Madame la Présidente

N.Gonzalez – D-M. Bissengué – G.Lauton
UPVM Sc&T DAEU-B Maths (G.L.)
1
DAEU-B
REVUE DE FIGURES PLANES – REPÉRAGE DE POINTS & VECTEURS
2 – 5 oct 09
A) Revue de figures planes
Segment [ AB ]
Droite (AB)
Demi-droite
Cercle
Aire =  R2
Périmètre
2  R.
Ellipse
Triangle
Aire S
S = base x hauteur / 2
Ex. : S = BC x AH / 2
Quadrilatère
Trapèze
Polygones réguliers
Parallélogramme
Losange
B) Formule de Pythagore et applications
Cas particulier : chaque triangle rectangle a pour
aire : 3 x 4 / 2 = 6
Aire grand carré = 49 = 6 x 4 + Aire petit carré.
D’où : a x a = 25. Résultat : a = 5.
Cas général : le bilan s’écrit :
( b + c )2 = a2 + 2 b.c d’où finalement :
a2 = b2 + c2.
Inversement, si cette égalité est vraie, le triangle
est rectangle.
Tr. rectangle
Tr. Isocèle
On trace la hauteur AH. Le
point H = milieu de BC.
Tr. Equilatéral
Si la longueur des côtés est
égale à 1, alors HC = 1/2. Calcu-
lons à l’aide du théorème de Py-
thagore la hauteur h = AH :
Pour le triangle
rectangle (AHC) :
22
21
2
1 h
D’où :
h =
23
L’aire S est égale à :
83 2
3
2
1
2
12
A
6
B
0
A
6
B
0
A
6
A
6
B
6
C
6
H
6
1
6
A
6
B
6
C
6
H
6
C
A
B
c = 3
b = 4
a = ?
H
F
A
6
B
6
C
6
B
A
6
D
6
C
6

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C) Parallèles et proportions de Thalès
C'A'B'A' AC
AB 
Inversement, si l’on constate
cette proportion entre les lon-
gueurs indiquées, alors les 3
droites sont parallèles.
L’égalité s’écrit généralement
avec des mesures algé-
briques = longueur avec signe
Droite joignant les milieux
des côtés d’un triangle
(MN) est parallèle à (BC).
Aire des Triangles (ABC) et (A ’BC) :
Aire de l’hexagone régulier
de côté 1 :
Composé de 6 triangles équi-
latéraux de côté 1.
L’aire est donc : S = 6 x
83
S =
433
D) Table à rallonges semi-circulaires
a) Calculer le périmètre
b) Calculer l’aire
E) Table à coins arrondis
a) Calculer le périmètre
b) Calculer l’aire
B
4
C
A
A’
h
b
5
 6
5
 2
H
F
A
6
B
6
C
6
N
6
M
6
A’
A
6
C
6
C’
6
B
6
B’
6
(D)
(D’)

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F) Carrés et cercles
Tracer les cercles de centres A, B, C et D passant
tous par le centre O du carré (ABCD). Colorer le
contour des arcs de cercles ( I E J F L G K H I ) et
calculer l’aire délimitée par ce contour.
Plusieurs solutions, à base de décomposition de cette aire en
figures plus simples.
G) Secteur circulaire – Segment circulaire
a) Sachant que le rayon OM fait un angle de 60 de-
grés avec le diamètre horizontal, et que ON est sy-
métrique de OM par rapport à ce dernier, détermi-
ner l’aire du secteur circulaire délimité par les
rayons OM et ON du cercle.
b) Déterminer l’aire de la partie du disque située à
gauche de la corde MN.
c) Calculer l’aire de la figure formée par le cercle (C)
et son symétrique (C ’ ) par rapport à (MN).
O
M
N
O
H
M
N
1
(C)
M
N
(C)
(C ’)

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H) Bielle + Manivelle
Pour le système bielle (ci-contre) on cherche à cal-
culer la distance OP selon la valeur de l’angle  que
fait la manivelle OM avec l’axe horizontal.
Angle 
Longueur OP
0 deg
(manivelle horizontale  droite)
180 deg
(manivelle horizontale  gauche)
45 deg
60 deg
(OMA) équilatéral
30 deg
(OMB équilatéral)
135 deg
120 deg
150 deg
I ) Sinus – cosinus - tangente
N.B. : les proportions entre les longueurs des côtés
sont directement liées à la valeur de l’angle Ô.
Pour un angle de 60 deg, on se souvient que OH
vaut 1/ si l’hypoténuse vaut 1, et que la hauteur MH
vaut
23
. On définit les rapports suivants :
cos Ô =
OM
OH
et : sin Ô =
OM
HM
et : tg Ô =
OH
HM
Ici : cos 60 = 1/2. sin 60 =
23
et tg 60 =
33
a) Calculer sin 30, cos 30 et tg 30.
b) Même chose pour l‘angle 45 deg.
c) Pour un angle de 70 deg, déterminer à l’aide de
la calculatrice (activer « degrés) son cosinus et son
sinus.
a) Pour le triangle de côtés 3 – 4 – 5, déterminer
l’angle Ô en utilisant à l’envers la touche SIN, sa-
chant que le sinus de cet angle vaut MH / OM soit
3 / 5 = 0,6
4
5
4
5
A
B
5
O
H
M
70
SIN
70
SIN-
0,6
5
O
H
M
3
4
?

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J) Coordonnées de points et de vecteurs
Dans le plan muni d’un repère orthonormé
(Ox , Oy), on place les points A (25,0) et B (9,12).
a) Calculer les longueurs des côtés du triangle.
b) Montrer que le triangle (OAB) est rectangle en B.
c) on place le point M (6 ; 8) : est-il aligné avec O et B ?
d) on place N (17 ; 6) : est-il aussi aligné avec A et B ?
e) Distances entre B et M, entre B et N, entre M et N ?
f) M et N désignent les positions de 2 wagonnets
roulant sur OB et sur BA, liés par un câble tendu par
B. Décrire leurs positions quand le premier partant
de l’origine O va vers B.
N.B. : on appelle vecteur V la « feuille de route »
pour aller d’un point A à un autre B, décrite de 2
façons possibles :
- direction de droite (AB), sens et distance A B ;
- dans un repère donné (figure), les 2 nombres a et
b que sont l’écart entre abscisses et l’écart entre
ordonnées, appelés coordonnées de V, soit :
abscisse extrémité – abscisse origine
ordonnée extrémité – ordonnée origine
On désigne ce vecteur par AB ou par une seule
lettre V accompagnée de (a ; b). Si a 0, la direc-
tion de droite de V a pour pente le nombre :
m = b / a.
Si AB = A ’B ’, alors ( A B B ’A ’ ) = parallélogramme.
g) Trouver le point P tel que (MBLP) est un
parallélogramme. De même pour (KMLQ).
h) écrire les coordonnées des vecteurs MB, NB, MN.
i ) comparer les vecteurs KB et MB puis BL et BC.
N.B. : pour multiplier un vecteur U par un nombre k posi-
tif, je multiplie sa longueur par k. Le résultat V a même
direction et même sens. Si k est négatif, sens inversé.
j ) Recenser sur la figure es situations du type : V = k U.
N.B. : inversement, si j’ai 2 vecteurs U et V et : V = k U,
alors je peux dire que U et V sont parallèles.
k) comparer les vecteurs ML, KN et OC.
N.B. : étant donné 2 vecteurs U = MB et V = BN, quelle
« feuille de route » pour aller directement de M à N ?
C’est le vecteur S = MN, qui est la somme de MB et BN :
MB + BN = MN, c'est-à-dire : S = U + V.
Si les vecteurs ne sont pas représentés « bout à bout »,
on peut recréer cette situation en plaçant les points né-
cessaires sur la figure.
Les coordonnées de S= somme de celles de U et de V.
l ) Additionner KM et LN. Figurer le résultat S = KP.
N.B. : coordonnées du milieu T d’un segment KN : ce
sont les demi-sommes de celles des extrémités.
m) Trouver les milieux T et U de KN et de OC.
N.B. : MB (3 ; 4) et BL (4 ; -3) sont orthogonaux. Plus généra-
lement, U (a ; b) et V (b ; -a) sont orthogonaux. Leurs direc-
tions de droites ont pour pentes : m = b / a et m’ = – a / b.
m) Tracer un vecteur BR orthogonal à KN. La droite BL
passe-t-elle par le milieu T de KN ?
12
B
11
10
9
L
8
M
7
6
N
5
4
K
3
C
2
1
H
A
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
D’
6