Méthode de troncature

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Programmation linéaire
en
nombres entiers :
les méthodes de troncature

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Introduction
Le principe des méthodes de troncature est le suivant:
- on part d'une solution de base qui ne satisfait pas à toutes les
contraintes du problème, soit que les variables astreintes à être
entières ne le soient pas, soit que certaines variables soient négatives;
- on ajoute alors une équation choisie de façon que toute solution
entière vérifie nécessairement cette équation.
L'introduction d'une telle équation se traduit par l'apparition
d'une nouvelle variable de valeur négative et conduit, par
conséquent, à l'application de l'algorithme dual du simplexe.
Il s’agit d’ajouter des contraintes afin d'amputer des "morceaux"
au polyèdre des solutions réalisables du problème continu,
jusqu'à ce que la solution optimale de ce dernier satisfasse les
contraintes d'intégralité.

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Le "morceau" à amputer devra évidemment contenir la solution
optimale du problème continu et il faut aussi s'assurer qu'aucune
solution entière n'est amputée.
Après l'ajout d'une contrainte, on réoptimise en utilisant le dual
du simplexe. On se rapproche ainsi de l'optimum entier.
Méthode des formes entières (ou des coupes de Gomory)
Exemple :
Soit à résoudre le programme linéaire entier
Max z = x + 3y
10x + 18y ≤45,
6x + 7y ≤ 21
x, y≥0 , entiers.

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En oubliant les contraintes d'intégrité et en résolvant par la méthode
du simplexe, on obtient: x = 0, y = 2.5, zmax = 7.5 qui n'est pas entière.
y
x
(0,2.5)

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Il est clair que la solution optimale de (PE) doit être l'un des points
entiers contenus dans cet ensemble de solutions réalisables de (P).
Ainsi, nous allons ajouter une coupe qui va réduire les solutions
réalisables de (P) sans pour autant réduire les solutions réalisables
entières de (PE).
Par exemple, si on fait la coupe
x + 2y ≤ 4,
on enlève de cet ensemble des solutions réalisables la partie hachurée,
et il est bien clair qu'aucun point entier n'a été éliminé.