑ p i (e i – E) 2 = ∑ p i e i 2 – E
2
et
σ= V
Exercice 1 Déterminer dans chaque cas un univers Ω et définir une loi de probabilité sur Ω pour modéliser l’expérience.
Calculer ensuite, lorsque c’est possible, l’espérance, la variance et l’écart type de la loi de probabilité.
1) On prélève une boule dans une urne contenant 3 rouges (R), 2 bleues (B) et 1 jaune (J).
2) On lance deux pièces parfaitement équilibrées et on observe les faces (pile / face).
3) On lance une fois un dé pipé à 6 faces pour lequel le 6 sort trois fois plus que le 3, le 2 sort deux fois moins que le 3.
Les 1, 3, 4 et 5 sortent autant les uns que les autres.
II. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
Définition 4 Un événement A est une partie, ou un sous-ensemble, de l’univers.
Un événement élémentaire est un événement formé d’une seule issue e i . On le note { e i }.
On dit que l’issue e i réalise l’événement A lorsque e i appartient à A.
Ω est l’événement certain, toutes les issues le réalisent et ∅ est l’événement impossible, aucune issue ne le réalise.
Définition 5 Une loi de probabilité est définie sur l’univers Ω.
La probabilité de l’événement A est la somme des probabilités pi des issues qui le réalisent. On la note p (A).
La probabilité de l’événement impossible ∅ est p (∅
∅) = 0 .
La probabilité de l’événement élémentaire { e i } est p ({ e i }) = p i et celle de l’événement certain est p (Ω
Ω) = 1 .
Exercice 2 Suite de l’exercice 1(3). Calculer la probabilité de l’événement A « On obtient un nombre inférieur à 2 ».
L’événement A est réalisé par les issues ……
On a donc p (A) = ……
( On peut écrire A = { ……
propriété 1 Pour tout événement A, 0 £ p (A) £ 1.
propriété 2 Lorsqu’il y a équiprobabilité :
Toute probabilité non comprise entre 0 et 1 doit être signalée
comme fausse.
p(A) = nombre d’issues réalisant A = nombre de cas favorables
nombre total de cas
nombre total d’issues dans Ω
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III. ÉVÉNEMENTS A ∩ B , A ∪ B et Ā
Définition 6 Soient A et B deux événements de l’univers Ω.
• L’événement A et B, noté A ∩ B , est constitué des issues qui réalisent A et B en même temps.
• L’événement A ou B , noté A ∪ B , est constitué des issues qui réalisent au moins l’un des deux événements.
• Lorsque A ∩ B = ∅ (aucune issue ne réalise A et B en même temps) on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.
propriété 3 1 p (A ∪ B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B )
2 p (A ∪ B) = p (A) + p (B) si, et seulement si, A et B sont incompatibles.
Définition 7 L’événement contraire de A, noté Ā (on lit : « A barre ») est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas A.
Le contraire de l’événement impossible ∅ est l’événement certain Ω ( ∅ = Ω ) et vice-versa ( Ω = ∅ ).
Un événement A et son contraire Ā sont incompatibles : A ∩ Ā = ∅.
propriété 4 p (Ā) = 1 – p (A).
Démonstration : A et Ā sont incompatibles et A ∪ Ā = Ω donc
p (A ∪ Ā) = ……
Exercice 3 Suite de l’exercice 2. Définir par une phrase l’événement Ā et calculer sa probabilité.
IV. VARIABLES ALÉATOIRES
Définition 8 Ω est l’univers associé à une expérience aléatoire.
• Une variable aléatoire X sur l’univers Ω est une fonction définie sur Ω. On considère le cas où les images sont des réels
• La variable X prenant les valeurs x 1 , x 2 , … , x k , on note (X = x i ) l’événement « X prend la valeur x i ».
Il contient toutes les issues dont l’image par X est x i .
• On définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X en associant à chaque valeur x i la probabilité p’i = p (X = x i ).
• L’espérance, la variance et l’écart type de cette loi de probabilité sont aussi appelées espérance, variance et écart type
de la variable aléatoire X.
EXERCICE 4 Un joueur mise 15 € puis lance successivement trois pièces de monnaie parfaitement équilibrées.
Il gagne 18 € s’il obtient trois fois Face, 17 € s’il obtient deux fois Face exactement ; 16 € s’il obtient une fois Face exactement.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne la somme gagnée ou perdue à l’issue du jeu.
1)
Déterminer les valeurs prises par X et définir par une phrase l’événement (X = – 15).
2) a) Établir, à l’aide d’un arbre, la loi de probabilité de la variable aléatoire X
en complétant les deux premières lignes du tableau ci-dessous.
xi
TOTAL
p (X = x i )
xi × p (X = x i )
xi2 × p (X = x i )
b)
Calculer l’espérance E, la variance V et l’écart type σ de X .
3)
Le jeu est dit équitable lorsque l’espérance de X est nulle.
Quel devrait être le gain g du joueur, lorsqu’il n’obtient que des face , pour que le jeu soit équitable ?
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EXERCICE 5 On met dans un sac quatre jetons verts numérotés de 1 à 4, trois jetons rouges numérotés de 3 à 5, trois jetons
noirs numérotés de 1 à 3 et deux jetons oranges numérotés de 2 à 3.
On tire au hasard un jeton du sac (il est donc sous entendu que chaque jeton à la même chance d’être tiré). On note :
V : l’événement « le jeton est vert » ;
A : l’événement « le jeton porte le numéro 1 » ;
B : l’événement « le jeton porte le numéro 2 » ;
R : l’événement « le jeton est rouge » ;
N : l’événement « le jeton est noir » ;
C : l’événement « le jeton porte le numéro 3 » ;
O : l’événement « le jeton est orange » ;
D : l’événement « le jeton porte le numéro 4 ».
1) Déterminer l’univers Ω et une loi de probabilité équirépartie sur Ω.
tirages (issues x i)
probabilités
2) Citer un événement élémentaire : « On tire ……
un événement certain : « On tire ……
un événement impossible : « On tire ……
3) Énumérer, pour A, B et V, les issues qui les réalisent.
4) Compléter :
événement
probabilité
V
A = { ……
R
N
, B = { ……
O
A
, V = { ……
B
C
D
5) Énumérer les éventualités qui réalisent les événements ci dessous puis les traduire par une phrase. En déduire leur probabilité.
a) V ∩ A = { ……
« On tire ……
p (V ∩ A) = ……
b) V ∪ A = { ……
« On tire ……
p (V ∪ A) = ……
c) R ∩ B = ……
« On tire ……
p (R ∩ B) = ……
d) R ∪ B = { ……
« On tire ……
p (R ∪ B) = ……
e) V ∪ C = { ……
« On tire ……
p ( V ∪ C ) = ……
6) Écrire chaque événement à l’aide des événements V, N, O, A, B, C, de leurs contraires, d’une intersection ou réunion de ces
événements puis déterminer leur probabilité.
a) E : « le jeton tiré est vert et porte le numéro 3 »
E = ……
p (E) = ……
b) F : « le jeton tiré est vert et ne porte pas le numéro 3 »
F = ……
p (F) = ……
c) G : « le jeton tiré n’est ni noir, ni orange »
G = ……
p (G) = ……
d) H : « le jeton tiré porte un numéro supérieur à 3 »
H = ……
p (H) = ……
EXERCICE 6 On place dans une urne 3 jetons verts numérotés de 1 à 3 et 2 jetons blancs numérotés de 1 à 2.
1) On tire un premier jeton, on le remet dans l’urne puis on tire un deuxième jeton (tirages successifs avec remise).
On définit, à l’aide du tableau, une loi de probabilité équirépartie sur l’univers. Donner la probabilité des événements :
2e
p (A) = ……
p’ (A) = ……
V1 V2 V3 B 1 B 2
• A : « les jetons sont verts »
er
1
p’ (B) = ……
p (B) = ……
V1
• B : « les jetons sont blancs »
V2
p (C) = ……
p’ (C) = ……
• C : « les jetons sont de la même couleur »
V3
p
(D)
=
……
p’
(D)
=
……
B
• D : « les jetons sont de couleurs différentes »
1
B2
• E : « au moins un des deux jetons est vert »
p (E) = ……
p’ (E) = ……
•
F : « les jetons portent le même numéro »
p (F) = ……
p’ (F) = ……
•
G : « les jetons portent un numéro pair »
p (G) = ……
p’ (G) = ……
2) Reprendre la question précédente avec le tirage successif et sans remise de deux jetons dans l’urne.
3) On tire maintenant successivement et sans remise trois jetons. Calculer p (A) et p (B).
On ne peut plus utiliser un tableau pour déterminer le nombre total d’issues.
•
Pour le 1er jeton on a … possibilités, puis … et … possibilités pour les jetons suivants. On a donc en tout ……
•
Déterminons maintenant le nombre de cas favorables pour l’événement A.
issues.
Pour le 1er jeton on a … possibilités, puis … et … possibilités pour les jetons suivants. Donc p (A) = ……
•
p (B) = ……
4) Reprendre la question précédente avec le tirage successif de trois jetons, avec remise du jeton tiré après chaque tirage.
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EXERCICE 7 Dans une association sportive de 65 membres, 25 sont inscrits à la section tennis , 18 sont inscrits à la section
natation et 8 personnes pratiquent les deux sports. On interroge au hasard (1) un membre de l’association.
On note : T l’événement : « il pratique le tennis » ; N l’événement : « il pratique la natation ».
(1) Il est sous-entendu ici que la loi est équirépartie. Ce qui doit être signalé avant de commencer le 1er calcul de probabilité.
Rédaction type : On a une loi équirépartie avec …… issues en tout
1)
T
Compléter le diagramme d’effectifs et le tableau.
T
total
N
T
N
total
N
2) Écrire chaque événement à l’aide des événements N et T puis calculer leur probabilité.
a) A : « il ne pratique pas le tennis »
A = ……
p (A) = ……
b) B : « il pratique seulement le tennis »
B = ……
p (B) = ……
c)
C : « il pratique les deux sports »
C = ……
p (C) = ……
c)
D : « il pratique au moins un des deux sports »
D = ……
p (D) = ……
d) E : « il ne pratique ni la natation, ni le tennis »
E = ……
p (E) = ……
(2) D’après la propriété 3 on a : p (D) = ……
3) On interroge un membre qui ne pratique pas la natation. Calculer la probabilité de l’événement A.
EXERCICE 8 Dans un club de loisirs proposant diverses activités, 150 personnes sont inscrites dont 65 à l’activité tarot, 68 à
l’activité photo et 83 à l’activité jeux vidéo. Parmi ces personnes, 38 sont inscrites en même temps aux activités jeux vidéo et
photo, 28 aux activités tarot et jeux vidéo et 34 aux activités tarot et photo. 15 personnes sont inscrites aux trois activités.
On interroge au hasard un membre de ce club. On considère les événements suivants :
1) Établir un diagramme d’effectifs analogue à celui de l’exercice 3 (un tableau est ici impossible).
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
a) A : « il pratique l’activité tarot »
p (A) = ……
b) B : « il pratique uniquement l’activité tarot »
p (B) = ……
c)
C : « il pratique uniquement une activité »
p (C) = ……
c)
D : « il pratique exactement deux activités »
p (D) = ……
d) E : « il ne pratique aucune activité »
p (E) = ……
e)
p (F) = ……
F : « il pratique au moins une activité »
EXERCICE 9 Dans une librairie, une étude statistique a permis d’établir l’estimation suivante sur la répartition de l’ensemble
des ventes :
• 54 % des ventes sont des romans et un quart d’entre eux sont en format « non poche » ;
• 25 % sont des essais et 20 % d’entre eux sont en format « non poche » ;
• parmi le reste des autres livres un tiers est de format « non poche ».
P
total
P
1) Compléter le tableau de pourcentages, exprimés par rapport à l’ensemble des ventes.
R
2) Un client entre et choisit un livre. Soit les événements : R : « le livre est un
E
roman » ; E : « le livre est un essai » ; P : « le livre est de format poche ».
A
Déterminer la probabilité de l’événement R puis, après les avoir définis par une
total
phrase, celle des événements P , R ∩ P, R ∪ P , R ∩ E et R ∪ E.
3)
Le client choisit un livre parmi les livres de format « non poche ».
Calculer la probabilité des événements de la question précédente.
EXERCICE 10 A et B sont deux événements incompatibles tels que p (Ā) = 0,8 et p (B) = 0,7. Calculer p (A ∪ B).
EXERCICE 11 A et B sont deux événements tels que p (A) = 0,64 et p (B) = 0,45.
a) Justifier que A et B ne peuvent pas être incompatibles.
b) Calculer p (A ∩ B) sachant que p (A ∪ B) = 0,7.
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