a + b

Démonstration du théorème
de Pythagore
1. A la découverte du théorème de Pythagore ( comparaison
des carrés des longueurs des côtés).
2. A la découverte du théorème de Pythagore ( Géoplan)
3. Démonstration visuelle du théorème de Pythagore.
4. Démonstration du théorème de Pythagore.
5. A la découverte de la réciproque du théorème de Pythagore.
6. Retour au menu principal.
A partir d ’un triangle ABC rectangle en A, nous allons
calculer AB²+AC² et le comparer à BC²
C
A
B
AB²
AB²+AC²=
BC²=
AC²
c:25.35
s:54.28
a:54.28
b:28.93
C
A
B
C
B
A
Sur tous les triangles précédemment dessinés
bien que les points A, B et C soient déplacés, on remarque que:
AB² + AC² = BC²
Nous venons de découvrir le théorème de Pythagore
c
b
a² + b² = c²
a
Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés
des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal
au carré de la longueur de l’hypoténuse.
Démonstration du théorème
de Pythagore
1. A la découverte du théorème de Pythagore ( comparaison
des carrés des longueurs des côtés).
2. A la découverte du théorème de Pythagore ( Géoplan)
3. Démonstration visuelle du théorème de Pythagore.
4. Démonstration du théorème de Pythagore.
5. A la découverte de la réciproque du théorème de Pythagore.
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Démonstration du théorème
de Pythagore
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
c
b
a
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
c
b
a
c
b
a
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
On dispose ces quatre triangles de
deux façons différentes
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
c
b
b
b
a
a
On dispose ces quatre triangles de
deux façons différentes
c
b
c
b
a
c
a
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
b
a
On dispose ces quatre triangles de
deux façons différentes
c
b
c
b
a
c
a
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
c
b
a
On dispose ces quatre triangles de
deux façons différentes
b
c
a
c
b
a
b
a
c
c
b
a
Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :
On dispose ces quatre triangles de
deux façons différentes
b
b
a
c
b
a
c
c
b
a
a
a
b
c
c
c
b
a
On obtient deux quadrilatères ABCD de même coté : a + b
Or si un quadrilatère a tous ses côtés de la même longueur
alors c’est un losange
Donc ABCD est un losange sur les deux figures
a+b
b
A
c
b
a
c
c
A
B
a
a
a+b
a
D
a+b
b
a
B
b
c
c
c
b
b
C
D
C
a
ABCD est un losange et a un angle droit
Or si un losange a un angle droit
alors c ’est un carré
Donc ABCD est un carré
Angles droits
a+b
b
A
c
b
D
a
c
c
A
a
a
a+b
a
B
a+b
b
a
B
b
c
c
c
b
b
C
D
C
a
ABCD est un carré
AGFI est un quadrilatère dont tous
les côtés ont la même longueur a et
possède un angle droit.
Donc AGFI est un carré de côté a
De même HFEC est un carré de côté b
a+b
a+b
b
a
c
c
F
G
a
a
b
H
A
a
E
c
b
D
B
a+b
I
A
b
M
a
B
b
c
c
S
N
c
b
C
D
C
a
R
ABCD est un carré
AGFI est un quadrilatère dont tous
les côtés ont la même longueur a et
possède un angle droit.
Démontrons que MNRS est un carré
Donc AGFI est un carré de côté a
De même HFEC est un carré de côté b
a+b
a+b
b
a
c
c
F
G
a
a
b
H
A
a
E
c
b
D
B
a+b
I
A
b
M
a
B
b
c
c
S
N
c
b
C
D
C
a
R
Démontrons que MNRS est un carré
A
a
a+b
M
a
b
c
S
b
N
c
b
D
C
a
R
S
c
b
c
N
B
D
C
a
R
Démontrons que MNRS est un carré
A
a
a+b
M
a
b
c
S
S
c
b
c
N
B
b
N
D
C
a
R
SDR et RCN sont deux triangles semblables
c
b
D
C
a
R
Donc les angles DRS et RNC sont égaux
De même les angles DSR et NRC sont égaux
Démontrons que MNRS est un carré
A
a
a+b
M
a
b
c
S
b
N
c
C
a
D
C
a
R
Or les angles aigus dans un triangle
rectangle sont complémentaires
b
D
S
c
b
c
N
B
R
Démontrons que MNRS est un carré
A
a
a+b
M
a
b
c
S
b
N
c
D
C
a
R
Or les angles aigus dans un triangle
rectangle sont complémentaires
b
D
S
c
b
c
N
B
C
a
R
Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires
Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure 90°
Démontrons que MNRS est un carré
A
a
a+b
M
a
b
c
S
S
c
b
c
N
B
b
N
D
C
a
R
c
b
D
C
a
R
MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même
longueur et un angle droit.
Donc MNRS est un carré.
ABCD est un carré
AGFI est un carré de côté a
Donc MNRS est un carré de côté c
HFEC est un carré de côté b
A
a
c
a
b
b
H
A
a
E
c
a
B
c
F
G
D
b
a+b
a+b
I
a+b
M a
b
B
b
c
c
S
N
c
b
C
D
C
a
R
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles
on obtient deux nouvelles figures de même aire:
A
a
c
a
b
b
H
A
a
E
c
a
B
c
F
G
D
b
a+b
a+b
I
a+b
M a
b
B
b
c
c
S
N
c
b
C
D
C
a
R
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles
on obtient deux nouvelles figures de même aire :
I
A
A
c
a
F
G
E
c
b
b
D
a
a
H
b
M
c
c
S
N
c
b
C
D
C
a
R
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles
on obtient deux nouvelles figures de même aire :
I
A
M
a
F
G
E
c
b
b
D
a
c
c
H
S
N
c
b
C
D
C
a
R
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles
on obtient deux nouvelles figures de même aire :
I
A
M
a
F
G
E
b
b
D
a
c
c
H
S
c
N
c
b
C
D
a
R
L’aire des deux figures est identique
Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles
on obtient deux nouvelles figures de même aire :
L’aire du carré AGFI est a²
L’aire du carré MNRS est c²
L’aire du carré HFEC est b²
Donc: a² + b² = c²
I
A
M
a
G
c
c
F
E
b
H
C
S
c
N
c
R
Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore
c
b
a² + b² = c²
a
Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés
des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal
au carré de la longueur de l’hypoténuse.
Démonstration du théorème
de Pythagore
1. A la découverte du théorème de Pythagore ( comparaison
des carrés des longueurs des côtés).
2. A la découverte du théorème de Pythagore ( Géoplan).
3. Démonstration visuelle du théorème de Pythagore.
4. Démonstration du théorème de Pythagore.
5. A la découverte de la réciproque du théorème de Pythagore.
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