01_Resume_TSTI_Sinusoidal

Résumé Sinusoïdal
I) Valeurs moyennes et efficaces:
I.1) Valeur moyenne appelée aussi offset, décalage, composante continue
La valeur moyenne d'une grandeur périodique se calcule par la méthode des aires.
12
AA
xT
Elle se mesure avec
 Appareils analogiques : appareils magnétoélectriques notés .
 Appareils numériques : en position DC ou .
 Oscilloscope: En passant de la position DC à AC, le décalage du signal est égal à la
valeur moyenne de la tension visualisée.
I.2) Valeur efficace
La valeur efficace X est la racine de la valeur moyenne du carré de la valeur instantanée, on représente d’abord
2()xt
, puis on
calcule la calcule la valeur moyenne <
2()xt
> de x2(t) , enfin on calcule la racine de
2()xt
. Donc
2()X x t  
Elle se mesure avec
 Cas des appareils analogiques: On utilise des appareils ferromagnétiques (Symbole: ou )
 Cas des appareils numériques: On utilise des appareils « RMS ». (Parfois en position AC+DC). Attention certains
appareils ne mesurent une valeur efficace que si la grandeur est sinusoïdale.
Rq : Dans le seul cas d’un signal sinusoïdal :
ˆ2
sinus X
X
II) Valeurs instantanées et vecteurs de Fresnel:
II.1) Valeurs instantanées :
u (t ) = U
2
sin (t+
u) ou i (t ) = I
2
sin (t+
i)
 Umax= U
2
= Û = tension crête.(U tension efficace) et Imax=
I
2
= Î = intensité crête
 =2f pulsation en rad.s-1, f=1/T fréquence en Hertz (Hz), T
période en seconde (s) et t temps en s.
u phase à l’origine; i
phase à l’origine
 A i (t ) ou u ( t ) on associe la représentation de Fresnel :
i
II ;:
et
u
UU ;:
et le nombre complexe
correspondant.
II.2) Déphasage:
=
2- 1 est le déphasage de u2 par rapport à u1 .
- <0 déphasage retard :u2 est en retard par rapport à u1
- >0 déphasage avance :u2 est en avance par rapport à u1
On appelle aussi  le déphasage de u tension par rapport à i intensité =u/i=u-i.
II.3) Représentation de Fresnel:
II.3.1) Loi des noeuds: i= i1+i2+i3 donc
I I I I  
1 2 3
.
II.3.2) Loi des branches : u=u1+u2+u3 donc
U U U U  
1 2 3
.
II.3.3) Loi des mailles : Le long d’une maille la somme algébrique des tensions est nulle.
III) Impédance :
U
ZI
Pour un dipôle passif linéaire avec
réactance
;;
ui
U
Z Z R j X
I
Z impédance en Ohm ()
22
Z R X
; I en A ; U en V ; u et i en rad.
Avec R résistance en , X réactance en ,
arctan X
R
IV) Figures de Fresnel des dipôles simples:
On trace les figures de FRESNEL correspondant à un résistor, une inductance pure et à un condensateur.
1
2
I
ˆ
I
1
U
1
ˆ
U
2
U
2
ˆ
U
0
t
T
12t
T
1
T
t
2
angle
temps
t
u(t)
A2
A1
u(t) V
T
t

symbole
nom et unité
déphasa
ge u/i
impédance Z
figure de Fresnel
Puissance P
(W)
Puissance
réactive Q
(VAR)
résistor de résistance
R ()
0
R
i
u
RI2=
UI=
U2/R
0
bobine parfaite
d’inductance pure L en
Henry (H)
+/2
rad
jL
i
u
0
UI=
LI2=
U2/ L
condensateur parfait
de capacité C en Farad
(F)
-/2 rad
1/(jC)
i
u
0
-UI=
- C U2=
-I2/ (C)
V) Groupements d’impédances en sinusoïdal:
V.1) En série :
La loi des nœuds et la loi des branches s'appliquent en continu avec
les valeurs instantanées ou les vecteurs de Fresnel.
Le courant est commun aux trois dipôles, les valeurs instantanées des
tensions s'ajoutent
321321 UUUUuuuu  
L’impédance équivalente à plusieurs dipôles en série est donc : Zéq = Z1 + Z2 + Z3 .
i est commun on prend le courant i comme origine des phases:
.
symbole et
nom
Figure de Fresnel
avec i origine des phases
Figure des
impédances
Zt de l’ensemble
tan 
R,L série
U
R
U
L
U
Z
R
jL
22
()
t
Z R L
tan L
R
R,C série
U
R
U
C
U
Z
R
1jC
2
21
t
ZRC
1
tan RC
R,L,C série
C
U
U
R
U
L
U
1jC
Z
R
jL
2
21
t
Z R L C
1
tan LC
R
VI) Puissances:
Pour un dipôle passif linéaire
VI.1) Puissance active: C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée
( ) ( ) cosP u t i t UI
en Watt (W).
VI.2) Puissance réactive:
sinQ UI
en V.A.R. ( Rq : Q>0 : dipôle inductif ; Q<0 dipôle capacitif)
VI.3) Puissance apparente:S=UI Puissance apparente en V.A.
VI.4) Facteur de puissance:
fp =cos = P/S avec le triangle des puissances
22 QPS 
VI.5) Mesure de puissance:
VI.6) Relèvement du facteur de puissance:
Un condensateur placé en parallèle sur une installation inductive remonte le facteur de puissance
de celle-ci : QC = -CU2. Si l’on veut passer d’une installation ayant un déphasage  à ’.
Le condensateur doit amener la puissance réactive QC = Q’ - Q = P tan ’ - P tan  = -CU2
Donc
2
(tan tan ')P
CU
VII) Théorème de Boucherot:
Pour une installation :
-la puissance totale est la somme des puissances : .
-la puissance réactive totale est la somme des puissances réactives :
mais la puissance apparente St de l’ensemble n’est pas la somme des puissances apparentes
P
Q
S
u1
Z1
i
u2
Z2
u3
Z3
u
S
S’
’
Q
Q’
QC
W
*
U
I
D
cos
1UIPP n
i 
sin
1UIQQ n
i 

D’où la méthode de Boucherot: On calcule d’abord Ptotale = Pi et Qtotale = Qi on déduit la puissance apparente de l’ensemble avec
le triangle des puissances:
22 tottot QPS 