Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°21
1°/ Résoudre dans Z2 l’équation: 13 x – 84 y = 7 (1).
2°/ Montrer que si (x, y) est solution de (1), alors PGCD(x, y) vaut 1 ou 7.
3°/ En déduire les solutions (x, y) de (1) telle que PGCD (x, y) = 1.
EXERCICE N°22
On se propose de résoudre dans Z2 l’équation : 36 x – 25 y = 10 (1).
1°/ Montrer que pour toute solution (x, y) de (1), x est un multiple de 5.
2°/ Déterminer une solution particulière de (1).
3°/ En déduire l’ensemble des solutions de (1) Vérifier que y est toujours pair.
4°/ Soit (x, y) une solution de (1) et d = PGCD (x, y).
a) Quelles sont les valeurs possibles de d?
b) Quels sont les solution pour les quelles d = 2 ?
EXERCICE N°23:
1°/ Déterminer deux entiers u et v tels que 9u – 11v = 1.
2°/ Soit a, b et x trois entiers. Montrer que si x
a (mod 9) et x
b (mod 11) alors x
45b – 44a (mod 99).
3°/ Résoudre dans Z le système x
6 (mod 9)
x
8 (mod 11)
EXERCICE N°24:
1°/ On considère l’équation (E) : 8x + 7y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Donner une solution particulière de l’équation (E).
b) Résoudre l’équation (E). N = 8a + 1
2°/ Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a, b) des nombres entiers vérifiant : N = 5b + 2
a) Montrer que le couple (a, -b) est solution de (E).
b) Quel est le reste, dans la division de N par 40.
3°/Résoudre dans Z2 l’équation : 8 x + 5 y = 100, ou x et y sont des entiers relatifs.
EXERCICE N°25 :
1°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E) : 91x + 10y = 1 ou x et y sont des entiers relatifs.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E).
c) Résoudre dans Z x Z, l’équation (E’) : 91x + 10y = 412.
2°/ Montrer que les nombres entiers An =32n – 1, ou n est un entier naturel non nul, sont divisible par 8.
3°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E’’): A3x + A2y = 3296.
a) Déterminer les couples d’entiers relatif (x, y) solution de l’équation(E’’).
b) Montrer qu’il existe un couple d’entiers naturels solution de (E’’). Le déterminer.
EXERCICE N°26:Bac 2008
1°/ On considère dans Z x Z, l’équation (E): 3x - 8y = 5 ou x et y sont des entiers relatifs.
Montrer que les solutions de (E) sont les couples (x, y) tels que x = 8k – 1 et y = 3k – 1 avec k
Z.
n = 3x + 2
2°/ a) Soit n, x et y trois entiers tels que
n = 8 y + 7
Montrer que (x, y) est une solution de (E).
n
2 (mod 3 )
b) On considère le système (S) ou n est un entier.
n
7 (mod 8 )
Montrer que n est solution du système (S) si et seulement si n
23 (mod 24).
3°/ a) Soit k un entier naturel. Déterminer le reste de 22k modulo 3 et le reste 72k modulo 8.
b) Vérifier que 1991 est une solution de (S) et montrer que l’entier (1991)2008 – 1 est divisible par 24.
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices : Arithmétiques 3 Dhahbi . A