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Table des Matières
Introduction 2
1 Résultats préliminaires 7
1.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Quelques propriétés sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Degré topologique de Brouwer 14
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Construction du degré topologique de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Propriétés du degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Degré topologique de Leray-Schauder 29
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Construction du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Dé…nition du degré de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Propriétés du degré de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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Notations
RNest un espace Euclien de dimension N:
Si x; y 2RNalors x:y est le produit scalair dans RN, c-à-d
x= (x1; :::::::; xN);et y= (y1; :::::::::::; yN);alors x:y =
N
X
i=1
xi:yi:
Si x2RN,jxj=N
P
i=1
x2
i1
2
:
= (1; 2; ::; N)2INNest un multi-indice , et jj=
N
P
i=1
i:
D:= @jj
@x1
1:::@xN
N
:
Si ERN, alors jEjest la mesure de Lebesgue .
B(x;r)est la boule dans RNde centre xet de rayon r:
Si RNest un domaine borné , alors @son frantière.
 ru=@u
@x1; :::; @u @xNest le gradient de la fonction u:RN!R:
uest le laplacien de la fonction u:RN!Rc-à-d
4u=
N
X
i=1
@2u
@x2
i
=div(ru):
pu=div(jrujp2ru)est le p-laplacien.
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p0est l’exposant conjugé de ptel que 1
p+1 p0= 1:
pest l’exposant critique tel que p=Np
Np.
Supp(u)est le support de la fonction u.
! !est un ouvert de tel que $et $est compact.
s.c.i: Semi continue inferierement
s.c.s: Semi continue superierement
p.p :presque pour tous les points.
C0() :est l’espace des fonctions continues sur :
Ck() :est l’espace des fonctions kfois continuement di¤érentiables sur ;( k2N).
C1() = \
k0
Ck() :
C1
0() est l’espace des fonctions C1à support compact dans :
Lp() := u:  !IRjuest mesurable;Rjujpdx < 1pour 1p < 1:
L1() := fu:  !IRjuest mesurable;9Ctel que ju(x)j< C; p.p x2g:
Lp0() est l’espace dual de Lp:
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Introduction
Soient y2RNet un ouvert borné de RN,f:  !RNune application au moins continue,
et considérons l’équation
f(x) = b:
On se pose cette question comment peut-on de manière pratique a¢ rmer qu’il existe au moins
une solution xà notre équation ?
Il y a une réponse simple dans le cas où N= 1; par exemple si  =]1;1[ et f2C(]1;1[;R);
s’il existe deux nombres réels x1; x22]1;1[ tels que
f(x1)f(x2)0;
alors notre équation admet au moins une solution, comme conséquence directe du théorème des
valeurs intermédiaires. Alors que serait-ce pour une dimension plus grande N > 1;certains se
diront dans le cas où fest linéaire et si le déterminant de fest non nul, alors il existe une
solution et meme une unique solution à notre équation, et ce pour tout b2RN;bien entendu
cela n’est valable que si le déterminant de l’application linéaire fest non nul, que faire si ce
n’est pas le cas ?!!!
C’est pour répondre à cette dernière question, qu’a été développé un outil intervenant pour
les applications non-linéaires, où la notion de déterminant pour les applications linéaires, sera
remplacée par la notion de "degré", ce dernier est un réel qui indique par sa non nullité que
notre équation admet au moins une solution. Dans le cas de la dimension une, cette notion de
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