Fractions - Maths

2 EN 11 septembre 2001
PhG-Maths
I- Fractions
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers relatifs :
a
b avec b
0 a est le numérateur et b est le dénominateur
Une fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre
non nul. 63
108 = 7 × 9 12 × 9 = 7 12 7 12 est une fraction irréductible.
S'il n'est pas possible de trouver un diviseur commun, la fraction est irréductible.
Un rapport ou une forme fractionnaire est le quotient de deux nombres réels.
L'écriture a
0 n'a aucun sens.
Le quotient du nombre a par le nombre b non nul est le nombre c tel que :
a
b = c signifie a = b × c
Si a, b, c et d représentent des nombres réels non nuls
a
b = c d signifie a × d = b × c
a
b = d c est une proportion. Les réels a et d sont nommés "les extrêmes" de la proportion.
Les réels b et c sont nommés "les moyens" de la proportion.
Addition Multiplication Division
réduire les fractions multiplier les numérateurs multiplier le numérateur
au même dénominateur et les dénominateurs entre eux par l'inverse du dénominateur
a
b + c b = a + c b a b + c d = ad + bc bd a b  c d = a  c
b  d
a
b
c
d
= a
b  d c
Égalité de fractions Si a
b = c d alors a b = c d = a + c b + d = a – c b – d
II- Puissances
On nomme puissance d'exposant n du réel a, le produit de n facteurs égaux à a.
a n = a a ...  a. a 1 = a
Propriétés Soient n et p deux entiers relatifs a n a p = a n + p ( a n ) p = a n × p
a – n = 1
an avec a
0 ( ab ) n = a n × b n
n
b
a
= a n
b n avec b
0
on obtient l'expression : a n
a p = a n – p avec a
0
Convention : a 0 = 1 a n a – n = a n – n = a 0 a n a – n = a n
a n = 1

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Calculatrice
Pour le calcul d'un carré (puissance 2) ou d'un cube (puissance 3), on utilise les touches x2 et x3.
Pour les puissances supérieures, on utilise la touche ^ ou xy.
8 ^ 6 = ou 8 xy 6 = pour 8 6 = 262 144
Puissance de dix
Soit n un entier naturel 10 n = 10…0 n zéros
10 – n = 0,0…1 n chiffres après la virgule
Calculatrice : on utilise les touches ×10n ou EE ou EXP.
Écriture scientifique
Tout nombre réel peut s'écrire sous forme d'écriture scientifique :
a 10n avec 1 a < 10 et n entier relatif
La notation scientifique d'un nombre facilite l'estimation d'un résultat dans les calculs.
Par exemple : a = 0,039 et b = 0,0000028 a
b =
Error!
=
Error!
.10 – 2 +6 =
Error!
10 4
Multiple et sous multiple (application 3 p24)
MULTIPLES
SOUS-MULTIPLES
Préfixe
Symbole
Facteur
Préfixe
Symbole
Facteur
déca
da
déci
d
hecto
h
centi
c
kilo
k
milli
m
méga
M
micro
giga
G
nano
n
téra
T
pico
p
péta
P
femto
f
exa
E
atto
a
L'écriture ingénieur utilise les facteurs grisés de 1000 en 1000 (l'exposant varie de 3 en 3).
Exemple : 150 000 000 W = 150 . 10 6 W = 150 MW
Application : conversion des unités d'aire et de volume
Convertir 45 km2 en m2
1 km = 103 m d'où 1 km2 = (103)2 m2 = 106 m2 soit 45 km2 = 45 . 106 m2
Convertir 540 mm3 en m3
1 mm = 10 – 3 m d'où 1 mm3 = (10 – 3) 3 = 10 – 9m3 soit 540 mm3 = 540 . 10 – 9 m3
Signe d'une puissance entière
Si a  0 alors a n > 0
Si a  0 2 cas se présentent si n pair alors a n > 0
si n impair alors a n < 0

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III- Racine carrée
La racine carrée d'un réel positif x est le réel positif noté x, dont le carré est x.
y = x équivaut à y 2 = x avec x et y des réels positifs
Remarque : Il n'existe aucun rationnel dont le carré est égal à 2.
Cependant le réel 2 existe tel que ( 2)2 = 2. Le réel 2 est un nombre irrationnel.
Propriétés (application 8,9,10,11 p15)
Soient a et b deux nombres réels positifs
2
a
=
2
a
= a
baab 
b
a
b
a
Application :
Simplification sous un radical
272724924998 2
ou
272724998 2
Rendre rationnel un dénominateur
21
3 =
Error!
=
Error!
= 7
Error!
IV- Encadrement et approximation
Inégalités
< se lit « strictement inférieur à » ; > se lit « strictement supérieur à » ;
se lit « inférieur ou égal à » ; se lit « supérieur ou égal à ».
a < 0 signifie « a est négatif » ; a < 0 signifie « a est positif » ;
a 0 signifie « a est négatif ou nul » ; a 0 signifie « a est positif ou nul ».
Le réel a est inférieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est positif : a b si b – a 0.
Le réel a est supérieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est négatif : a  b si b – a 0.
Propriétés : quels que soient les réels a, b, c et d :
a < b équivaut à a + c < b + c ; a < b et c < d équivaut à a + c  b + d ;
a < b et c > 0 alors ac  bc 0 < a  b alors 1
a  1 b
a < b et c < 0 alors ac > bc l'inégalité change de sens
Exemple : – 4 x > 5 équivaut à x < – 5
4
Valeur absolue

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La valeur absolue du nombre réel x est le plus grand des nombres x ou – x.
La valeur absolue du réel x est le réel positif noté | x |.
Si x 0 alors | x | = x ; Si x < 0 alors | x | = – x
Remarque : | b - a | représente la distance entre deux points A et B d'abscisse a et b sur un
axe. AB = | b - a |
Intervalles
[ a , b ] signifie a  x  b et se lit « intervalle fermé ab » ;
] a , b [ signifie a < x < b et se lit « intervalle ouvert ab » ;
b – a est l'amplitude de l'intervalle
+ se lit « plus l'infini » ; – se lit « moins l'infini ».
[ a , + [ signifie x  a ; ] – , a [ signifie x < a
Encadrement
On effectue un encadrement du réel x, si on détermine le couple de réels ( a , b ) tel que:
a  x  b
Encadrement d'une somme
On encadre chaque terme de la somme à l'aide d'inégalités de même sens.
On additionne "membre à membre" les inégalités obtenues en conservant leur sens.
a < x < a' et b < y < b' alors a + b < x + y < a' + b'
et a - b < x - y < a' - b'
Encadrement d'un produit
On s'assure que les termes du produit sont positifs.
On multiplie "membre à membre" les inégalités de même sens obtenues.
0 < a < x < a' et 0 < b < y < b' alors ab < xy < a'b'
Approximation
L'approximation peut être :
- la valeur approchée par défaut (la troncature) ;
- la valeur approchée par excès ;
- la valeur arrondie (la valeur la plus proche).
On choisira la valeur arrondie si rien n'est précisé.
Dans la plupart des calculs, 3 chiffres significatifs suffisent.
Méthode : on effectue un encadrement de x à la précision 10 n désirée :
a 10 n x (a + 1) 10 n
a 10 n est la valeur approchée par défaut ou troncature ;
(a + 1) 10 n est la valeur approchée par excès
La valeur arrondie dépend du chiffre qui suit :
- pour les cinq premiers chiffres 0, 1, 2, 3, 4, c'est la valeur par défaut ;
- pour les cinq derniers 5, 6, 7, 8, 9, c'est la valeur par excès.
Exemple : Le nombre affiché par la calculatrice est 3,141 529 654.
3,141    3,142 soit 3141 10 – 3 3142 10 – 3
 .3,142 à 10 – 3 prés par excès.
  3,141 à 10 – 3 prés par défaut.
La valeur arrondie de  à 10 – 3 prés est 3,142.
V- Utilisation de formules
Les formules que l'on utilise en sciences et dans le domaine technologique sont des expressions
littérales.

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L'application numérique d'une formule consiste à :
- remplacer chaque lettre par la valeur numérique correspondante ;
- effectuer le calcul en respectant les priorités des opérations.