Théoreme de Haar

DV - THEOREME DE HAAR
Sommaire
Groupes topologiques .............................................................................3
Théorème de Haar................................................................................17
Réciproque du théorème de Haar.................................................................35
Introduction
L’exposé qui suit a pour but de démontrer le théorème de Haar et sa réciproque. La première partie
est constituée par l’étude des propriétés des groupes topologiques qui seront utiles pour la démons-
tration de ce théorème. Nous y avons établi toutes celles qui pouvaient l’être de façon élémentaire, en
admettant les résultats de topologie générale utilisés.
La deuxième partie consiste en la démonstration du théorème dans le sens direct. Dans cette partie
une mesure désigne une forme linéaire sur l’espace des fonctions continues à support compact, et il
n’est pas besoin de faire intervenir la notion de mesure de Radon.
La troisième partie consiste en la démonstration de la réciproque du théorème de Haar. Elle utilise
essentiellement la notion de mesure au sens de la théorie de l’intégration de Lebesgue, et tous les
résultats concernant cette théorie seront admis.
Références :
G. Hochschild : La structure des groupes de Lie
André Weil : L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications
Pierre Eymard : Cours de topologie 1970-71

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Groupes topologiques
Dans tout cet exposé, Gdésignera un groupe, d’élément neutre noté e. La loi du groupe sera notée
multiplicativement.
Si Aet Bsont deux parties de G, on désignera par A.B l’ensemble des éléments de Gdu type x.y où
xest dans Aet ydans B.
Si Aest une partie de Get xun élément de G, on désignera par x.A (resp. A.x) l’ensemble des éléments
du type x.y (resp. y.x) où yparcourt A.
Enfin, si Aest une partie de G, on notera A2pour A.A, et par récurrence
An=A.An−1=An−1.A .
On désignera par A−1l’ensemble des éléments du type x−1où xest dans A.
Définition 1 On appelle groupe topologique, un groupe Gmuni d’une topologie telle que :
– l’application (x, y)7→ x.y de G×G, muni de la topologie produit, dans Gsoit continue.
– l’application x7→ x−1de Gdans G, soit continue.
Ces deux propriétés sont équivalentes à la condition suivante : l’application (x, y)7→ x−1.y de G×G,
dans Gest continue.
On tire immédiatement de cette définition que les applications γ(s)et δ(s)définies par
γ(s)(x) = s−1.x et δ(s)(x) = x.s
sont, pour sfixé dans G, des homéomorphismes de G, et que l’application
x7→ xn
est, pour nentier relatif fixé, une application continue de Gdans G.
Définition 2 On appelle système fondamental de voisinages de l’unité de G, une famille Vde
parties de G, vérifiant :
(GT I) L’intersection des éléments de Vse réduit à {e}
(GT II) Quels que soient Vet V’ dans V, il existe V′′ dans V, inclus dans V∩V′.
(GT III) Quel que soit Vdans V, il existe V′dans Vtel que V′−1.V ′soit inclus dans V.
(GT IV) Quels que soient xdans Get Vdans V, il existe V′dans Vinclus dans x.V.x−1.

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Notons V(e), l’ensemble des parties de Gcontenant un élément de V. On voit facilement que les
propriétés GT sont encore valables pour V(e)et que toute partie Vcontenant un élément de V(e) est
dans V(e). On a de plus les propriétés suivantes :
−Si Vest dans V(e), il existe V′dans V(e)tel que V′−1.V ′soit inclus dans V. Alors, V′−1est inclus
dans V, et donc V′est inclus dans V−1. Il en résulte que V−1appartient à V(e).
−Si xest dans Get Vdans V(e), alors x.V.x−1est aussi dans V(e)d’après (GT IV).
Notons V(x)l’ensemble des parties de Gde la forme x.V , où Vparcourt V(e). Ce sera aussi, puisque
x−1.V.x est dans V(e), l’ensemble des éléments de la forme V.x, où Vparcourt V(e).
Proposition 1 Les ensembles V(x)définissent sur Gune topologie séparée unique telle que G
soit un groupe topologique séparé, et les éléments de V(x)soient les voisinages de x.
(V I) Il est clair que si Vcontient un élément de V(e), alors Vest dans V(e). Soit Udans V(e). Si W
contient x.U, alors x−1.W contient U, donc se trouve dans V(e). Par suite Wse trouve dans V(x).
(V 2) Soit V1et V2dans V(e). Il existe Wdans V(e), inclus dans V1∩V2. Alors x.W est un élément
de V(x)inclus dans x.V1∩x.V2, donc x.V1∩x.V2est dans V(x).
(V 3) Soit Vdans V(e). D’après (GT 1), l’ensemble Vcontient edonc x.V contient x.
(V 4) Soit Vdans V(e), il existe V’ dans V(e)tel que V′−1.V ′soit inclus dans V. Alors x.V ′−1est
dans V(x), et, pour tout yde x.V ′−1, l’ensemble y.V ′est inclus dans x.V ′−1.V ′donc dans x.V qui
appartient alors à V(y).
(V 5) Le groupe G=x.G est dans V(x)pour tout xde G.
Ces cinq propriétés montrent que l’on peut définir sur Gune unique topologie telle que, pour tout x
de G, l’ensemble V(x)soit l’ensemble des voisinages de x.
Soit x0et y0dans G, et z=x−1
0.y0. Soit Vdans V(e). Il existe V1et V2dans V(e)tels que V−1 1.V1
soit inclus dans V, et V2soit inclus dans z.V1.z−1. Alors, soit xdans x0.V2et ydans y0.V1. On a les
inclusions suivantes :
x−1.y ∈(x0V2)−1.(y0.V1)⊂V−1
2.z.V1⊂z.V −1 1.V1⊂z.V .
Donc lorsque (x, y)appartient à (x0.V2)×(y0.V1)alors x−1.y appartient à z.V , ce qui montre la
continuité de l’application
(x, y)7→ x−1.y .
Il en résulte que Gest un groupe topologique.

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Soit xet ydans Gdistincts. D’après (GT I), il existe Vdans V(e)ne contenant pas x−1.y. Alors, soit
Udans V(e), tel que U.U−1soit inclus dans V. Si x.U et y.U n’étaient pas disjoints, alors x−1.y serait
dans U.U−1donc dans V, ce qui est faux. Donc x.U ∩y.U est vide et Gest séparé.
Remarque : soit V1un système fondamental de voisinages de e, et V2une partie de P(G). Si tout
élément de V1contient un élément de V2et réciproquement, le système V2est aussi un système fonda-
mental de voisinages de e, et V1(e)est identique à V2(e): les deux systèmes définissent donc la même
topologie sur G. On dira que V1et V2sont équivalents.
Exemples de systèmes équivalents
i) Les voisinages ouverts de e, ceci par définition du voisinage d’un point.
ii) Les voisinages symétriques de e. Une partie Ede Gest dite symétrique si
E=E−1.
Alors si Vest un voisinage de e, l’ensemble V∩V−1est un voisinage symétrique de e.
iii) les voisinages symétriques ouverts de e. Si Vest ouvert alors V∩V−1est symétrique et aussi
ouvert. En effet, l’application qui à xassocie x−1étant un homéomorphisme de G, si Vest ouvert,
alors V−1est ouvert.
Proposition 2 Soit Aune partie de G, et Vun système fondamental de voisinages de e, alors
A=\
V∈V
A.V .
Soit xdans l’intersection des A.V , et Udans V(e). Soit U0inclus dans Utel que U−1
0soit dans V. Alors
xest dans A.U−1
0et x.U0∩An’est pas vide. Donc x.U ∩Aest non vide, ce qui signifie que xest dans A.
Soit xdans A, et Vdans V. Alors V−1est dans V(e), donc x.V −1∩An’est pas vide, ce qui signifie
que xest dans A.V , et ceci pour tout V. Donc xest dans l’intersection des A.V .
Corollaire 1 Un groupe topologique est régulier, et l’ensemble des voisinages fermés de e
constitue un système fondamental de voisinages de e.
Soit Uun ouvert contenant x, et Vdans V(e)tel que x.V soit un ouvert inclus dans U. Soit Wdans
V(e)ouvert tel que W2soit inclus dans V. Alors, West inclus dans W2donc dans V, et x.W est un
ouvert contenant xdont l’adhérence x.West incluse dans x.V donc dans U. Ceci montre que Gest
régulier. Alors, dans tout voisinage ouvert de e, on peut trouver un voisinage fermé de e, ce qui montre
que les voisinages fermés constituent un système fondamental de voisinages de e.