Méthodes de Branch-and

Méthodes de Branch-and-Bound
ILes méthodes de branch-and-bound sont des méthodes basées
sur une énumération "intelligente" des solutions admissibles d’un
problème d’optimisation combinatoire.
IIdée : prouver l’optimalité d’une solution en partitionant l’espace
des solutions.
I"Diviser pour régner"
IApplication à la programmation linéaire en nombres entiers :
utilise toute la puissance de la programmation linéaire pour
déterminer de bonnes bornes.
IOn appelle relaxation linéaire d’un programme linéaire en
nombres entiers le programme linéaire obtenu en supprimant les
contraintes d’intégralité sur les variables.
Programme en nombres entiers
(P)max cTx
s.c. Ax ≤b
x≥0,entier.
Relaxation linéaire
(LP)max cTx
s.c. Ax ≤b
x≥0.

Propriétés de la relaxation linéaire
ILa valeur de la solution optimale de LP est une borne supérieure
sur la valeur de la solution optimale de P.
ILa valeur d’une solution admissible de Pfournit une borne
inférieure sur la valeur de la solution optimale de P.
ISi la solution optimale de LP est entière (donc admissible pour
P), elle est également la solution optimale de P.
Branchement
ISi la solution de LP n’est pas entière, soit xiune variable prenant
une valeur fractionnaire x∗
idans la solution optimale de LP.
ILe problème peut être divisé en deux sous-problèmes en
imposant
xi≤ bx∗
icou xi≥ bx∗ ic+1
où bx∗
icest le plus grand entier inférieur à x∗ i.
ILa solution optimale de Pest la meilleure des solutions
optimales des deux problèmes
(P1)max cTx
s.c. Ax ≤b
xi≤ bx∗
ic
x≥0,entier.
(P2)max cTx
s.c. Ax ≤b
xi≥ bx∗
ic+1
x≥0,entier.

Exemple (Branch-and-Bound)
max z=5x1+4x2
s.c. x1+x2≤5
10x1+6x2≤45
x1,x2≥0,entiers.
(LP)x1=3.75,x2=1.25
z=23.75
(LP)x1=3.75,x2=1.25
z=23.75
x1≥4
(LP1)x1=3,x2=2
z=23
(LP2). . .
x1≤3
ILa solution de LP1est une solution
admissible de Pet donc z=23 est
une borne inférieure sur la valeur de
la solution optimale de P.
ILe noeud correspondant peut être
éliminé vu qu’une solution entière
optimale satisfaisant x1≤3 a été
trouvée (solution de P1).

(LP)x1=3.75,x2=1.25
z=23.75
x1≥4
(LP1)x1=3,x2=2
z=23
(LP2). . .
x1≤3
ILa valeur de la solution de LP,
z=23.75 est une borne supérieure
sur la valeur de la solution optimale
de P.
IVu que tout les coefficients sont
entiers, on peut en déduire que la
valeur de la solution optimale de P
est inférieure ou égale à 23.
ILa solution de P1est donc optimale
pour P.
Règles de branchement
IIl n’y a pas de règle générale pour le choix de la variable de
branchement et de la branche à examiner en premier.
ICe choix peut avoir un impact important sur le nombre de
noeuds à examiner dans l’arbre de branch-and-bound.
IExemple : branchement d’abord du côté ≥.

(LP)x1=3.75,x2=1.25
z=23.75
x1≥4
(LP1)x1=3,x2=2
z=23
(LP2)x1=4,x2=0.83
z=23.33
x1≤3
(LP4)Pas de solution
x2≥1x2≤0
(LP3)x1=4.5,x2=0
z=22.5
x1≤4x1≥5
(LP5)x1=4,x2=0
z=20
(LP6)Pas de solution