doc 65 Ko - Hatem MASRI

UNIVERSITE DE TUNIS
INSTITUT SUPERIEUR DE GESTION
DEPARTEMENT DE METHODES QUANTITATIVES
1ère Année Informatique de Gestion
2000/2001
SERIE N° 4
DUALITE ET ANALYSE DE SENSIBILITE
Exercice 1 :
Ecrire le dual des programmes linéaires suivants :
Max Z = 3 x1 - 2 x2 + 6 x3 - 7 x4
s.c - x1+ 3x2 - 3 x4 2
2x1+ 2 x2 - x3 + x4 = -1
3x1 -2 x2 + 6x4 3
x1, x2,  0
x3  0
x4 arbitraire
Min Z = 2 x1 + x2 + 3x3
s.c -x1- x2 + x3 3
2 x1 -3x3=1
x10
x20
x3 arbitraire
Exercice 2:
On donne le programme linéaire suivant:
Max Z = 4 x1 + 2 x2 + 6 x3
s.c
x 1+ x 3  3
x1 + x 2 + x 3  2
x1 - x2 + 2 x 3  1
x10
x2 0
x3 arbitraire
On dispose des informations suivantes concernant la solution
optimale du dual s2=2et y1y2 =0 (s2 variable d’écart du dual)
Déduire à partir de ces informations et en utilisant le théorème
de la dualité et le théorème des écarts complémentaires les
valeurs optimales de toutes les variables principales et d'écarts
du primal et du dual.
Exercice 3:
Une société ELECTRO produit et commercialise deux composantes électriques qui sont
utilisés dans la fabrication de télévision.
Les profits unitaires réalisés à travers la première et la deuxième composante sont
respectivement 7UM et 5UM.
Veillant sur la qualité de ses produits , la société procède au contrôle de chaque composante :
chacune doit passer par deux centres de contrôle.
Le premier centre de contrôle est sous la responsabilité d’un ingénieur disponible pendant 5
heures par jour et qui met 1 minute pour contrôler une unité.
Le deuxième centre de contrôle est sous la responsabilité de deux ingénieurs dont chacun est
disponible pendant 5 heures 10 minutes par jour. Pour contrôler une unité du premier type de
composante il faut 2 minutes alors qu’une unité du deuxième type nécessite 1 minute.
La société a conclu un contrat avec une entreprise de fabrication de télévision et s’engage par
conséquent de fournir pour cette entreprise au moins 240 unités du premier type de
composante.
La société a formulé son problème sous forme d’un programme linéaire. La formulation ainsi
que la solution optimale sont donnés ci-après :
Max Z = 7 x1 + 5 x2
s.c x1+ x2  300
2 x1+ x2  620
x1  240
x1, x2,  0
ci
7
5
0
VB
x1
s2
s3
bi
300
20
60
cj
zj
cj-zj
x1
1
0
0
7
7
0
x2
1
-1
1
5
7
-2
s1
1
-2
1
0
7
-7
s2
0
1
0
0
0
0
s3
0
0
1
0
0
0
1- L'entreprise qui fabrique les télévisions propose à ELECTRO d'alléger les clauses du
contrat en changent la quantité exigé de 240 à 150 unités seulement. En contre partie
ELECTRO doit payer 7 UM par unité diminuée dans le contrat. Est-ce que ELECTRO
accepte la proposition?
2- Supposons que le profit de la deuxième composante passe de 5 à 5 +2. Déterminer
l'intervalle de variation de 2 qui permet de garder la base de la solution optimale inchangée.
3- Supposons que le profit de la première composante passe de 7 à 7+1. Déterminer la
solution optimale dans le cas où 1 est égale à -3.
4- a) Supposons que le temps disponible du responsable du premier centre de contrôle passe
de 300 à 300 + 1 et le temps disponible pour les responsables du deuxième centre de contrôle
passe de 620 à 620 + 2. Déterminer les conditions sur 1 et 2 qui permettent de garder la
même base de la solution optimale.
b) Si 1 = -10 et 2= -50, déterminer la nouvelle solution optimale (si elle existe).
5- Le producteur envisage la possibilité d'introduire un troisième produit. Chaque unité
rapporte 7 UM comme profit et consomme 1 unité de la première ressource, 3 unités de la
deuxième ressource et il n'y a aucun restriction quand à la vente de ce produit.
Dite si ELECTRO doit fabriquer ce produit tout en donnant une justification économique.
Exercice 4:
La société ABC produit trois genres de fruit en boite, fruitel, cocktail de fruit et fruit délice.
Les ingrédients principaux sont les poires et les pêches. Chacun de ces produits existe en lots
et doit passer par trois processus de fabrication, mixage, mise en boite et emballage. La
formulation de ce problème est la suivante:
Max Z = 10 x1 +6 x2 + 8 x3
s.c 20 x1+ 10 x2 + 16x3  320 (poires)
10 x1+ 20 x2 + 16x3  400 (pèches)
x1+ 2 x2 + 2x3  43
(mixage)
x1+ x2 + x3  60
(mise en boite)
2x1 + x2 + x3  40
(emballage)
x1, x2, x3  0
Le tableau optimal est le suivant:
ci
10
8
0
0
0
VB
x1
x2
s3
s4
s5
bi
8
16
3
36
8
cj
zj
cj-zj
x1
1
0
0
0
0
10
10
0
x2
0
1
0
0
0
6
6
0
x3
8/15
8/15
2/5
-1/15
-3/5
8
128/15
-8/15
s1
1/15
-1/30
0
-1/30
-1/10
0
11/15
-7/15
s2
1/30
1/15
-1/10
-1/30
0
0
1/15
-1/15
s3
0
0
1
0
0
0
0
0
s4
0
0
0
1
0
0
0
0
s5
0
0
0
0
1
0
0
0
a) Quel est le prix unitaire maximum que la société serait prête à payer pour l'achat d'une
unité de poires additionnelles? Quelle quantité sera telle disposée à acheter?
b) Quelle est la valeur marginale des pêches. Sur quel intervalle ce prix reste-t-il valable?
c) La société peut acheter une nouvelle machine pour emballage qui pourrait augmenter le
temps d'emballage disponible de 40 à 50 heures. Cela affecterait-il la solution optimale?
d) La société peut acheter une nouvelle machine de mixage qui pourrait augmenter le temps
de mixage disponible de 43 à 60 heures. Cela aurait-il un effet sur la solution optimale?
e) Si le manager doit avoir des réserves d'une seule des ressources, laquelle doit-il choisir?
f) Effectuer une analyse de sensibilité de la solution optimale aux variations des coefficients
technologiques de la première et la deuxième contrainte.
Exercice 5:
Une entreprise fabrique et commercialise trois sorte d'articles en cuir: des valises, de sacs ou
de portefeuilles. Elle utilise deux sortes d'inputs: le cuir et des accessoires. Les profits
unitaires, les coefficients technologiques concernant l'utilisation des ressources et les
quantités disponibles de ces ressources sont résumés dans le tableau suivant:
cuir
accessoires
profit
valises
2
3
21
sac à main
1
2
9
portefeuilles
1
0
4
disponibilité
31
60
Elle a conclu un contrat avec un magasin pour lui délivrer un nombre au moins égal à 27
unités de valises, de sacs ou de portefeuilles par jour.
La formulation de ce problème et sa solution optimale sont données par:
Max Z = 21 x1 + 9 x2 + 4 x3
sous contraintes
2 x1+ x2 + x3  31
3x1+ 2 x2  60
x1 + x2 + x3 27
x1, x2, x3  0
ci
VB
bi
4
23
2
cj
zj
cj-zj
x1
x2
x3
s1
s2
s3
1
0
0
0
1
0
0
1
-2
1
-1
-1
0
0
1
1
-2
1
1- a) Donner la solution optimale du problème.
b) Formuler le dual et donner la solution optimale du dual.
2- Supposons qu'un fournisseur propose à l'entreprise de lui vendre une quantité
d'accessoires à 1 D l'unité. Est-ce que l'entreprise accepte cette offre? Pourquoi?
3- Quelle serait la solution optimale si le profit d'une valise devient égal à 16D?
4- Supposons que suite à des restrictions sur l'importation la quantité d'accessoires devient
égale à 59, puis 50 unités. Quel effet ceci peut avoir sur la solution optimale dans chacun
des deux cas? Quelle est alors la nouvelle solution en cas de changement?
5- A partir de quel prix il sera profitable de fabriquer des portefeuilles?
6- L'entreprise a la possibilité d'introduire un nouvel article qui utilise une unité de cuir et
deux unités d'accessoires, qui peut être commercialisé sans limites et dont le coût de
fabrication s'élève à 6 D. Quel est le prix de vente minimal nécessaire pour lui rendre ce
produit suffisamment profitable pour être introduit dans le plan de fabrication? Quelle est
alors la nouvelle solution optimale si le prix de vente est fixé à 19 D?
Exercice 6:
Soit le problème P :
Max Z = C x1 + x2
s.c x1 + x2  12 (ressource 1)
x1  8
(ressource 2)
x2  6
(ressource 31)
x1, x2,  0
On suppose que C  0
On donne le tableau de simplexe suivant :
ci
VB
bi
4
8
2
cj
zj
cj-zj
x1
1
0
0
x2
0
1
0
s1
1
0
-1
s2
-1
1
1
s3
0
0
1
1) Déterminer, suivant les valeurs de C, les solutions du problème P en appliquant la
méthode de simplexe.
2) Représenter graphiquement la valeur optimale de la fonction objectif suivant les valeurs
de C. A quel niveau doit-on fixer la contribution de P1 ? Quel sera le plan de production
optimal si le manager veut réaliser un profit optimal de 20 ?
3) Ecrire le dual P’ de P.
4) Déduire les solutions optimales de P’ en fonction des valeurs du second membres de la
première contrainte du dual.
5) Représenter sur un même graphique et en fonction de C les prix y1, y2 et y3 offerts par le
dual pour l’acquésition d’une unité de ressource 1, 2 et 3 respectivement.
6) Si les trois ressource étaient disponibles sur le marché à un même prix unitaire, élaborer
pour le primal une stratégie optimale pour l’acquisition d’une seule des trois ressources en
fonction du coefficient C.