Sans titre - Université de Rennes 1

L2 mathématiques, Analyse 3
DS1
(30 septembre 2009, durée 1h)
Exercice 1. Soient fet gdeux fonctions bornées de Rdans R. Montrer que la fonction f+g
est bornée et que l’on a l’encadrement suivant :
sup(f) + inf(g)≤sup(f+g)≤sup(f) + sup(g).
Les bornes inférieures inf(f)et inf(g)sont des minorants de fet grespectivement. Pour tout
x, on a donc
f(x)≥inf(f)g(x)≥inf(g)
On en déduit
f(x)+g(x)≥inf(f)+g(x)≥inf(f)+inf(g).
Les bornes supérieures sup(f)et sup(g)sont des majorants de fet grespectivement. Pour tout
x, on a donc
f(x)≤sup(f)g(x)≤sup(g)
On en déduit
f(x)+g(x)≤sup(f)+g(x)≤sup(f)+sup(g).
La fonction f+gest donc minorée et majorée, i.e. bornée. D’autre part comme sup(f+g)est
le plus petit des majorants de f+get que nous venons de voir que sup(f)+sup(g)est un
majorant de f+g, on a
sup(f+g)≤sup(f)+sup(g).
Pour tout x, de g(x)≥inf(g)on déduit f(x)+g(x)≥f(x)+inf(g). Or, si une fonction est
inférieure ou égale à une autre, la borne supérieure de la première est inférieure à celle de la
deuxième. On a donc
sup(f+g)≥sup(f(x)+inf(g)) = sup(f)+inf(g).
Exercice 2. 1) Soit (un)n∈Nune suite à valeurs réelles et lun nombre réel. Écrire la définition
de la convergence de (un)n∈Nvers l.
Un nombre lest limite d’une suite (un)si :
∀!>0∃N∀n≥N|un−l|<!.
2) On suppose que (un)n∈Nconverge vers un nombre réel ldifférent de 0. Montrer qu’il existe
N∈Ntel que pour tout n≥Non ait |un|≤2|l|.
Si l'=0alors |l|>0. D’après la définition donnée en 1), il existe Ntel que pour n≥Non ait
|un−l|<|l|.
On a alors, pour n≥N,
|un|≤|un−l|+|l|≤|l|+|l|=2|l|.
Est-ce encore vrai si l=0?
Non. Par exemple la suite (1/n)ntend vers 0 mais n’est pas nulle à partir d’un certain rang.
1Université de Rennes 1, 2008/2009

Exercice 3. Résoudre dans Rl’inéquation suivante :
|x−3|<|x+1|−1.
Considérons trois cas.
x≤−1. Alors l’inéquation s’écrit : 3−x<−x−1−1soit 3<−2. Il n’y a pas de solution à
l’inéquation inférieure à -1.
−1<x<3. Alors l’inéquation s’écrit : 3−x<x+1−1soit 2x>3ou x>3/2. Les éléments
de ]3/2,3[ sont solutions de l’inéquation.
x≥3. Alors l’inéquation s’écrit : x−3<x+1−1soit −3<0ce qui est vrai. Les éléments de
[3,+∞[sont solutions de l’inéquation.
Conclusion : l’ensemble des solutions est ]3/2,+∞[.
Exercice 4. 1) Montrer que si le carré d’un nombre entier pest multiple de 3 alors le nombre
plui-même est multiple de 3.
Il suffit de montrer que si un nombre n’est pas multiple de 3 alors son carré ne l’est pas non
plus. Soit nun nombre qui n’est pas multiple de 3. Alors il s’écrit n=3k+1 ou n=3k+2 avec
kentier.
Si n=3k+1alors n2=9k2+6k+ 1 = 3(3k2+2k)+1n’est pas multiple de 3.
Si n=3k+2alors n2=9k2+ 12k+ 4 = 3(3k2+4k+1)+1n’est pas multiple de 3.
2) Montrer que √3n’est pas rationnel.
Supposons que √3le soit. Alors on peut écrire √3=p/q avec pet qentiers premiers entre eux,
q'=0. En portant cette égalité au carré on obtient 3=p2/q2soit p2=3q2. En particulier p2
est un multiple de 3. D’après la première question, on en déduit que plui-même est multiple de
3. Il existe p"entier tel que p=3p". L’égalité p2=3q2devient 9p"2=3q2ou encore 3p"2=q2.
Le carré q2est donc multiple de 3 et, toujours d’après la première question, qest multiple de 3.
Finalement pet qsont tous les deux divisibles par 3. Contradiction car ils sont premiers entre
eux par hypothèse.
Exercice 5. Soit Dl’ensemble des nombres décimaux. Considérons l’ensemble
A={x∈D/1
7≤x}.
1) Donner le développement décimal de 1
7. Le nombre 1 7appartient-il à A?
On obtient le développement décimal de 1/7en faisant des divisions comme on sait les faire
depuis longtemps. Cela donne 1/7 = 0,14285714285714857142... : les chiffres 142857 se répètent
indéfiniment. Le nombre 1/7n’est pas décimal (car 7divise le dénominateur de l’écriture irré-
ductible de la fraction, car le développement décimal ne se termine pas par des 0 ou des 9) donc
1/7n’appartient pas A.
2) Quelle est la borne inférieure de A? L’ensemble Aa-t-il un plus petit élément ? Justifier.
Par définition 1/7est un minorant de l’ensemble A. La borne inférieure de Aest donc supérieure
ou égale à 1/7(car la borne inférieure de Aest le plus grand des minorants de A). Soit xun
nombre plus grand que 1/7. Il existe ltel que x−1/7>10−lcar la suite (10−l)ltend vers 0.
Prenons un tel l. Alors 1/7 + 10−l<x. Autrement dit on peut ajouter 1 au lième chiffre du
développement décimal de 1/7en restant inférieur à x. Le nombre décimal obtenu en ajoutant
1 au lième chiffre du développement décimal de 1/7et en remplaçant tous les chiffres à partir
du (l+ 1)ième par 0 est un nombre à la fois supérieur à 1/7et inférieur à x. Cela signifie que ce
nombre est un élément de Ainférieur à x, donc que xn’est pas un minorant de A. En conclusion,
1/7est un minorant de Aet tous les nombres supérieurs à 1/7ne sont pas des minorants de A.
C’est dire que 1/7est le plus grand des minorants de A, sa borne inférieure. La borne inférieure
de An’appartient pas à Adonc An’a pas de plus petit élément.
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