Harm Maths - Numération 2007
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Harmonisation Mathématiques Numération Les parties de cours du TD sont extraites du cours d’Alain Charbonnel, disponible en ligne sur le site des Sciences de l’Ingénieur en S de l’académie de Caen. 1. Le système décimal Les nombres que nous utilisons habituellement sont ceux de la base 10 (système décimal). Nous disposons de dix chiffres différents de 0 à 9 pour écrire tous les nombres. D'une manière générale, toute base N est composée de N chiffres de 0 à N-1. Exemple Soit le nombre décimal A = 2348. Ce nombre est la somme de 8 unités, 4 dizaines, 3 centaines et 2 milliers. Nous pouvons écrire A = (2 1000) + (3 100) + (4 10) + (8 1), ou encore : 2348 = (2 103) + (3 102) + (4 101) + (8 100) 10 représente la base et les puissances de 0 à 3 le rang de chaque chiffre. Quelle que soit la base, le chiffre de droite est celui des unités. Celui de gauche est celui qui a le poids le plus élevé. 2. Le système binaire Dans les domaines de l'automatisme, de l'électronique et de l'informatique, nous utilisons la base 2 : N=2 Tous les nombres s'écrivent avec N = 2 chiffres qui sont 0 et N-1 = 1. De même que nous utilisons le système décimal parce que nous avons commencé à compter avec nos dix doigts, nous utilisons le binaire car les systèmes technologiques ont souvent deux états stables : un interrupteur est ouvert ou fermé, une diode est allumée ou éteinte, une tension est présente ou absente, une surface est réfléchissante ou pas (CD), un champ magnétique est orienté Nord-Sud ou Sud-Nord (disque dur)… A chaque état du système technologique, on associe un état logique binaire. La présence d'une tension sera par exemple notée 1 et l'absence 0. Le chiffre binaire qui peut prendre ces deux états est nommé "Bit" (Binary digit). Avec 1 bit, on peut coder 2 états : 0, 1. Avec 2 bits, on peut coder 4 états : 00, 01, 10, 11. Avec 3 bits, on peut coder 8 états : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Etc. … A chaque nouveau bit, le nombre de combinaisons possibles est doublé. En base 2, n bits permettent de coder 2n états. Plus généralement, en base N, n symboles permettent de coder Nn états. A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Harmonisation Mathématiques 1/5 1) De combien de bits avez-vous besoin pour coder des nombres compris entre 0 et 580 ? La décomposition en base 2 d’un nombre entier x est : x = bn 2n + bn-1 2n-1 + … + b2 22 + b121 + b0 1 où les bi valent 0 ou 1 En binaire, ce nombre s’écrit bnbn-1….b1b0 Exemple Conversion du nombre décimal 71 en binaire : 71 = 64 + 4 + 2 + 1 = 26 + 22 + 21 + 20 = 126 + 025 + 024 + 023 + 122 + 121 + 1 En binaire, le nombre 71 s’écrit 1000111 Voici les premières puissances de 2 : 3. Correspondance entre binaire et décimal 3.1. Conversion d'un nombre binaire en décimal Il suffit de faire la somme des poids de chaque bit à 1. Ainsi le nombre ci-dessus (01000101), est égal à 26 +22 + 20, soit 64 + 4 + 1 = 69 Exercices 2) Convertir en décimal les nombres binaires suivants. a) 10 b) 11001 c) 100001 d) 1111 A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Harmonisation Mathématiques 2/5 3.2. Conversion d'un nombre décimal en binaire Prenons l’exemple du nombre 172. Méthode par soustractions Méthode par divisions 172 / 2 = 86, il reste 0 ... Exercices 3) Convertir en binaire les nombre décimaux suivants. a) 143 b) 257 c) 375 4. L'hexadécimal La manipulation des nombres écrits en binaire est difficile pour l'être humain et la conversion en décimal n'est pas simple. C'est pourquoi nous utilisons de préférence le système hexadécimal (base 16). Pour écrire les nombres en base 16 nous devons disposer de 16 chiffres, pour les dix premiers, nous utilisons les chiffres de la base 10, pour les suivant nous utiliserons des lettres de l'alphabet. Les règles sont ici aussi les mêmes que pour le décimal. Exemple Soit le nombre A3F en base 16. A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Harmonisation Mathématiques 3/5 A3F(16) = (A 162) + (3 161) + (F 160) Remplaçons les lettres par leur valeur en décimal. A3F(16) = (10 162) + (3 161) + (15 160) D’où A3F(16) = (10 256) + (3 16) + (15 1) = 2560 +48 +15 = 2623(10) 4.1. Correspondance entre décimal et hexadécimal. La méthodes par divisions s'applique comme en binaire (exemple : N = 2623). 2623 / 16 = 163, il reste 15... Exercices 4) Convertir en décimal les nombres hexadécimaux suivants. a) 3A(16) b) D4C(16) c) FFF(16) 5) Convertir en hexadécimal les nombres décimaux suivants a) 4(10) b) 32(10) c) 456(10) 4.2. Correspondance entre binaire et hexadécimal La conversion du binaire en hexadécimal est très simple, c'est d'ailleurs la raison pour laquelle nous utilisons cette base. Il suffit de faire correspondre un mot de quatre bits (quartet) à chaque chiffre hexadécimal. Exemple Conversion d'un mot de 16 bits entre binaire et hexadécimal 6) Convertir en binaire les nombres hexadécimaux suivants. a) 4B(16) b) A15(16) 7) Convertir en hexadécimal les nombres binaires suivants a) 10(2) b) 10011110(2) c) 110111100(2) A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Harmonisation Mathématiques 4/5 5. Les multiples d’octets Un groupe de bits est appelé un mot, un mot de huit bits est nommé un octet (byte en anglais). 8) Combien de nombres binaires peut-on écrire avec un octet ? Attention ! Le kilo-octet, le méga-octet et le giga-octet sont définis ainsi : 1ko = 210 = 1024 octets 1Mo = 210 = 1024 ko 1Go = 210 = 1024 Mo Exercices 9) Convertir 30.106 octets en Mo. 10) Combien de bits y a-t-il dans 20 Go ? 11) Convertir 56kbits en ko. A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Harmonisation Mathématiques 5/5
