Sans titre - Université de Rennes 1

L2 mathématiques, Analyse 3
DS1
(30 septembre 2009, durée 1h)
Exercice 1. Soient f et g deux fonctions bornées de R dans R. Montrer que la fonction f + g
est bornée et que l’on a l’encadrement suivant :
sup(f ) + inf(g) ≤ sup(f + g) ≤ sup(f ) + sup(g).
Les bornes inférieures inf (f ) et inf (g) sont des minorants de f et g respectivement. Pour tout
x, on a donc
f (x) ≥ inf (f ) g(x) ≥ inf (g)
On en déduit
f (x) + g(x) ≥ inf (f ) + g(x) ≥ inf (f ) + inf (g).
Les bornes supérieures sup(f ) et sup(g) sont des majorants de f et g respectivement. Pour tout
x, on a donc
f (x) ≤ sup(f ) g(x) ≤ sup(g)
On en déduit
f (x) + g(x) ≤ sup(f ) + g(x) ≤ sup(f ) + sup(g).
La fonction f + g est donc minorée et majorée, i.e. bornée. D’autre part comme sup(f + g) est
le plus petit des majorants de f + g et que nous venons de voir que sup(f ) + sup(g) est un
majorant de f + g, on a
sup(f + g) ≤ sup(f ) + sup(g).
Pour tout x, de g(x) ≥ inf (g) on déduit f (x) + g(x) ≥ f (x) + inf (g). Or, si une fonction est
inférieure ou égale à une autre, la borne supérieure de la première est inférieure à celle de la
deuxième. On a donc
sup(f + g) ≥ sup(f (x) + inf (g)) = sup(f ) + inf (g).
Exercice 2. 1) Soit (un )n∈N une suite à valeurs réelles et l un nombre réel. Écrire la définition
de la convergence de (un )n∈N vers l.
Un nombre l est limite d’une suite (un ) si :
∀! > 0 ∃N ∀n ≥ N |un − l| < !.
2) On suppose que (un )n∈N converge vers un nombre réel l différent de 0. Montrer qu’il existe
N ∈ N tel que pour tout n ≥ N on ait |un | ≤ 2|l|.
Si l '= 0 alors |l| > 0. D’après la définition donnée en 1), il existe N tel que pour n ≥ N on ait
|un − l| < |l|.
On a alors, pour n ≥ N ,
|un | ≤ |un − l| + |l| ≤ |l| + |l| = 2|l|.
Est-ce encore vrai si l = 0 ?
Non. Par exemple la suite (1/n)n tend vers 0 mais n’est pas nulle à partir d’un certain rang.
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Université de Rennes 1, 2008/2009
Exercice 3. Résoudre dans R l’inéquation suivante :
|x − 3| < |x + 1| − 1.
Considérons trois cas.
x ≤ −1. Alors l’inéquation s’écrit : 3 − x < −x − 1 − 1 soit 3 < −2. Il n’y a pas de solution à
l’inéquation inférieure à -1.
−1 < x < 3. Alors l’inéquation s’écrit : 3 − x < x + 1 − 1 soit 2x > 3 ou x > 3/2. Les éléments
de ]3/2, 3[ sont solutions de l’inéquation.
x ≥ 3. Alors l’inéquation s’écrit : x − 3 < x + 1 − 1 soit −3 < 0 ce qui est vrai. Les éléments de
[3, +∞[ sont solutions de l’inéquation.
Conclusion : l’ensemble des solutions est ]3/2, +∞[.
Exercice 4. 1) Montrer que si le carré d’un nombre entier p est multiple de 3 alors le nombre
p lui-même est multiple de 3.
Il suffit de montrer que si un nombre n’est pas multiple de 3 alors son carré ne l’est pas non
plus. Soit n un nombre qui n’est pas multiple de 3. Alors il s’écrit n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 avec
k entier.
Si n = 3k + 1 alors n2 = 9k 2 + 6k + 1 = 3(3k 2 + 2k) + 1 n’est pas multiple de 3.
2
2
2
Si n = 3k + 2 alors
√ n = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k + 1) + 1 n’est pas multiple de 3.
2) Montrer que √ 3 n’est pas rationnel.
√
Supposons que 3 le soit. Alors on peut écrire 3 = p/q avec p et q entiers premiers entre eux,
q '= 0. En portant cette égalité au carré on obtient 3 = p2 /q 2 soit p2 = 3q 2 . En particulier p2
est un multiple de 3. D’après la première question, on en déduit que p lui-même est multiple de
3. Il existe p" entier tel que p = 3p" . L’égalité p2 = 3q 2 devient 9p"2 = 3q 2 ou encore 3p"2 = q 2 .
Le carré q 2 est donc multiple de 3 et, toujours d’après la première question, q est multiple de 3.
Finalement p et q sont tous les deux divisibles par 3. Contradiction car ils sont premiers entre
eux par hypothèse.
Exercice 5. Soit D l’ensemble des nombres décimaux. Considérons l’ensemble
A = {x ∈ D /
1
≤ x}.
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1) Donner le développement décimal de 17 . Le nombre 17 appartient-il à A ?
On obtient le développement décimal de 1/7 en faisant des divisions comme on sait les faire
depuis longtemps. Cela donne 1/7 = 0, 14285714285714857142... : les chiffres 142857 se répètent
indéfiniment. Le nombre 1/7 n’est pas décimal (car 7 divise le dénominateur de l’écriture irréductible de la fraction, car le développement décimal ne se termine pas par des 0 ou des 9) donc
1/7 n’appartient pas A.
2) Quelle est la borne inférieure de A ? L’ensemble A a-t-il un plus petit élément ? Justifier.
Par définition 1/7 est un minorant de l’ensemble A. La borne inférieure de A est donc supérieure
ou égale à 1/7 (car la borne inférieure de A est le plus grand des minorants de A). Soit x un
nombre plus grand que 1/7. Il existe l tel que x − 1/7 > 10−l car la suite (10−l )l tend vers 0.
Prenons un tel l. Alors 1/7 + 10−l < x. Autrement dit on peut ajouter 1 au lième chiffre du
développement décimal de 1/7 en restant inférieur à x. Le nombre décimal obtenu en ajoutant
1 au lième chiffre du développement décimal de 1/7 et en remplaçant tous les chiffres à partir
du (l + 1)ième par 0 est un nombre à la fois supérieur à 1/7 et inférieur à x. Cela signifie que ce
nombre est un élément de A inférieur à x, donc que x n’est pas un minorant de A. En conclusion,
1/7 est un minorant de A et tous les nombres supérieurs à 1/7 ne sont pas des minorants de A.
C’est dire que 1/7 est le plus grand des minorants de A, sa borne inférieure. La borne inférieure
de A n’appartient pas à A donc A n’a pas de plus petit élément.
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