Équations différentielles

Équations différentielles
S. BRIDOUX
1 EDO
Une équation différentielle ordinaire (EDO) linéaire d’ordre k à coefficients cons-
tants est du type
p(∂)u(x):=
k
∑
i=0ai∂i
xu(x) = f(x)(1)
ordinaire : on dérive par rapport à une seule variable,
linéaire : l’opérateur p(∂):u7→ ∑k
i=0ai∂i
xuest linéaire,
ordre k:ak6=0,
coefficients constants : ∀i=0,...,k,ai∈C.
Résoudre (1), c’est trouver les fonctions u:R→C,kfois dérivables et qui satis-
font (1) pour tout x∈R. L’équation obtenue en remplaçant fpar 0 dans (1) est
l’équation homogène associée à (1). La résolution d’une EDO linéaire se décom-
pose en deux étapes :
résoudre l’équation homogène (EH) p(∂)u=0,
trouver une solution particulière upde (1).
Alors, toute solution de (1) sera de la forme u(x) = up(x)+u0(x)où u0est solution
de l’EH.
2 Équation homogène : p(∂)u=0
Considérons le polynôme caractéristique associé à l’EH :
p(λ) =
k
∑
i=0aiλi=
k
∏
i=1(λ−λi)mi
1

où λ1,...,λksont les racines distinctes de pet m1,...,mksont leurs multiplicités
respectives.
L’intérêt du polynôme caractéristique est que sa factorisation se répercute sur
l’opérateur différentiel p(∂), càd
p(∂) =
k
∏
i=1(∂−λi)mi
où le produit doit être compris comme une composition. On peut donc écrire
p(∂)u=0⇐⇒ ∏k
i=1(∂−λi)miu=0.
Tout d’abord, on résoud (∂−λi)miu=0.
On obtient que uest solution ssi u(x) = pi(x)eλixavec deg pi<mi.
Ensuite, on prouve que u(x) = ∑k
i=1pi(x)eλixest solution de l’EH (principe de
superposition).
Il reste à prouver qu’on a toutes les solutions.
2.1 Étude de l’ensemble Ed,µ
Ed,µ:=q(x)eµx : degq6d=u:(∂−µ)d+1u=0
=nu=
d
∑
i=0qi(xieµx):qi∈Co=ssevxieµx :i=0,...,d
Comme (xieµx)d
i=0est une base de Ed,µ, on a dimEd,µ=d+1.
2.2 Étude de (∂−λ):Ed,µ→Ed,µ, avec µ6=λ
1. C’est une application linéaire.
2. C’est une bijection. Pour le montrer, on utilise les résultats suivants d’al-
gèbre linéaire :
(∂−λ)injectif ⇔ker(∂−λ) = {0} ⇔ dimker(∂−λ) = 0
(∂−λ)surjectif ⇔Im(∂−λ) = Ed,µ⇔dimIm(∂−λ) = dimEd,µ
dimEd,µ=dimker(∂−λ) + dimIm(∂−λ)
2

On a donc
(∂−λ)surjectif ⇔dimIm(∂−λ) = dimEd,µ
⇔dimker(∂−λ) = 0⇔(∂−λ)injectif.
Il suffit donc de prouver que (∂−λ)est injectif, càd (∂−λ)u=0⇒u=0.
3. Conséquence : par composition, l’application (∂−λ)m:Ed,µ→Ed,µ, avec
µ6=λest aussi une bijection.
2.3 ∑k
i=1pieλixsont toutes les solutions de l’EH
ESQUISSE DE PREUVE. Par récurrence sur le nombre kde facteurs de ∏k
i=1(∂−
λi)mi.
Pour k=1, c’est OK.
Il reste donc à prouver que si c’est vrai pour kfacteurs, alors c’est vrai pour k+1
facteurs. Autrement dit, les solutions de ∏k+1
i=1(∂−λi)miu=0 sont ∑k+1 i=1pieλix.
Nous pouvons écrire :
k+1
∏
i=1(∂−λi)miu=0⇔
k+1
∏
i=2(∂−λi)mi(∂−λ1)m1u
| {z }
=:v
=0.(2)
Par hypothèse de récurrence : v(x) = ∑k+1
i=2pieλix.
Il reste donc à résoudre : (∂−λ1)m1u=∑k+1
i=2pieλix.
Nous avons déjà résolu l’EH. Toute solution est de la forme u(x) = p1(x)eλ1x.
Par le principe de superposition, il suffit de trouver une solution particu-
lière de l’équation (∂−λ1)m1u=pieλix. Remarquons que pieλix∈Emi−1,λi.
D’autre part, nous savons que l’application (∂−λ1)m1:Emi−1,λi→Emi−1,λi
est bijective si λi6=λ1, ce qui est bien le cas. Cette application est donc
en particulier surjective. Ainsi, il existe un élément uidans Emi−1,λitel que
(∂−λ1)m1ui=pieλix, càd ui=qieλixavec degqi6mi−1.
Les solutions de (2) sont donc de la forme :
u(x) = p1(x)eλ1x+
k+1
∑
i=2qi(x)eλix
où deg p1<m1, et ∀i=1,...,k+1,deg pi<mi, càd
u(x) =
k+1
∑
i=1qi(x)eλix
3

où ∀i=1,...,k+1,degqi<miet où on a posé q1=p1.
En conclusion, toutes les solutions complexes de l’EH p(∂)u=0 sont de la forme
u(x) = ∑k
i=1pi(x)eλixoù λ1,...,λksont les racines distinctes de pde multiplicités
respectives m1,...,mket ∀i=1,...,k,deg pi<mi.
3 Solution particulière de p(∂)u=f(x)
On suppose que f(x) = q(x)eµx, càd f(x)∈Ed,µavec d=degq.
3.1 µn’est pas racine du polynôme caractéristique
On veut donc résoudre
k
∏
i=1(∂−λi)miu=q(x)eµx
où ∀i=1,...,k,µ6=λi.
PROPRIÉTÉ : Il existe une solution particulière de la forme r(x)eµx où degr6
degq.
IDÉE : On sait que (∂−λi)mi:Ed,µ→Ed,µest une bijection si µ6=λipour
tout i. Par composition, ∏k
i=1(∂−λi)mi:Ed,µ→Ed,µest aussi une bijection.
Puisque q(x)eµx ∈Ed,µ, il existe donc un unique élément r(x)eµx dans Ed,µtel que
∏k
i=1(∂−λi)mir(x)eµx=q(x)eµx.
CONCLUSION : Les solutions de p(∂)u=q(x)eµx où µn’est pas racine de psont
k
∑
i=1pi(x)eλix+r(x)eµx
où λ1,...,λksont les racines distinctes de pde multiplicités m1,...,mk, deg pi<
mi, et degr6degq.
Remarquons que, par le principe de superposition, les solutions de p(∂)u=
∑lj=1qjeµjx, où µj6=λipour tout i, sont de la forme ∑k
i=1pieλix+∑l i=1rjeµjxoù
rjeµjxest une solution particulière de p(∂)u=qjeµjx.
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3.2 µest racine du polynôme caractéristique
Comme précédemment, on considère l’application (∂−λ)m:Ed,µ→Ed,µ. L’idée
est d’essayer une solution particulière de la forme r(x)eλx. Le problème vient du
fait que (∂−λ)mr(x)eλx=∂mr(x)eλxet deg(∂mr)6d−m. On n’est donc
sûr de ne pas avoir Im(∂−λ)m=Ed,µ. On essaie alors une solution de la forme
xmr(x)eλxoù degr6d−m. La question qui se pose alors est : l’application (∂−
λ)m:xmr(x)eλx→q(x)eλxest-elle une bijection?
On définit Em,d,λ={xmr(x)eλx: degr6d}. Une base de Em,d,λest xmeλx,xmxeλx,
...,xmxdeλx. Donc, dimEm,d,λ=d+1. D’autre part, E0,d,λ=Ed,λ.
On montre alors que l’application (∂−λ):Em,d,λ→Em−1,d,λest une bijection.
PROPRIÉTÉ : il existe une solution particulière de l’équation (∂−λ)mu=q(x)eλx
de la forme xmr(x)eλxoù degr6degq=d.
IDÉE DE PREUVE :
Em,d,λ∂−λ −−−−→ Em−1,d,λ∂−λ −−−−→ ·· · ∂−λ −−−−→ E1,d,λ∂−λ −−−−→ Ed,λ
xmrmeλx7→ xm−1rm−1eλx7→ ·· · 7→ xr1eλx7→ qeλx
Ainsi, l’application (∂−λ)m:Em,d,λ→Ed,λest une bijection. La surjectivité
implique que pour tout q(x)eλxdans Ed,λ, il existe un élément u=xmr(x)eλxdans
Em,d,λtel que (∂−λ)mu=q(x)eλx.
PROPRIÉTÉ : Une solution particulière de l’EDO p(∂)u=q(x)eµx existe et est de
la forme xmr(x)eµx où degr6degqet mest la multiplicité de µcomme racine de
p.
IDÉE DE PREUVE :
µn’est pas racine de p:OK.
Soit µ=λ1où λ1,...,λksont les racines de pde multiplicités respectives
m1,...,mk. On peut écrire : p(∂)u=∏k
i=2(∂−λi)mi(∂−λ1)m1u.
Em1,d,λ1(∂−λ1)m1 −−−−−−−−→ Ed,λ1(∂−λ2)m2 −−−−−−−−→
λ26=λ1Ed,λ1(∂−λ3)m3
−−−−−−−−→
λ36=λ1··· (∂−λk)mk
−−−−−−−−→
λk6=λ1Ed,λ1
où toutes les applications sont des bijections.
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