FICHE n° 2

U.E.P.P. Préprofessionnalisation :
vers le métier de professeur des écoles
Module 1
David Rolland, PIUFM mathématiques 29 janvier 2011
FICHE n° 2 : Les bases
Exercice 1 : Nombres croisés
horizontalement :
verticalement :
a
b
c
d
1 / le produit de ses chiffres est 350
a / ses chiffres sont consécutifs dans
l’ordre
1
2 / la somme de ses chiffres est 24
b / c’est une puissance de 2
2
3 / c’est un multiple de 4
c / c’est un multiple de 3
3
4 / c’est un carré
d / ses chiffres sont consécutifs dans
le désordre
4
Exercice 2 : Compter en base 5.
Quand on compte en base 5, on regroupe les objets par paquets de 5. Puis si on a plus de 5 paquets de 5, on
forme un paquet d’ordre supérieur, composé de 5 paquets de 5 unités. On réitère ensuite le procédé tant que
c’est possible.
Exemple :
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X X X X X X
X X X X X X X X X X X X X
1 paquet de 5 fois 5 2 paquets de 5 3 unités isolées
Ce nombre s’écrit : 1235 , ce qui signifie : 1x52 + 2x5 + 3 = 38
1. Décrypter les nombres 341, 2302, 1000, écrits en base 5.
2. Ecrire le nombre 19 en base 5, puis le nombre 356, et enfin le nombre 2010.
3. Quels sont les avantages et les inconvénients de la base 5 par rapport à la base 10 ?
Exercice 3 : Les systèmes binaire (base 2) et hexadécimal (base 16)
1. Quels sont les chiffres nécessaires en base 2 ? en base 16 ?
2. Quel est le nombre qui s’écrit 101010101 en base 2 ? Comment s’écrit ce nombre en base 16 ?
3. Quel est le nombre qui s’écrit B0A en base 16 ? Comment s’écrit ce nombre en base 2 ?
4. Comment écrit-on 2010 en base 2 ? en base 16 ?
Exercice 4 : Vers le système décimal (1)
1. On recherche un premier nombre. Voici ce qu'on sait de lui :
a. son chiffre des unités est égal à 5 ;
b. il a 431 centaines ;
c. son chiffre des dizaines est égal à 2.

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2. On recherche un deuxième nombre. Voici ce qu'on sait de lui :
a. il est compris entre 15 000 et 16 000 ;
b. tous ses chiffres sont différents ;
c. son chiffre des centaines est un multiple de 3 ;
d. son chiffre des unités est un nombre pair supérieur à 5 ;
e. son chiffre des dizaines est le successeur du chiffre des centaines.
Exercice 4 : Vers le système décimal (2)
On choisit un nombre entier quelconque n compris entre 100 et 999. En accolant ce nombre à lui-même, on
obtient un nombre m de 6 chiffres. On divise ce nombre m par 7, puis par 11 et enfin par 13. On obtient un
nombre p.
1. Faire l'expérience avec trois valeurs distinctes de n. Que constate-t-on ?
2. Comment démontrer la constatation précédente pour toutes les valeurs de n comprises entre 100 et 999 ?
A RETENIR :
Exercice 5 : Un gros calcul !
Calculer la valeur exacte de 50 000 006  7 000 008 sans poser la multiplication.
Exercice 6 : Les systèmes binaire et bibinaire…
Boby Lapointe est surtout connu pour ses talents d'acteur, chanteur et humoriste. En
1968, il replonge dans les mathématiques (il était aussi ingénieur), et invente un système
de numération qu'il veut universel et proche de celui des ordinateurs. Ce système, appelé
bibinaire, s'appuie sur l'écriture binaire (en base 2), des nombres.
Décimal
Binaire
Bibinaire
Décimal
Binaire
Bibinaire
Décimal
Binaire
Bibinaire
Décimal
Binaire
Bibinaire
0
4
8
12
1
5
9
13
2
00 10
Hé
6
10
14
3
7
11
15
1. Donner dans le tableau ci-.dessus l'écriture binaire et avec 4 chiffres (0 ou 1) des nombres de 0 à 15, en
ajoutant si nécessaire des zéros devant (par exemple, 2 s’écrit 00 10, puisque 2 = 08+04+12+01).
2. Boby Lapointe remarque que tous les nombres ci-dessus peuvent être décomposés en tranches : 00, 01,
10 ou 11. Il choisit alors de représenter par des lettres ces 4 groupes :
Pour les groupes de gauche, il choisit des consonnes: 00 = H ; 01 = B ; 10 = K; 11 = D ; pour les groupes de
droite, il choisit des voyelles: 00 = o ; 01 = a ; 10 = é ; 11 = i.
Exemple : 2 s’écrit en binaire 10 = 00 10, donc se code en bibinaire sous la forme Hé.
1. Compléter le tableau.
2. Coder en binaire, puis en bibinaire 17, puis 45, et enfin 112.

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3. Montrer que 2751 s’écrit en bibinaire KéKiDi.
4. Quel est le nombre qui est codé en bibinaire par BiBi; par KéKiDiBiBi ?
Exercice 7 : Un drôle de système de numération !
Dans le système Xdécimal, on utilise en système décimal les chiffres de 1 à 9, ainsi que le chiffre X, qui vaut
10. Par contre, le zéro n’existe pas !
Exemple : 20 s’écrit 1X (puisque 20 = 1x10+10) ; 2X3 est égal à 303 (puisque 2100+1010+3 = 303)
1. Ecrire 30, 107, 2019 en Xdécimal.
2. Que vaut en numération décimale le nombre 99X1 ?
3. Ecrire l’année actuelle en Xdécimal.
3. Quand on fait la division de 3X37X9 par 19X9, on trouve un nombre entier : lequel (écrit en Xdécimal) ?
Exercice 8 : Une énigme « AVIDA DOLLARS »
Trois clients arrivent dans un hôtel américain : le prix d’une nuit est 10 $ par personne. Après le paiement,
l’hôtelier se rend compte que les clients ont pris une chambre triple à 25 $. Il donne 5 $ au portier en billets de
1 $ en lui demandant de les rendre aux trois clients. Le portier, ne pouvant pas diviser 5 $ par trois, décide de
rendre 1 $ à chaque client et de garder les 2 $ restant.
Conclusion : les clients ont payé 9 $, le portier a 2 $. Mais 9  3 + 2 = 29 ! Où est passé le dernier dollar ?