DE L`ARITHM´ETIQUE`A LA TH´EORIE DES NOMBRES

Boyer Pascal
DE L’ARITHM´ ETIQUE ` A LA
TH´ EORIE DES NOMBRES

Boyer Pascal

DE L’ARITHM´ ETIQUE ` A LA TH´ EORIE DES NOMBRES
Boyer Pascal

TABLE DES MATI` ERES
I. Arithm´etique de Z................................................................. 5
I.1. Les entiers relatifs................................................................. 5
I.1.1. Discr´etion.................................................................... 5
I.1.2. Divisibilit´e.................................................................... 6
I.1.3. Sous-groupes de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1.4. Plus grand diviseur commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1.5. Le groupe Z/nZ: congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.1.6. L’anneau Z/nZ: petit th´eor`eme de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2. Quelques preuves de la loi de r´eciprocit´e quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.2.1. ´ Enonc´es...................................................................... 13
I.2.2. Preuve d’Eisenstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.2.3. via le symbole de Zolotarev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2.4. en utilisant les r´esultants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.2.5. via une ´equation diophantienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.2.6. par les sommes de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.2.7. par la th´eorie de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II. Nombres premiers................................................................ 29
II.1. Comment produire des nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.1.1. Th´eor`eme de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II.1.2. Familles polynomiales........................................................ 31
II.1.3. L’ensemble des nombres premiers n’est pas alg´ebrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.1.4. L’ensemble des nombres premiers est diophantien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.1.5. Autour du th´eor`eme de Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II.2. Tests de primalit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.2.1. Nombres de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II.2.2. Nombres de Mersenne....................................................... 39
II.2.3. Autour du petit th´eor`eme de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.2.4. AKS......................................................................... 43
II.2.5. Conjectures d’actualit´e sur les nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III. Th´eorie des nombres............................................................. 49
III.1. Th´eorie des corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49