2 EN 11 septembre 2001 I- Fractions Une fraction est le quotient de deux nombres entiers relatifs : a avec b 0 a est le numérateur et b est le dénominateur b Une fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre 63 7×9 7 7 non nul. = = est une fraction irréductible. 108 12 × 9 12 12 S'il n'est pas possible de trouver un diviseur commun, la fraction est irréductible. Un rapport ou une forme fractionnaire est le quotient de deux nombres réels. a L'écriture n'a aucun sens. 0 Le quotient du nombre a par le nombre b non nul est le nombre c tel que : a =c signifie a=b×c b Si a, b, c et d représentent des nombres réels non nuls a c = signifie a×d=b×c b d a d = est une proportion. Les réels a et d sont nommés "les extrêmes" de la proportion. b c Les réels b et c sont nommés "les moyens" de la proportion. Addition réduire les fractions au même dénominateur a c a+c + = b b b Multiplication multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux a b a d = c b c d a c ac = b d bd a c ad + bc + = b d bd Égalité de fractions Division multiplier le numérateur par l'inverse du dénominateur a c a c a+c a–c Si = alors = = = b d b d b+d b–d II- Puissances On nomme puissance d'exposant n du réel a, le produit de n facteurs égaux à a. a n = a a ... a. a1 = a an ap = an+p Propriétés Soient n et p deux entiers relatifs a– n = 1 an avec a 0 on obtient l'expression : Convention : a 0 = 1 ( ab ) n = a n × b n an = an–p ap ( a n)p = a n×p a b n = an bn avec a 0 an a– n = an– n = a0 PhG-Maths an a– n = an =1 an avec b 0 2 EN 11 septembre 2001 Calculatrice Pour le calcul d'un carré (puissance 2) ou d'un cube (puissance 3), on utilise les touches x2 et x3 . Pour les puissances supérieures, on utilise la touche ^ ou xy . 8 ^ 6 = 8 xy 6 = ou pour 8 6 = 262 144 Puissance de dix 10 n = 10…0 Soit n un entier naturel 10 –n n zéros = 0,0…1 n chiffres après la virgule Calculatrice : on utilise les touches ×10n ou EE ou EXP. Écriture scientifique Tout nombre réel peut s'écrire sous forme d'écriture scientifique : a 10n avec 1 a < 10 et n entier relatif La notation scientifique d'un nombre facilite l'estimation d'un résultat dans les calculs. Par exemple : a = 0,039 et b = 0,0000028 a = Error! = Error! .10 – 2 +6 = Error!10 4 b Multiple et sous multiple (application 3 p24) Préfixe déca hecto kilo méga giga téra péta exa MULTIPLES Symbole Facteur da h k M G T P E SOUS-MULTIPLES Symbole d c m n p f a Préfixe déci centi milli micro nano pico femto atto Facteur L'écriture ingénieur utilise les facteurs grisés de 1000 en 1000 (l'exposant varie de 3 en 3). Exemple : 150 000 000 W = 150 . 10 6 W = 150 MW Application : conversion des unités d'aire et de volume Convertir 45 km2 en m2 1 km = 103 m d'où 1 km2 = (103)2 m2 = 106 m2 soit 45 km2 = 45 . 106 m2 Convertir 540 mm3 en m3 1 mm = 10 – 3 m d'où 1 mm3 = (10 – 3) 3 = 10 – 9m3 soit 540 mm3 = 540 . 10 – 9 m3 si n pair alors an > 0 si n impair alors an < 0 Signe d'une puissance entière Si a 0 alors Si a 0 2 cas se présentent an > 0 PhG-Maths 2 EN 11 septembre 2001 III- Racine carrée La racine carrée d'un réel positif x est le réel positif noté x, dont le carré est x. y= x équivaut à y2 = x avec x et y des réels positifs Remarque : Il n'existe aucun rationnel dont le carré est égal à 2. Cependant le réel 2 existe tel que ( 2)2 = 2. Le réel 2 est un nombre irrationnel. Propriétés (application 8,9,10,11 p15) Soient a et b deux nombres réels positifs a2 = 2 a b ab a b a =a a b Application : Simplification sous un radical 98 49 2 49 2 7 2 2 7 2 98 49 2 7 2 2 7 2 ou Rendre rationnel un dénominateur 21 = Error! = Error! = 7 Error! 3 IV- Encadrement et approximation Inégalités < se lit « strictement inférieur à » ; > se lit « strictement supérieur à » ; se lit « inférieur ou égal à » ; se lit « supérieur ou égal à ». a < 0 signifie « a est négatif » ; a < 0 signifie « a est positif » ; a 0 signifie « a est négatif ou nul » ; a 0 signifie « a est positif ou nul ». Le réel a est inférieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est positif : a b si b – a 0. Le réel a est supérieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est négatif : a b si b – a 0. Propriétés : quels que soient les réels a, b, c et d : a<b équivaut à a+c<b+c; a < b et c < d équivaut à a < b et c > 0 alors ac bc 0<ab alors a < b et c < 0 alors ac > bc Exemple : –4x>5 l'inégalité change de sens équivaut à x<– Valeur absolue PhG-Maths 5 4 1 1 a b a+cb+d; 2 EN 11 septembre 2001 La valeur absolue du nombre réel x est le plus grand des nombres x ou – x. La valeur absolue du réel x est le réel positif noté | x |. Si x 0 alors | x | = x ; Si x < 0 alors |x|=–x Remarque : | b - a | représente la distance entre deux points A et B d'abscisse a et b sur un axe. AB = | b - a | Intervalles [ a , b ] signifie a x b et se lit « intervalle fermé ab » ; ] a , b [ signifie a < x < b et se lit « intervalle ouvert ab » ; b – a est l'amplitude de l'intervalle + se lit « plus l'infini » ; – se lit « moins l'infini ». [ a , + [ signifie x a ; ] – , a [ signifie x < a Encadrement On effectue un encadrement du réel x, si on détermine le couple de réels ( a , b ) tel que: a x b Encadrement d'une somme On encadre chaque terme de la somme à l'aide d'inégalités de même sens. On additionne "membre à membre" les inégalités obtenues en conservant leur sens. a < x < a' et b < y < b' alors a + b < x + y < a' + b' et a - b < x - y < a' - b' Encadrement d'un produit On s'assure que les termes du produit sont positifs. On multiplie "membre à membre" les inégalités de même sens obtenues. 0 < a < x < a' et 0 < b < y < b' alors ab < xy < a'b' Approximation L'approximation peut être : - la valeur approchée par défaut (la troncature) ; - la valeur approchée par excès ; - la valeur arrondie (la valeur la plus proche). On choisira la valeur arrondie si rien n'est précisé. Dans la plupart des calculs, 3 chiffres significatifs suffisent. Méthode : on effectue un encadrement de x à la précision 10 n désirée : a 10 n x (a + 1) 10 n n a 10 est la valeur approchée par défaut ou troncature ; (a + 1) 10 n est la valeur approchée par excès La valeur arrondie dépend du chiffre qui suit : - pour les cinq premiers chiffres 0, 1, 2, 3, 4, c'est la valeur par défaut ; - pour les cinq derniers 5, 6, 7, 8, 9, c'est la valeur par excès. Exemple : Le nombre affiché par la calculatrice est 3,141 529 654. 3,141 3,142 soit 3141 10 – 3 3142 10 – 3 –3 .3,142 à 10 prés par excès. 3,141 à 10 – 3 prés par défaut. La valeur arrondie de à 10 – 3 prés est 3,142. V- Utilisation de formules Les formules que l'on utilise en sciences et dans le domaine technologique sont des expressions littérales. PhG-Maths 2 EN 11 septembre 2001 L'application numérique d'une formule consiste à : - remplacer chaque lettre par la valeur numérique correspondante ; - effectuer le calcul en respectant les priorités des opérations. PhG-Maths 2 EN 11 septembre 2001 FRACTIONS a c a+c + = b b b a c ac = b d bd avec b 0 a c ad + bc + = b d bd avec b 0 et d 0 a b a d = c b c d avec b 0 et d 0 avec b 0 , c 0 et d 0 PUISSANCES a n = a a ... a. an ap = an+p a0 = 1 a1 = a a –n = ( a n)p = a n×p a an ( )n = n b b ab ) n = a n × b n avec b 0 1 an an = an–p ap ÉCRITURE SCIENTIFIQUE D'UN NOMBRE a 10n avec 1 a < 10 et n entier relatif RACINE CARRÉE y= x équivaut à y2 = x avec x et y des réels positifs Soient a et b deux nombres réels positifs a2 = 2 a =a a b ab a b ENCADREMENT ET INTERVALLE PhG-Maths a b avec a 0 avec a 0 (